區(qū)間痕跡下事故再現(xiàn)結(jié)果不確定性分析的改進(jìn)仿射法

鄒鐵方，彭海濤，肖 璟，蔡 銘，李 華

(1. 長(zhǎng)沙理工大學(xué) 汽車與機(jī)械工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410114； 2. 工程車輛安全性設(shè)計(jì)與可靠性技術(shù)湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410114； 3中山大學(xué) 工學(xué)院 廣東省智能交通系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州 510275)

區(qū)間痕跡下事故再現(xiàn)結(jié)果不確定性分析的改進(jìn)仿射法

鄒鐵方1，2，彭海濤1，2，肖 璟1，2，蔡 銘3，李 華1，2

(1. 長(zhǎng)沙理工大學(xué) 汽車與機(jī)械工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410114； 2. 工程車輛安全性設(shè)計(jì)與可靠性技術(shù)湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410114； 3中山大學(xué) 工學(xué)院 廣東省智能交通系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州 510275)

區(qū)間痕跡下事故再現(xiàn)結(jié)果亦為區(qū)間，當(dāng)采用仿射算法分析再現(xiàn)結(jié)果不確定性時(shí)，因再現(xiàn)模型的非線性而會(huì)導(dǎo)致分析結(jié)果偏離真值。為提高不確定性分析的精度，借助泰勒展開(kāi)式對(duì)仿射法進(jìn)行改進(jìn)。改進(jìn)仿射法先對(duì)事故再現(xiàn)模型進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，再對(duì)模型進(jìn)行泰勒展開(kāi)，得到理想的泰勒展開(kāi)式；接著對(duì)泰勒展開(kāi)式內(nèi)的變量進(jìn)行仿射轉(zhuǎn)換，并用矩陣形式表達(dá)；用區(qū)間多項(xiàng)式上下界公式計(jì)算出事故再現(xiàn)結(jié)果的取值區(qū)間。進(jìn)一步，給出了分析仿真再現(xiàn)結(jié)果不確定性的改進(jìn)仿射法步驟，并用3個(gè)數(shù)值算例和一個(gè)真實(shí)案例驗(yàn)證所提出的方法，結(jié)果表明，改進(jìn)方法能提高計(jì)算結(jié)果精度，且實(shí)用范圍廣，表明其能用于實(shí)踐中。

事故再現(xiàn)；不確定性分析；仿射算法；區(qū)間痕跡；區(qū)間

事故中的痕跡是事故再現(xiàn)的基礎(chǔ)，但由于事故現(xiàn)場(chǎng)痕跡的復(fù)雜性、人們認(rèn)知的局限性及事故后人們反應(yīng)的滯后性等，使得測(cè)量人員往往不能準(zhǔn)確地測(cè)得相關(guān)痕跡，而只能給出一個(gè)范圍，由此導(dǎo)致區(qū)間痕跡的產(chǎn)生。區(qū)間痕跡下事故再現(xiàn)結(jié)果理應(yīng)為區(qū)間，如何計(jì)算此區(qū)間則成為事故再現(xiàn)結(jié)果不確定性分析的重要內(nèi)容，已成為了事故再現(xiàn)中的研究熱點(diǎn)之一[1-2]。為此國(guó)內(nèi)外學(xué)者展開(kāi)了積極研究并取得若干成果，如張雷等[3]提出的隨機(jī)攝動(dòng)技術(shù)、袁泉等[4]將不確定度評(píng)定基本方法引入該領(lǐng)域、張曉云等[5-6]提出的反問(wèn)題中的概率分析法及不確定軌跡優(yōu)化算法并應(yīng)用到事故再現(xiàn)領(lǐng)域、鄒鐵方等[7]提出的事故再現(xiàn)結(jié)果不確定性分析的區(qū)間算法。相比于其他方法，區(qū)間算法計(jì)算更加簡(jiǎn)單，但是該方法會(huì)存在區(qū)間擴(kuò)張的問(wèn)題，為減小區(qū)間擴(kuò)張對(duì)不確定性分析過(guò)程產(chǎn)生的影響，謝永強(qiáng)等[8]把仿射算法引入到此領(lǐng)域中。仿射算法在處理不確定性問(wèn)題時(shí)能夠最大程度的保留并體現(xiàn)出變量的相關(guān)性，并且仿射算法的運(yùn)算規(guī)則具有優(yōu)化性質(zhì)，因此計(jì)算結(jié)果比區(qū)間運(yùn)算更可靠。然而，仿射算法中由于近似逼近的存在，而使得它的乘法運(yùn)算和除法運(yùn)算存在誤差，誤差的大小與模型的非線性程度相關(guān)，非線性程度越高，誤差就越大[9]。

針對(duì)仿射算法中乘法運(yùn)算帶來(lái)的誤差，文獻(xiàn)[10]給出了區(qū)間多項(xiàng)式上下界公式，該公式能夠更精確的計(jì)算區(qū)間多項(xiàng)式的結(jié)果區(qū)間，但是該公式卻不能直接用于仿射算法的除法、開(kāi)方等運(yùn)算中，不能減小這些運(yùn)算帶來(lái)的誤差。而事故再現(xiàn)模型不僅常為非線性，還經(jīng)常包含除法特別是開(kāi)方運(yùn)算，為此，本文提出改進(jìn)的仿射算法，該方法通過(guò)泰勒轉(zhuǎn)換把仿射運(yùn)算中的除法等運(yùn)算轉(zhuǎn)換為乘法運(yùn)算，進(jìn)而再利用區(qū)間多項(xiàng)式上下界公式計(jì)算結(jié)果取值區(qū)間。

1 問(wèn)題描述

在事故再現(xiàn)中，根據(jù)不同的事故形態(tài)，可建立起相應(yīng)的事故再現(xiàn)模型，最常見(jiàn)的有車-人、車-車、車-兩輪車碰撞模型及車輛軌跡、人體多剛體和灑落物拋距等模型[11]。但不管涉及到多少模型、模型如何復(fù)雜，均可用式(1)表示

y=f(X),X=(x1,…,xs)T

(1)

式中：y為事故再現(xiàn)結(jié)果，一般為事故車輛車速；X為輸入?yún)?shù)，如事故現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量參數(shù)、幾何參數(shù)和車輛參數(shù)等；s為輸入?yún)?shù)的個(gè)數(shù)。注意到交通事故發(fā)生后，第一時(shí)間是救援且警方、醫(yī)療及事故深度調(diào)查等部門均是在接警后才出警，導(dǎo)致事故現(xiàn)場(chǎng)受人為或環(huán)境的影響而被不同程度的破壞，再加之人們認(rèn)知的局限，使得X的準(zhǔn)確值很難給出，常用區(qū)間值來(lái)代替。在此情況下，如何根據(jù)輸入X的取值區(qū)間來(lái)確定輸出y的取值區(qū)間是事故再現(xiàn)結(jié)果不確定性分析的主要任務(wù)。

2 事故再現(xiàn)結(jié)果不確定性分析的改進(jìn)仿射算法

如前所述，為確保仿射算法能應(yīng)用于事故再現(xiàn)結(jié)果不確定性分析中，提出如下改進(jìn)仿射算法，其先對(duì)事故再現(xiàn)模型進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，接下來(lái)將標(biāo)準(zhǔn)化處理后的事故再現(xiàn)模型進(jìn)行泰勒展開(kāi)，再將去掉余項(xiàng)的泰勒展開(kāi)式表達(dá)為區(qū)間多項(xiàng)式形式，最后選用區(qū)間多項(xiàng)式上下界公式計(jì)算y的結(jié)果區(qū)間。各步驟如下所示。

2.1 事故再現(xiàn)模型的標(biāo)準(zhǔn)化處理

在對(duì)已知的事故再現(xiàn)模型進(jìn)行泰勒展開(kāi)之前先對(duì)原函數(shù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，標(biāo)準(zhǔn)化的目的是將模型函數(shù)的變量控制在區(qū)間[-1,1]內(nèi)，進(jìn)而加快模型函數(shù)之泰勒展開(kāi)式余項(xiàng)的收斂速度，從而提高最終計(jì)算結(jié)果的精度。假設(shè)原函數(shù)為y=f(x), x∈(a,b)，那么標(biāo)準(zhǔn)化后原函數(shù)變?yōu)?/p>

(2)

標(biāo)準(zhǔn)化處理之后的函數(shù)表達(dá)式會(huì)發(fā)生變化，但是標(biāo)準(zhǔn)化處理不會(huì)對(duì)函數(shù)的真實(shí)結(jié)果產(chǎn)生影響。

2.2 對(duì)標(biāo)準(zhǔn)化模型進(jìn)行泰勒展開(kāi)

對(duì)事故再現(xiàn)模型標(biāo)準(zhǔn)化處理后，再對(duì)其進(jìn)行泰勒展開(kāi)，以二元函數(shù)為例，其泰勒展開(kāi)公式如式(3)所示。

設(shè)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)且有直到n+1階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，若(x0+h,y0+k)為此鄰域內(nèi)任意一點(diǎn)，則有

(3)

由2.1節(jié)可知，對(duì)模型函數(shù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化的目的是為了加快泰勒展開(kāi)式余項(xiàng)的收斂速度。泰勒展開(kāi)式余項(xiàng)的收斂速度越快，計(jì)算所得結(jié)果收斂的就越快；如果泰勒展開(kāi)式的余項(xiàng)收斂速度慢，則計(jì)算所得結(jié)果將會(huì)不理想，此時(shí)建議引入子區(qū)間技術(shù)以加快計(jì)算結(jié)果的收斂速度。

對(duì)于余項(xiàng)收斂速度快的泰勒展開(kāi)式，去掉其余項(xiàng)，再將模型函數(shù)的泰勒展開(kāi)式表示為區(qū)間多項(xiàng)式形式

(4)

至此，事故再現(xiàn)模型已成功轉(zhuǎn)化為區(qū)間多項(xiàng)式形式，直接通過(guò)區(qū)間多項(xiàng)式上下界公式便可以計(jì)算出事故再現(xiàn)模型的結(jié)果區(qū)間。

2.3 基于區(qū)間多項(xiàng)式上下界公式的事故再現(xiàn)結(jié)果區(qū)間計(jì)算

當(dāng)獲得事故再現(xiàn)模型的區(qū)間多項(xiàng)式形式后，定義

(5)

(6)

令矩陣D=BAC，則二元區(qū)間多項(xiàng)式f(x,y)的等價(jià)仿射函數(shù)為

(7)

(8)

(9)

如函數(shù)為三元函數(shù)，則其區(qū)間多項(xiàng)式形式為

(x,y,z)∈[xL,xU]×[yL,yU]×[zL,zU]

(10)

可將該式改寫為張量積形式，即

f(x,y,z)=X?x(Z?zA)?yY

(11)

式中：X=(1,x,…,xn)；Y=(1,y,…,ym)T；Z=(1,z,…,zl)；Aijk為張量系數(shù)。

(12)

(13)

根據(jù)文獻(xiàn)[12]，則f(x,y,z)的上下界公式可給出

(14)

(15)

依此類推，其他多元情況下均可推導(dǎo)出相應(yīng)的上下界公式進(jìn)行計(jì)算，限于篇幅，后面所有工作均僅以二元函數(shù)為例。

2.4 算例分析

下面用3個(gè)數(shù)值算例來(lái)驗(yàn)證此改進(jìn)仿射算法：

用仿射算法、區(qū)間算法與本文方法計(jì)算各算例中值域，結(jié)果列入表1中。

表1 不同計(jì)算方法的結(jié)果比較

通過(guò)表1中的不同計(jì)算方法得到的結(jié)果對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于算例1，區(qū)間算法和仿射算法這兩種方法得到的結(jié)果都已失真，而用本文方法計(jì)算得到的結(jié)果區(qū)間接近真實(shí)值；對(duì)于算例2，區(qū)間算法計(jì)算得到的結(jié)果已失真，仿射算法計(jì)算得到的結(jié)果比較接近真實(shí)值，本文方法計(jì)算得到的結(jié)果精度比仿射法更高；對(duì)于算例3，用仿射算法計(jì)算得到結(jié)果誤差很大，區(qū)間算法計(jì)算得到的結(jié)果比較可靠，而本文方法計(jì)算得到的結(jié)果更加可靠?？偟膩?lái)說(shuō)，通過(guò)這3個(gè)算例可以發(fā)現(xiàn)，本文方法計(jì)算得到的結(jié)果更接近真實(shí)值，計(jì)算結(jié)果的精度比區(qū)間算法和仿射算法更高。而對(duì)于區(qū)間多項(xiàng)式上下界公式，因3個(gè)模型中均含有除法運(yùn)算，故據(jù)此公式均無(wú)法獲得相對(duì)應(yīng)的值域。

3 仿真再現(xiàn)結(jié)果不確定性分析步驟

因能充分利用事故現(xiàn)場(chǎng)痕跡對(duì)事故進(jìn)行再現(xiàn)，仿真方法在事故再現(xiàn)中越來(lái)越受重視。但仿真中模型為隱式，由于不知道模型的具體表達(dá)式，無(wú)法對(duì)其進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，則需進(jìn)行以下操作：首先用拉丁超立法抽樣在區(qū)間痕跡空間域內(nèi)設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，得到均勻的實(shí)驗(yàn)樣本；接著根據(jù)實(shí)驗(yàn)樣本，借助隱式模型計(jì)算車速；然后依據(jù)所得車速及實(shí)驗(yàn)樣本進(jìn)行回歸分析，得到隱式模型的近似響應(yīng)面模型，最后再對(duì)所得響應(yīng)面模型進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。事實(shí)上，因?yàn)榛貧w模型具有可控性，因而常在獲取響應(yīng)面模型過(guò)程中，采用多項(xiàng)式的形式，則可以直接省去后續(xù)的泰勒展開(kāi)步驟。具體步驟如下：

步驟1 借助拉丁超立法實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，在由區(qū)間痕跡所組成的不確定空間域內(nèi)生成均勻分布的實(shí)驗(yàn)樣本；

步驟2 根據(jù)實(shí)驗(yàn)樣本，借助Pc-Crash軟件對(duì)事故進(jìn)行再現(xiàn)仿真，確保每一次仿真實(shí)驗(yàn)中仿真痕跡均與實(shí)際情況吻合，得到與實(shí)驗(yàn)樣本相符的車速；

步驟3 將步驟2中通過(guò)Pc-Crash軟件仿真得到的車速與對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)樣本進(jìn)行回歸分析，得到事故再現(xiàn)模型的近似響應(yīng)面模型；

步驟4 對(duì)近似響應(yīng)面模型進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理；

步驟5 對(duì)標(biāo)準(zhǔn)化處理后的模型進(jìn)行泰勒展開(kāi)，得到泰勒展開(kāi)式；

步驟6 判斷泰勒展開(kāi)式通項(xiàng)的收斂速度，如果通項(xiàng)的收斂速度快，則泰勒展開(kāi)式表達(dá)為矩陣形式多項(xiàng)式；如果泰勒展開(kāi)式通項(xiàng)的收斂速度慢，則直接改用子區(qū)間法進(jìn)行計(jì)算；

步驟7 通過(guò)區(qū)間多項(xiàng)式上下界公式計(jì)算，輸出結(jié)果區(qū)間取值區(qū)間。

對(duì)于仿真來(lái)說(shuō)，步驟3、步驟4、步驟5、步驟6?？珊喜?，在獲取響應(yīng)面模型過(guò)程中，則選擇矩陣形式多項(xiàng)式。

4 真實(shí)事故案例分析

這是一起真實(shí)的車-兩輪車碰撞事故：2014年的5月的某天上午，天氣晴，在我國(guó)湖南省某地，一輛自西向東行駛的小轎車和一輛自西向北轉(zhuǎn)彎行駛的兩輪電動(dòng)車發(fā)生碰撞，造成了兩輪電動(dòng)車駕駛員死亡的重大交通事故。事故現(xiàn)場(chǎng)為干燥瀝青路面，其摩擦因數(shù)為u，根據(jù)《典型交通事故形態(tài)車輛行駛速度技術(shù)鑒定》[13]，u的取值區(qū)間為[0.6，0.8]；在事故現(xiàn)場(chǎng)采集到了小轎車的制動(dòng)距離s，其長(zhǎng)度為[20.3， 23.8] m。圖1給出事故現(xiàn)場(chǎng)示意圖。根據(jù)警方的委托，需要對(duì)這起事故中事故小轎車的車速進(jìn)行鑒定。

圖1 事故現(xiàn)場(chǎng)示意圖Fig.1 A sketch of the accident scene

根據(jù)改進(jìn)仿射算法的步驟，先在不確定區(qū)間痕跡空間域內(nèi)生成均勻分布的實(shí)驗(yàn)樣本點(diǎn)，數(shù)據(jù)見(jiàn)表2。

表2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)及仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

然后根據(jù)表2中數(shù)據(jù)，借助Pc-Crash進(jìn)行仿真再現(xiàn)，要求每一次再現(xiàn)中均保證事故現(xiàn)場(chǎng)痕跡均能在仿真中得到合理的解釋。如進(jìn)行第5次實(shí)驗(yàn)，需要反復(fù)調(diào)整車輛的車速及其他相關(guān)參數(shù)，以使仿真中痕跡與事故現(xiàn)場(chǎng)痕跡相吻合。圖2給出兩輪車變形情況對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)，兩輪車的最大變形位置和仿真中碰撞位置是吻合的，這說(shuō)明兩輪車與小轎車的接觸位置與實(shí)際情況是相符的；圖3給出兩輪車駕駛員頭部與小轎車風(fēng)擋玻璃接觸位置，在圖3中，小轎車擋風(fēng)玻璃凹陷破碎的地方和仿真試驗(yàn)中被撞人員頭部接觸位置一致，這說(shuō)明人車接觸位置與實(shí)際情況是相符的；圖4是仿真試驗(yàn)的二維仿真結(jié)果，由圖4可知，兩輪車駕駛員、兩輪電動(dòng)車和小轎車的最終位置和事故現(xiàn)場(chǎng)圖能很好的吻合，說(shuō)明仿真結(jié)果能很好的符合實(shí)際情況。相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果(事故車輛車速)列入表2中。

圖2 小轎車與兩輪車碰撞時(shí)的相對(duì)位置Fig.2 The relative position of the motorcycle and the vehicle

圖3 兩輪車駕駛員頭部與小轎車擋風(fēng)玻璃接觸位置Fig.3 The relative position of the pedestrian and the vehicle

圖4 二維仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results (2D)

依據(jù)表2中的數(shù)據(jù)，通過(guò)回歸分析，可得近似響應(yīng)面模型

v=62.274+0.116s+14.827u+29.917u5

(16)

該回歸方程的相關(guān)系數(shù)為0.997、殘差平方和為0.11，表明回歸關(guān)系顯著。由于在回歸分析時(shí)，已對(duì)近似響應(yīng)面模型的表達(dá)式進(jìn)行控制，得到的回歸模型函數(shù)可以直接表達(dá)為矩陣形式的二元區(qū)間多項(xiàng)式形式，故無(wú)需再對(duì)回歸模型函數(shù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理和泰勒展開(kāi)。接下來(lái)用區(qū)間多項(xiàng)式上下界公式計(jì)算車速的取值區(qū)間，為[75.8， 86.7]km/h。很顯然，在事故鑒定過(guò)程中，這樣一個(gè)區(qū)間值比僅給出一個(gè)單一的數(shù)值說(shuō)服力要大得多，特別是在事故路段有限速值情況下，如60km/h，在此種情況下此案例中事故車輛無(wú)論如何均是超速的，可省去很多無(wú)謂爭(zhēng)論。

5 結(jié) 論

結(jié)合仿射算法、區(qū)間多項(xiàng)式上下界公式及泰勒公式，給出了一種計(jì)算事故再現(xiàn)結(jié)果區(qū)間的改進(jìn)仿射算法，詳細(xì)介紹了該方法的各個(gè)步驟，特別是利用該方法分析事故再現(xiàn)仿真結(jié)果不確定性的步驟，最后給出了3個(gè)數(shù)值算例及1個(gè)真實(shí)案例。

(1)通過(guò)3個(gè)數(shù)值算例，將改進(jìn)仿射算法與仿射及區(qū)間算法進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)不管是區(qū)間算法能算的很好案例，還是仿射算法能算的很好的案例，亦或是兩種方法均算的不好的案例，均能借助改進(jìn)仿射算法得到這些案例的好的結(jié)果。至于區(qū)間多項(xiàng)式上下界公式，因其不能計(jì)算除法，故在這3個(gè)算例中均無(wú)法應(yīng)用。

(2)通過(guò)一個(gè)真實(shí)的車-兩輪車事故案例，演示了并論證了文中所給出的分析事故再現(xiàn)仿真結(jié)果不確定性的改進(jìn)仿射算法，計(jì)算結(jié)果表明，用改進(jìn)仿射算法可以依據(jù)事故現(xiàn)場(chǎng)不確定區(qū)間痕跡獲得事故再現(xiàn)結(jié)果的取值區(qū)間。

(3)改進(jìn)仿射算法在計(jì)算事故再現(xiàn)結(jié)果區(qū)間時(shí)，雖能得到較好的結(jié)果，但是計(jì)算結(jié)果與真實(shí)值還存在一定誤差，這是后續(xù)工作需要努力的地方。

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A modified affine arithmetic for analyzing the uncertainty of reconstructed results in traffic accidents with interval traces

ZOU Tiefang1,2, PENG Haitao1,2, XIAO Jing1,2, CAI Ming3, LI Hua1,2

(1. School of Automobile and Mechanical Engineering, Changsha University of Science and Technology, Changsha 410114, China; 2. Hunan Province Key Laboratory of Safety Design and Reliability Technology for Engineering Vehicle, Changsha 410114, China; 3. Guangdong Provincial Key Laboratory of Intelligent Transportation System, School of Engineering, Sun Yat-sen University, Guangzhou 510275, China)

The reconstructed result in a traffic accident with interval traces is still interval. The result obtained from the affine arithmetic is not so accurate because of the nonlinear of the accident reconstruction model. In order to enhance the accuracy of a reconstructed result, the affine arithmetic was modified by combining the Taylor series. In the modified method, the accident reconstruction model was standardized and expanded as Taylor series firstly. And then, the Taylor expansion was converted to its affine form and recorded as a matrix. The interval of the reconstructed result could be calculated by the upper and lower bounds formula finally. Furthermore, steps of the modified method in analyzing the uncertainty of a simulation result were given. Three numerical cases and a real accident case were analyzed. It is shown that results obtained from the modified affine arithmetic are all accurate and the method can work under any conditions, which proves the modified method is practical.

accident reconstruction; uncertainty analysis; affine arithmetic; interval traces; interval

國(guó)家自然科學(xué)基金(51405035)；湖南省自然科學(xué)基金(2016JJ2003)； 廣東省科技計(jì)劃項(xiàng)目(2015B010110005)；道路交通安全公安部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放基金(2016ZDSYSKFKT08)

2016-04-08 修改稿收到日期： 2016-07-06

鄒鐵方 男，博士，副教授，1982年7月生

U491.3; TP391.91

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.16.011