欠約束多機(jī)協(xié)調(diào)吊運(yùn)系統(tǒng)工作空間和運(yùn)動穩(wěn)定性分析

王硯麟， 趙志剛， 蘇 程， 李勁松， 季 鋼

(1. 蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 蘭州 730070； 2. 上海交通大學(xué) 機(jī)械與動力工程學(xué)院， 上海 200030)

欠約束多機(jī)協(xié)調(diào)吊運(yùn)系統(tǒng)工作空間和運(yùn)動穩(wěn)定性分析

王硯麟1， 趙志剛1， 蘇 程1， 李勁松2， 季 鋼2

(1. 蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 蘭州 730070； 2. 上海交通大學(xué) 機(jī)械與動力工程學(xué)院， 上海 200030)

主要針對多機(jī)器人協(xié)調(diào)吊運(yùn)系統(tǒng)的工作空間和運(yùn)動穩(wěn)定性進(jìn)行分析，根據(jù)吊運(yùn)系統(tǒng)驅(qū)動配置情況將系統(tǒng)分為3類；其次應(yīng)用牛頓歐拉方程建立了系統(tǒng)的廣義動力學(xué)模型；采用虛擬柔索法給出了該欠約束系統(tǒng)力旋量封閉的解決方案，并對系統(tǒng)工作空間進(jìn)行了分析，依據(jù)廣義逆矩陣?yán)碚摻o出了系統(tǒng)滿足運(yùn)動要求時(shí)柔索拉力的最優(yōu)解；根據(jù)克拉索夫斯基法給出了吊運(yùn)系統(tǒng)的運(yùn)動穩(wěn)定性判據(jù)；根據(jù)實(shí)例參數(shù)，對3類系統(tǒng)的工作空間進(jìn)行了數(shù)值仿真分析，并應(yīng)用方陣特征值分解法對工作空間中所有點(diǎn)的穩(wěn)定性進(jìn)行了計(jì)算。結(jié)果表明，3類系統(tǒng)在各自工作空間內(nèi)均是穩(wěn)定的，并獲得了3類系統(tǒng)的穩(wěn)定程度關(guān)系，研究結(jié)果為后續(xù)優(yōu)化系統(tǒng)運(yùn)動軌跡規(guī)劃和防擺控制打下基礎(chǔ)。

吊運(yùn)系統(tǒng)；多機(jī)器人系統(tǒng)；廣義動力學(xué)模型；工作空間；穩(wěn)定性分析

與傳統(tǒng)剛性并聯(lián)機(jī)器人相比，柔索式多機(jī)器人協(xié)調(diào)吊運(yùn)系統(tǒng)具有結(jié)構(gòu)簡單、工作空間大、負(fù)載能力強(qiáng)、運(yùn)動速度快、模塊化程度高、運(yùn)動靈活且精度高以及系統(tǒng)柔性好等優(yōu)點(diǎn)[1-4]，這使柔索式多機(jī)器人協(xié)調(diào)吊運(yùn)系統(tǒng)在工程應(yīng)用中得以重用，因此對該類系統(tǒng)的研究具有重要的理論和工程應(yīng)用價(jià)值。

近年來，國內(nèi)外對該類系統(tǒng)的相關(guān)研究形成了一定的體系，Ming等[5]根據(jù)柔索數(shù)目m和被吊運(yùn)物的自由度數(shù)n之間的關(guān)系將柔索牽引并聯(lián)機(jī)器人分為以下4 類: ①當(dāng)m=n時(shí), 為不完全約束定位機(jī)構(gòu)(Incompletely Restrained Positioning Mechanisms，IRPMs)；② 當(dāng)m=1+n時(shí), 為完全約束定位機(jī)構(gòu)(Completely Restrained Positioning Mechanisms，CRPMs)；③ 當(dāng)m>1+n時(shí),為冗余約束定位機(jī)構(gòu)(Redundantly Restrained Positioning Mechanisms，RRPMs)；④ 當(dāng)m

由于柔索只提供單向拉力，吊運(yùn)系統(tǒng)在運(yùn)動過程中有擺動現(xiàn)象，該現(xiàn)象會影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此研究系統(tǒng)穩(wěn)定性可為系統(tǒng)的防擺控制提供一定的基礎(chǔ)；而且現(xiàn)有文獻(xiàn)主要針對m≥n的情況進(jìn)行研究，對第4類欠約束吊運(yùn)系統(tǒng)的研究很少。欠約束吊運(yùn)系統(tǒng)具有結(jié)構(gòu)簡單、可操作度高以及系統(tǒng)可重組/拆卸程度高等優(yōu)點(diǎn)，因此，本文主要針對欠約束吊運(yùn)系統(tǒng)進(jìn)行相關(guān)特性研究，首先根據(jù)系統(tǒng)的驅(qū)動配置情況將系統(tǒng)分為3類，并利用牛頓歐拉方程建立了系統(tǒng)的廣義動力學(xué)建模，然后利用虛擬柔索發(fā)給出了欠約束系統(tǒng)力旋量封閉的解決方法，對吊運(yùn)系統(tǒng)工作空間進(jìn)行了分析，并根據(jù)廣義逆矩陣?yán)碚摻o出了系統(tǒng)滿足運(yùn)動要求時(shí)柔索拉力的最優(yōu)解，緊接著根據(jù)克拉索夫斯基法給出了系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)，同時(shí)給出了系統(tǒng)穩(wěn)定程度評價(jià)指標(biāo)，最后根據(jù)實(shí)例參數(shù)，分別對3類系統(tǒng)的工作空間進(jìn)行了數(shù)值仿真，由于欠約束吊運(yùn)系統(tǒng)的復(fù)雜性，無法用解析法判定系統(tǒng)的運(yùn)動穩(wěn)定性以及穩(wěn)定程度，因此，應(yīng)用方陣特征值分解法對工作空間內(nèi)所有點(diǎn)的穩(wěn)定性進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，結(jié)果為系統(tǒng)軌跡規(guī)劃奠定了基礎(chǔ)。

1 系統(tǒng)構(gòu)型及分類

柔索式多機(jī)器人協(xié)調(diào)吊運(yùn)系統(tǒng)是由模塊化的串聯(lián)機(jī)器人、柔索和被吊運(yùn)物組成的并聯(lián)機(jī)器人系統(tǒng)，對欠約束吊運(yùn)系統(tǒng)而言，三者之間存在很強(qiáng)的力學(xué)耦合性。系統(tǒng)空間構(gòu)型如圖1所示。

被吊運(yùn)物通過柔索懸掛在各機(jī)器人下方，其中：{O}為全局坐標(biāo)系；{p} 為被吊運(yùn)物體坐標(biāo)系；bi為柔索與機(jī)器人末端的連接結(jié)點(diǎn)；Ai和Bi分別為各機(jī)器人第一、第二關(guān)節(jié)運(yùn)動副；aij為第i臺機(jī)器人的第j根連桿的有效長度；θij為各機(jī)器人的關(guān)節(jié)角位移；pi為柔索與被吊運(yùn)物之間的連接結(jié)點(diǎn)；Li為柔索位置矢量，(φ1,φ2,φ3)為被吊運(yùn)物的姿態(tài)；p(x,y,z)為被吊運(yùn)物的位置。被吊運(yùn)物空間位姿的變化可通過調(diào)節(jié)機(jī)器人末端位置和柔索長度來調(diào)整。柔索長度可由機(jī)器人末端的繞線輪來調(diào)節(jié)，機(jī)器人的數(shù)量和類型可根據(jù)實(shí)際任務(wù)的需求來確定。

圖1 吊運(yùn)系統(tǒng)空間構(gòu)型Fig. 1 Spacial configuration of towing system

根據(jù)系統(tǒng)驅(qū)動配置情況將系統(tǒng)分為3類：① 定柔索長度，柔索長度確定，僅通過調(diào)節(jié)機(jī)器人末端位置來調(diào)整被吊運(yùn)物的位姿；② 變?nèi)崴鏖L度，固定機(jī)器人末端位置，通過調(diào)節(jié)柔索長度來調(diào)整被吊運(yùn)物的位姿；③ 變?nèi)崴鏖L度，變機(jī)器人末端位置，實(shí)現(xiàn)被吊運(yùn)物位姿的變化。本文主要研究吊運(yùn)系統(tǒng)的相關(guān)特性，單臺機(jī)器人不在詳細(xì)說明。

2 系統(tǒng)動力學(xué)建模

假設(shè)系統(tǒng)由m臺機(jī)器人組成，實(shí)現(xiàn)被吊運(yùn)物的n個(gè)自由度，且m

(i=1, 2, …, m)

(1)

式中：xi, yi, zi為各機(jī)器人末端bi在全局坐標(biāo)系{O}中的位置；xpi, ypi,zpi為柔索與被吊運(yùn)物連接點(diǎn)pi在全局坐標(biāo)系{O}中的位置，且有

(2)

式中：[pxpi,pypi,pzpi]T為pi在體坐標(biāo)系{P}中的位置；oRp為旋轉(zhuǎn)矩陣。

oRp=Rz(φ3)Ry(φ2)Rx(φ1)=

被吊運(yùn)物在m根柔索拉力的牽引和自身重力作用的下實(shí)現(xiàn)期望運(yùn)動，由牛頓歐拉方程可得系統(tǒng)的廣義動力學(xué)方程

AT=b

(3)

式中，A為結(jié)構(gòu)矩陣。

(4)

T=[t1,t2,…,tm]T

(5)

(6)

3 工作空間分析

3.1 力旋量封閉分析

由矢量封閉原理[17]知，在n自由度柔索并聯(lián)系統(tǒng)中，至少需要n+1根柔索才能滿足矢量封閉原理。而且矢量封閉原理可以保證每根柔索的拉力為正，且對任意的外力旋量都有解。

針對m根柔索6自由度欠約束吊運(yùn)系統(tǒng)，為了滿足力旋量封閉條件，可將被吊運(yùn)物的重力和慣性力均視為不同虛擬柔索的拉力，其單位向量分別為eg,ex,ey,ez，這樣系統(tǒng)動力學(xué)方程可表示為

J+T+=0

(7)

其中，

(8)

式中：ax、ay、az分別為被吊運(yùn)物在X、Y、Z軸方向上的平移加速度；Jw為重力和慣性力構(gòu)成的旋量矩陣。

(9)

式中，Jg，Jx，Jy，Jz分別為被吊運(yùn)物在重力方向、X、Y、Z軸方向上的旋量。

當(dāng)柔索數(shù)目m=1，2時(shí)，通過各機(jī)器人協(xié)調(diào)運(yùn)動和動態(tài)調(diào)整柔索長度，最多可以動態(tài)控制實(shí)現(xiàn)被吊運(yùn)物n=3個(gè)自由度，考慮重力和各坐標(biāo)軸方向上的旋量Jw時(shí)完全可以滿足m≥n+1，即m=1，2時(shí)，有1≤n≤3，滿足力旋量封閉條件；當(dāng)柔索數(shù)目m≥3時(shí)，通過各機(jī)器人協(xié)調(diào)運(yùn)動和動態(tài)調(diào)整柔索長度，最多可以動態(tài)控制實(shí)現(xiàn)被吊運(yùn)物n=6個(gè)自由度，考慮旋量Jw時(shí)同樣滿足m≥n+1，即m≥3時(shí)，有1≤n≤6，滿足力旋量封閉條件；對欠約束吊運(yùn)系統(tǒng)而言，滿足m≤n，因此，當(dāng)m≥3時(shí)，3

依據(jù)多指無摩擦抓取模型以及凸集理論，可以得到m根柔索6自由度吊運(yùn)系統(tǒng)判斷力旋量封閉的凸條件：

條件1 吊運(yùn)力旋量封閉；

條件2J+的列正張成Rn；

條件3 {Ji}的凸包包含原點(diǎn)的鄰域；

條件4 不存在矢量η∈Rn，η≠0，滿足所有的ηJi≥0，i=1,2，… ，m。

以上4個(gè)條件都是等價(jià)的，在應(yīng)用中條件4在計(jì)算方面很有實(shí)際意義，矢量η可以由J+的列向量得到：通過任選J+的兩個(gè)列向量構(gòu)成支撐平面，用ηij表示其列向量Ji、Jj構(gòu)成支撐平面的法向量。

3.2 工作空間分析與求解

并聯(lián)機(jī)器人系統(tǒng)的工作空間分析求解方法主要有兩種：解析法和數(shù)值法。雖然解析法可以很完整表述分析其工作空間，但該類并聯(lián)機(jī)器人系統(tǒng)構(gòu)型很復(fù)雜，存在力學(xué)耦合性，對欠約束并聯(lián)機(jī)器人系統(tǒng)的位置解問題相關(guān)文獻(xiàn)的研究至今沒有完善的解決方法，所以，解析法不適用該類構(gòu)型復(fù)雜的空間型并聯(lián)機(jī)器人系統(tǒng)的工作空間求解，再加上要進(jìn)一步考慮柔索拉力的可行變化范圍，吊運(yùn)系統(tǒng)的實(shí)際工作空間(即力旋量可行工作空間)會明顯小于對應(yīng)理論分析求解的工作空間，而且力旋量可行工作空間只能采用數(shù)值分析的方法來確定。盡管數(shù)值法具有計(jì)算量大和精度受限的缺陷，但數(shù)值法易于程序化、思路清晰，可以直觀地顯示吊運(yùn)系統(tǒng)的實(shí)際工作空間，因此，本文將采用數(shù)值法求解吊運(yùn)系統(tǒng)的工作空間，并在此基礎(chǔ)上分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

系統(tǒng)的工作空間是指在滿足系統(tǒng)約束條件時(shí)，系統(tǒng)執(zhí)行器即被吊運(yùn)物質(zhì)心可到空間位置的集合，可以用數(shù)學(xué)描述為W={(x,y,z,φ1,φ2,φ3)∈R6|g0(x,y,z,φ1,φ2,φ3)≤0}

(10)

式中:W為吊運(yùn)系統(tǒng)的廣義工作空間；x,y,z為被吊運(yùn)物在全局坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)；φ1,φ2,φ3為被吊運(yùn)物的姿態(tài)角；R6為六維實(shí)數(shù)域；g0為系統(tǒng)的約束條件式。

采用蒙特·卡洛方法隨機(jī)產(chǎn)生機(jī)器人末端位置和被吊運(yùn)物姿態(tài)，由式(1)、式(2)可以求得被吊運(yùn)物的空間位置和柔索長度，被吊運(yùn)物位置應(yīng)滿足

(11)

在給定被吊運(yùn)物位姿時(shí)，方程式(3)可視為一個(gè)關(guān)于T的非齊次線性方程組，在不發(fā)生奇異運(yùn)動時(shí)，rank(A)≤min(m,n)，本文研究欠約束吊運(yùn)系統(tǒng)，所以rank(A)≤m。如果rank(A) ≠rank(A,b)，則方程組無解，即不滿足系統(tǒng)約束條件；如果rank(A) =rank(A,b)=m，系統(tǒng)存在唯一解，此時(shí)，由式(3)可知柔索拉力為

T=A-1b

(12)

如果rank(A) =rank(A,b)

T*=AT(AAT)-1b

(13)

其物理意義為滿足被吊運(yùn)物運(yùn)動要求時(shí)柔索拉力的最優(yōu)解。

柔索只能提供單向拉力，因此柔索拉力必須為正，且不能超過其柔索的最大允許拉力值，即柔索拉力應(yīng)滿足條件

(14)

式中：Tf max為柔索安全情況下的最大允許拉力；Tlim為柔索所能承受的極限拉力；k為安全系數(shù)，且1.5

具體計(jì)算步驟如下：

步驟1 采用蒙特·卡洛方法隨機(jī)產(chǎn)生機(jī)器人末端位置和被吊運(yùn)物姿態(tài)，通過式(4)、式(6)分別計(jì)算結(jié)構(gòu)矩陣rank(A) 和rank(A,b)；

步驟2 判斷是否滿足rank(A) =rank(A,b)=m，若是，則根據(jù)式(12)計(jì)算柔索拉力，進(jìn)入步驟4，否則進(jìn)入步驟3；

步驟3 判斷是否滿足rank(A) =rank(A,b)

步驟5 重復(fù)步驟1～步驟4直至結(jié)束。

4 穩(wěn)定性分析

系統(tǒng)穩(wěn)定性是系統(tǒng)能正常工作的首要條件，是指系統(tǒng)受到外部干擾時(shí)，被吊運(yùn)物是否能回到原有位姿狀態(tài)的能力。本文根據(jù)克拉索夫斯基法給出系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)，由于該系統(tǒng)的自身的復(fù)雜性，無法直接用解析的方法直接判定系統(tǒng)穩(wěn)定性，因此，本文只在系統(tǒng)工作空間內(nèi)應(yīng)用數(shù)值方法進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定性判定，這樣更具有工程應(yīng)用價(jià)值。在計(jì)算時(shí)，應(yīng)用方陣特征值分解法計(jì)算是否滿足穩(wěn)定性判據(jù)條件以及系統(tǒng)穩(wěn)定程度評價(jià)指標(biāo)。

結(jié)合式(1)和式(3)，系統(tǒng)方程可表示為

f*(x)=0

(15)

(16)

忽略高階項(xiàng)Rn，整理后可進(jìn)一步寫為如下形式

(17)

該系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)，因此應(yīng)用克拉索夫斯基法判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。式(17)對x求偏導(dǎo)可寫為

(18)

定義Lyapunov函數(shù)為

V(x)=fT(x)f(x)

(19)

則有，

f(x)[JT(x)+J(x)]fT(x)=f(x)F(x)fT(x)

(20)

F(x)=J(x)+JT(x)

(21)

使F(x)矩陣負(fù)定，則表明系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。

若在上述函數(shù)中滿足：當(dāng)x→∞，有‖f(x)‖→∞時(shí)，進(jìn)一步表明系統(tǒng)是大范圍內(nèi)漸進(jìn)穩(wěn)定，對該系統(tǒng)而言，這一點(diǎn)明顯是成立的，故只需判定矩陣F(x)是否負(fù)定，即可判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

在計(jì)算系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí)，應(yīng)用方陣特征值分解的方法判斷矩陣F(x)是否負(fù)定

F(x)V=VD

(22)

V=[v1,v2, …,vm]

(23)

(24)

式(22)可寫成式(25)的形式，來求解特征值矩陣D

(F(x)-DE)=0

(25)

式中：D為矩陣F(x)的特征值矩陣；矩陣V的列向量vi為矩陣F(x)的對應(yīng)特征值λi的特征向量，由于F(x)是一個(gè)對稱矩陣，所以其特征值都是實(shí)數(shù)。如果λi<0，則矩陣F(x)負(fù)定，系統(tǒng)運(yùn)動穩(wěn)定；否則，則矩陣F(x)非負(fù)定，系統(tǒng)運(yùn)動不穩(wěn)定。

為評價(jià)吊運(yùn)系統(tǒng)在工作空間內(nèi)運(yùn)動的穩(wěn)定程度，提出用工作空間內(nèi)特征值λi的最大值S來衡量運(yùn)動的穩(wěn)定程度，即

S=max {λ1,λ2, …,λm}

(26)

若S≥0，則系統(tǒng)不穩(wěn)定或臨界穩(wěn)定；若S<0，則系統(tǒng)穩(wěn)定，且S的值越小，系統(tǒng)運(yùn)動穩(wěn)定程度越高。

5 數(shù)值仿真分析

以3臺機(jī)器人協(xié)調(diào)吊運(yùn)同一重物為例，如圖2所示為吊運(yùn)系統(tǒng)中各機(jī)器人末端工作空間在XOY平面上的投影，在Z方向上各機(jī)器人末端可達(dá)位置范圍為(1 m，1.4 m)，假設(shè)被吊運(yùn)物與柔索之間的連接結(jié)點(diǎn)成正三角形，且結(jié)點(diǎn)pi之間的距離l=0.1 m，被吊運(yùn)物質(zhì)量M=10 kg，轉(zhuǎn)動慣量分別為Jx=0.54，Jy=0.26，Jz=0.28，ax=ay=az=0.000 1 m/s2，被吊運(yùn)物姿態(tài)范圍(-1 rad，1 rad), 柔索安全情況下的最大拉力Tf max=500 N，依據(jù)上面分析可知，被吊運(yùn)物位置應(yīng)在以機(jī)器人末端位置最大值及其投影所組成的三棱柱內(nèi)。循環(huán)60 000次，對3類系統(tǒng)的工作空間進(jìn)行數(shù)值仿真，進(jìn)而對工作空間內(nèi)運(yùn)動穩(wěn)定性進(jìn)行計(jì)算。

圖2 機(jī)器人末端工作空間在XOY平面上的投影Fig. 2 Projection of robot-ends workspace onto the XOY plane

5.1 工作空間

5.1.1 定柔索長度

定柔索長度是指僅通過調(diào)整各機(jī)器人末端位置來調(diào)節(jié)被吊運(yùn)物的位姿，假設(shè)柔索長度Li=1.2 m，此時(shí)系統(tǒng)的工作空間如圖3(a)所示，圖3(b)、圖3(c)及圖3(d)分別給出了系統(tǒng)工作空間在XOY平面、XOZ平面和YOZ平面的投影。

圖3 定柔索長度系統(tǒng)工作空間及投影Fig. 3 Workspace and projection for fixed cable length

綜合圖3(a)～圖3(d)可知，定柔索長度時(shí)，系統(tǒng)的工作空間從下到上由類似倒立三角錐形變?yōu)轭愃崎L方體，共計(jì)33 871個(gè)可達(dá)位置點(diǎn)。X的取值范圍X∈(1.15，1.34)，Y的取值范圍Y∈(0.7，1.18)，Z的取值范圍Z∈(0.6，1.38)。

為更加清楚表達(dá)其在不同高度的工作情況及性能，圖4(a)、圖4(b)、圖4(c)及圖4(d)分別給出了Z=0.6 m，Z=1.9 m，Z=1.2 m,Z=1.35 m時(shí)的工作截面，由圖4(a)可知Z=0.6 m時(shí)的工作截面圖類似三角形，圖4(d)可知Z=1.35 m時(shí)的工作截面圖類似長方形，結(jié)合圖4(b)，圖4(c)和圖4(d)可知越往上，截面形狀越類似于長方形。其主要原因有：其一是柔索長度的固定，其二是各機(jī)器人末端工作空間為長方體的緣故。

圖4 不同高度下的工作截面Fig. 4 Work cross sections in different high

5.1.2 變?nèi)崴鏖L度

變?nèi)崴鏖L度是指固定各機(jī)器人末端，僅通過調(diào)整柔索長度來實(shí)現(xiàn)被吊運(yùn)物期望位姿的變化。將各機(jī)器人末端固定在其工作空間的幾何中心，即各機(jī)器人末端位置坐標(biāo)為b1(2.2,0.45,1.2)，b2(1.275,2.027,1.2)，b3(0.308,0.405,1.2)，變?nèi)崴鏖L度時(shí)，系統(tǒng)工作空間如圖5(a)所示，圖5(b)、圖5(c)及圖5(d)分別給出了系統(tǒng)工作空間在XOY平面、XOZ平面和YOZ平面的投影。

圖5 變?nèi)崴鏖L度系統(tǒng)工作空間及投影Fig. 5 Workspace and projection for variable cable length

綜合圖5(b)～圖5(d)可知，變?nèi)崴鏖L度時(shí)，系統(tǒng)的工作空間為以三臺機(jī)器人末端及末端的投影點(diǎn)組成的三棱柱，共計(jì)16 189個(gè)可達(dá)位置點(diǎn)。X的取值范圍X∈(0.31，2.2)，Y的取值范圍Y∈(0.45，2)，Z的取值范圍Z∈(0，1.18)。

5.1.3 柔索長度和機(jī)器人末端同時(shí)變

機(jī)器人末端和柔索長度同時(shí)變化來實(shí)現(xiàn)被吊運(yùn)物期望位姿的變化，在此情況下系統(tǒng)的工作空間如圖6(a)所示，圖6(b)、圖6(c)及圖6(d)分別給出了系統(tǒng)工作空間在XOY平面、XOZ平面和YOZ平面的投影。

圖6 柔索長度和機(jī)器人末端同時(shí)變化時(shí)系統(tǒng)工作空間及投影Fig. 6 Workspace and projection for variable cable length and robot-ends’ position

綜合圖6(b)～圖6(d)可知，柔索長度和機(jī)器人末端位置同時(shí)變化時(shí)，系統(tǒng)的工作空間也為以三臺機(jī)器人末端及末端的投影點(diǎn)組成的三棱柱，但范圍要比變?nèi)崴鏖L度大，共計(jì)16 275個(gè)可達(dá)位置點(diǎn)。X的取值范圍X∈(0.15，2.3)，Y的取值范圍Y∈(0.2，2.2)，Z的取值范圍Z∈(0，1.38)。

綜上所述，三類系統(tǒng)的工作空間依次增大，定柔索長度系統(tǒng)工作空間體積最小，變?nèi)崴鏖L度系統(tǒng)工作空間的體積次之，柔索長度和機(jī)器人末端位置同時(shí)變化時(shí)系統(tǒng)工作空間體積最大，并且依次存在包含關(guān)系。

5.2 運(yùn)動穩(wěn)定性仿真分析

表1分別給出了三類系統(tǒng)在工作空間內(nèi)所有點(diǎn)F(x)特征值分解情況，由表1可知所有點(diǎn)均滿足特征值λi<0，矩陣F(x)負(fù)定，即三類系統(tǒng)在各自工作空間內(nèi)運(yùn)動均是穩(wěn)定的。由三類系統(tǒng)S值的大小可知，定柔索長度情況下系統(tǒng)穩(wěn)定性最好，變?nèi)崴鏖L度情況的穩(wěn)定性次之，最后是柔索長度和機(jī)器人末端位置同時(shí)變化的情況，為后續(xù)吊運(yùn)系統(tǒng)軌跡規(guī)劃和系統(tǒng)防擺控制提供了依據(jù)。

表1 3類系統(tǒng)F(x)特征值分解情況

6 結(jié) 論

對欠約束多機(jī)器人協(xié)調(diào)吊運(yùn)系統(tǒng)的工作空間和運(yùn)動穩(wěn)定性進(jìn)行分析。首先依據(jù)系統(tǒng)驅(qū)動配置情況的不同，將吊運(yùn)系統(tǒng)分成3類系統(tǒng)；然后應(yīng)用牛頓歐拉方程建立了系統(tǒng)的廣義動力學(xué)模型，針對欠約束吊運(yùn)系統(tǒng)，采用虛擬柔索法給出了實(shí)現(xiàn)力旋量封閉的處理方法，對系統(tǒng)的工作空間進(jìn)行分析，并根據(jù)廣義逆矩陣?yán)碚摻o出了滿足運(yùn)動要求時(shí)柔索拉力的最優(yōu)解；隨后利用克拉索夫斯基法給出了系統(tǒng)運(yùn)動穩(wěn)定性判據(jù)；最后結(jié)合實(shí)例，對3類系統(tǒng)的工作空間進(jìn)行了數(shù)值仿真分析，并給出了3類系統(tǒng)工作空間體積大小和包含關(guān)系；應(yīng)用方陣特征值分解法計(jì)算各工作空間內(nèi)所有點(diǎn)的運(yùn)動穩(wěn)定性，結(jié)果表明，3類系統(tǒng)在各自工作空間內(nèi)運(yùn)動是穩(wěn)定的，并獲得了3類系統(tǒng)的穩(wěn)定程度關(guān)系，研究結(jié)果為進(jìn)一步優(yōu)化吊運(yùn)系統(tǒng)的軌跡規(guī)劃和防擺控制奠定了基礎(chǔ)。

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Analysis of the workspace and dynamic stability of a multi-robot collaboratively towing system

WANG Yanlin1, ZHAO Zhigang1, SU Cheng1, LI Jinsong2, JI Gang2

(1. School of Mechatronic Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China;2. School of Mechatronical and Power Engineering, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200030, China)

This paper aims to analyze the workspace and dynamic stability of a multi-robot collaboratively towing system. Firstly, the towing system was divided into three types of systems according to the driving configuration. Secondly, a generalized dynamic model of the system was established by Newton-Euler equations. Next, the method to solve the wrench enclosed of an under-constrained system was given by using the method of virtual cables. Its workspace was analyzed. An optimal result of the cables tension that satisfies the motion requirements of the system was given based on the generalized inverse matrix theory. Subsequently, the criterion of dynamic stability was given by the Krasovskii method. Finally, the system was parameterized by combining with a practical example. Numerical simulation and analysis of the workspaces of three types of systems were given. Stability calculations of all workspace's spots were done by using the method of the square matrix eigenvalue decomposition. The results show that three types of systems were dynamically stable in their workspaces. The relationships for the degree of stable of the three kinds of systems were obtained. The results have provided foundation for further research on optimization of motion trajectory planning and anti-sway control of towing systems.

towing system; multi-robots system; generalized dynamic model; workspace; stability analysis

國家自然科學(xué)基金資助(51265021)；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金新教師類資助課題(20126204120004)；教育部科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)(212184)；甘肅省自然科學(xué)基金資助(1212RJZA067)

2016-03-29 修改稿收到日期： 2016-07-08

王硯麟 男, 碩士, 1992年生

趙志剛 男, 博士, 教授, 1975年生

N945.12; TP391. 9

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.16.007