基于Hertz理論的泥石流塊石沖擊力修正系數(shù)研究

陳 劍， 王全才， 王 浩， 陳穎騏， 李 俊

(1.中國科學院 山地災害與地表過程重點實驗室，成都 610041；2.中國科學院 水利部成都山地災害與環(huán)境研究所，成都 610041；3.中國科學院大學，北京 100049；4.河南大學 土木建筑學院，河南 開封 475001)

基于Hertz理論的泥石流塊石沖擊力修正系數(shù)研究

陳 劍1,2,3， 王全才1,2， 王 浩4， 陳穎騏1,2,3， 李 俊1,2,3

(1.中國科學院 山地災害與地表過程重點實驗室，成都 610041；2.中國科學院 水利部成都山地災害與環(huán)境研究所，成都 610041；3.中國科學院大學，北京 100049；4.河南大學 土木建筑學院，河南 開封 475001)

基于Hertz彈性碰撞理論的修正公式是計算泥石流塊石沖擊力的有效方法之一，但公式中的修正系數(shù)目前尚無具體的量化方法。在Hertz接觸理論和Thornton彈塑性假設的基礎上，建立了泥石流塊石沖擊構筑物的計算模型，推導了修正系數(shù)的表達式。研究表明，修正系數(shù)是材料強度、泥石流塊石尺寸和速度的函數(shù)而非一個常量，其隨泥石流塊石沖擊速度的增加而減小，隨泥石流塊石半徑、構筑物材料強度的增加而增加。板子溝泥石流溝防治工程計算結果顯示，修正沖擊力僅為Hertz彈性碰撞沖擊力的15.58%。當泥石流塊石沖擊速度小于 3 m/s，修正系數(shù)大于0.20；當泥石流塊石沖擊速度大于3 m/s，修正系數(shù)介于0.10～0.20，計算結果與實踐估計較為一致。

泥石流；塊石沖擊力；修正系數(shù)；Hertz接觸力學；Thornton彈塑性假設

泥石流是山區(qū)常見的地質災害之一，在泥石流災害頻繁發(fā)生的地區(qū)，對其危害范圍內(nèi)的各種構筑物造成了嚴重威脅[1-2]。泥石流對構筑物的危害方式主要表現(xiàn)為沖擊和淤埋[3]，尤以塊石沖擊破壞最為顯著[4-5]。如1981年7月9日，成昆鐵路利子依達溝發(fā)生的特大泥石流攜帶數(shù)米的大塊石，其強大沖擊力沖毀橋墩，使正在行駛的一列火車跌入泥石流，造成360多人死亡[6]；1991年7月26日爆發(fā)的索通溝泥石流，其攜帶的大塊石將東側橋墩拱腳擊毀，造成混凝土雙曲拱橋完全被破壞[7]。類似由泥石流大塊石沖擊而引起的災害案例引起了各國學者的重視，有關泥石流大塊石的沖擊力計算成為泥石流研究的熱點[8-9]。

目前泥石流塊石沖擊力計算有多種方法。如章書成等[10]以材料力學和結構力學為基礎，將構筑物簡化為懸臂梁、簡支梁模型來計算泥石流大塊石作用于梳子壩支墩、橋梁等柱型結構上的沖擊力。工程實踐表明，此法計算結果比估計的承載力大[11]。Thornton[12]將泥石流大塊石與被沖擊物分別簡化為剛性體和塑性體來推導出泥石流的沖擊力公式，其適用于強度較低或年代久遠的構筑物被沖擊的情況。工程應用表明，此法得出的沖擊力遠小于其他計算方法所得的沖擊力。何思明等[13-14]以Hertz彈性碰撞理論為基礎，考慮不同因素如結構剛度、構筑物材料強度對沖擊力的影響從而推導了相應的沖擊力計算公式。Yamaguchi等[15-17]將泥石流中大塊石與結構的碰撞視為兩個球的對心碰撞，并采用修正系數(shù)的方法來考慮沖擊過程中接觸面的斷裂、摩擦、微小凸凹及流體的緩沖壓力對沖擊力的綜合影響。這種基于Hertz理論進行修正的方法是目前國內(nèi)外計算泥石流大塊石沖擊力的主流方法之一。但其最大的不足是修正系數(shù)力學意義模糊，一般通過工程經(jīng)驗或實驗確定，具有主觀性強，成本高昂或耗時周期長等缺點[18]。

本文以Hertz彈性碰撞理論為基礎，在Thornton彈塑性假設的條件下推導了泥石流大塊石沖擊力的計算公式，并對泥石流塊石沖擊力修正系數(shù)進行了量化，彌補了經(jīng)驗法確定修正系數(shù)的不足，其理論依據(jù)充分，參數(shù)明確，使用方便，可為泥石流多發(fā)區(qū)的防護結構設計提供可信的計算方法。

1 沖擊力的修正表達

Hertz在假設兩球體接觸面半徑為a的圓的前提下，給出了兩個球體在壓力作用P下的完備解，并給出了碰撞時的沖擊力式(1)～式(3)[19-20]，如圖1所示。

圖1 Hertz彈性碰撞模型Fig.1 Elastic collision model of Hertz

接觸面壓應力分布公式

(1)

式中：P(r)為接觸壓應力；P為接觸壓力；a為接觸面半徑；r為接觸半徑變量，取值范圍為0～a。

接觸變形量與接觸面半徑之間有如下關系

(2)

式中：R為等效半徑，R1、R2分別為兩個碰撞球體的半徑；δ為總壓縮量，δ1、δ2分別為兩個碰撞球體的變形量。

兩球碰撞時的沖擊力公式

(3)

式中：E為等效模量，E1、E2分別為兩個碰撞球體的彈性模量；μ1、μ2分別為兩個碰撞球體的泊松比。

國內(nèi)外學者在Hertz彈性碰撞理論的基礎上，將大塊石與構筑物的碰撞視為彈性碰撞，采用修正系數(shù)k來考慮材料、摩擦和斷裂耗能等對實際沖擊力的影響，提出了計算泥石流塊石沖擊力的通用式(4)

(4)

式中：F為修正沖擊壓力；k為修正系數(shù)。

目前，對修正系數(shù)k的確定主要通過經(jīng)驗估計或試驗為主，相關的理論計算還未見報道。如Mizuyama根據(jù)燒岳山的測量數(shù)據(jù)估計k=0.2，Yamaguchi根據(jù)MyoukouPlateau治理工程實踐得出k=0.1，周必凡等[21]對泥石流大塊石沖擊力進行了計算，并與實測值對比得出k = 0.06～0.11。可以看出，上述修正系數(shù)取值離散，主觀性強，因此有必要對修正系數(shù)進行量化。

2 Thornton彈塑性假設

材料相互接觸時，當最大接觸壓應力超過材料屈服強度時，就會在接觸面上產(chǎn)生塑性變形區(qū)。采用Thornton假設，忽略材料的塑性硬化或塑性軟化特性，視碰撞系統(tǒng)材料為理想彈塑性材料，材料屈服后，塑性區(qū)內(nèi)的接觸壓應力為一常數(shù)[22]，如圖2所示。

圖2 理想彈塑性材料壓應力分布Fig.2 Distribution of contact compressive stress of ideal elastoplastic material

由式(1)～式(3)可求出屈服壓應力與初始屈服對應的接觸半徑之間的關系式(5)

(5)

式中：py為接觸屈服壓應力；ay為初始屈服對應的接觸面半徑。

假設在某荷載P作用下，半徑為ap范圍內(nèi)的接觸面產(chǎn)生屈服，而超過這一范圍的接觸面仍滿足Hertz應力分布。根據(jù)式(1)有

(6)

結合式(2)、式(3)和式(5)可得到式(7)

(7)

則兩個物體之間的接觸壓力如式(8)所示

(8)

3 修正系數(shù)的量化

3.1 沖擊力的彈性解

根據(jù)Hertz彈性碰撞理論，質量為m1、運動速度為v1的球體對心碰撞于質量為m2、運動速度為v2的球體，當沖擊球體的半徑遠小于被沖擊球體的半徑，即r2? r1，v2=0時，可將沖擊球體視為泥石流大塊石，被沖擊球體視為在壩體自重和壩肩巖土體抗力作用下能保證壩體傾覆和滑移穩(wěn)定性的靜止構筑物，從而建立泥石流塊石對靜止攔擋壩的沖擊模型，如圖3所示。

圖3 泥石流塊石對攔擋壩的沖擊模型Fig.3 Impact model between boulder and blockingdam

根據(jù)牛頓第二定律有

(9)

由式(9)變形得式(10)

(10)

由式(3)可得沖擊壓力與接觸變形的關系式(11)

(11)

式中，m為等效質量，m1、m2分別為兩碰撞球體的質量。

對變形壓縮量進行積分并考慮作用點位置，則碰撞過程中最大壓縮量δ如式(12)所示

(12)

結合式(3)和式(12)，得出彈性沖擊力式(13)

(13)

式中，Pe為彈性沖擊力。

3.2 沖擊力的彈塑性解

沖擊過程中，當沖擊速度較小時，在物體沖擊接觸面上為彈性接觸，可直接用式(13)求得沖擊力。當沖擊速度大至一定量時，必然在沖擊接觸面上產(chǎn)生塑性變形區(qū)，此時存在一個臨界沖擊速度vc，由式(1)、式(3)、式(6)和式(12)可得關系式(14)

(14)

則臨界沖擊速度為式(15)

(15)

式中，ρ為塊石的天然密度。

Vu-Quoc[23-24]以Hertz接觸理論為基礎，在假設構筑物材料滿足vonMises屈服準則的條件下，推導了接觸屈服壓應力與材料強度之間的定量關系

(16)

式中：μ為沖擊物的泊松比；η(μ)為μ的函數(shù)，η(0.3)=

1.613，η(0.4)=1.738，當μ為其它值時，作線性插值處理；σy為被沖擊物的屈服強度，對于脆性材料取0.2%殘余變形對應的應力值。

工程實踐中，當沖擊速度小于臨界沖擊速度時，塊石沖擊力按式(13)計算；當沖擊速度大于臨界沖擊速度時，在接觸面上必然會產(chǎn)生塑性區(qū)，此時應考慮塑性區(qū)擴展對沖擊力大小的影響，結合式(1)、式(7)、式(12)、式(16)，得出塊石的彈塑性沖擊壓力式(17)

(17)

式中，Pep為彈塑性沖擊壓力。

3.3 沖擊力修正系數(shù)

(18)

由式(18)可以看出，修正系數(shù)k與ay、ap和a的大小相關。其中，ay由沖擊系統(tǒng)材料和大小決定，其值可通過式(5)和式(16)求出；a由沖擊系統(tǒng)的材料、大小及塊石速度確定，其值可通過式(2)和式(12)求出；ap值可通過式(7)求出。可以看出，沖擊力修正系數(shù)不僅與材料性質、沖擊系統(tǒng)對象尺寸有關，其還隨塊石沖擊速度的變化而變化。將式(18)的表達式代入式(4)，即可得到修正沖擊力公式。

4 實例研究與分析

為驗證本文方法的合理性，以板子溝攔擋壩受泥石流大塊石沖擊為例予以說明。

該處攔擋壩材料為C35混凝土，密度2 420kg/m3；大塊石為花崗巖，密度2 700kg/m3，等效半徑R=0.8m。根據(jù)板子溝泥石流現(xiàn)場雷達測速儀所獲取的觀測數(shù)據(jù)，同時結合其洪痕斷面和改進曼寧公式的計算結果進行校驗，最終取觀測數(shù)據(jù)中的最大值v=5.6m/s作為泥石流大塊石速度來研究泥石流大塊石對攔擋壩的沖擊力，相關計算參數(shù)見表1。

表1 泥石流中塊石沖擊力計算參數(shù)

計算結果表明，泥石流大塊石的臨界沖擊速度僅為0.02 m/s，現(xiàn)實中泥石流流速一般遠高于此值，在本例研究中，泥石流塊石以5.6 m/s的速度沖擊下勢必形成大范圍的塑性區(qū)。如直接使用Hertz碰撞理論求得的彈性沖擊壓力P=22 581.27 kN，采用如此高的沖擊力進行泥石流防治工程設計，勢必會造成很大的浪費。采用本文的計算方法所計算出的修正沖擊壓力F=3 518.45 kN，修正沖擊壓力僅為彈性沖擊壓力的15.58%。黃宏斌等采用日本KYOWA公司生產(chǎn)的沖擊力測量系統(tǒng)進行泥石流塊石對攔擋壩的沖擊進行模型試驗，結果表明試驗值與Hertz理論值之比約為5.3%～7.6%。Mizuyama采用圓錐下沉的方法測定了日本燒岳山泥石流塊石的沖擊力，其現(xiàn)場試驗值與Hertz理論值之比高達11%，考慮到安全問題，Mizuyama指出實際沖擊力宜取Hertz理論值的20%?？梢钥闯觯疚姆椒ǖ挠嬎憬Y果略大于模型或現(xiàn)場試驗結果，具有一定的安全儲備；同時小于Mizuyama經(jīng)驗估值，具有一定的經(jīng)濟性，綜合表明了本文計算方法的合理性和可靠性。

從圖4、圖5可以看出，隨塊石沖擊速度的增大，彈性沖擊壓力急劇增加，而修正沖擊壓力增長相對緩慢。隨速度增加，接觸面上的塑性區(qū)先急劇增大而后平穩(wěn)增長，相應的沖擊力修正系數(shù)先急劇降低而后緩慢降低，說明了實際沖擊力的增幅受到了塑性區(qū)發(fā)展的限制。從圖5可以看出，泥石流塊石沖擊過程中塑性區(qū)半徑較小，相應的塑性區(qū)壓縮量也較低，因此可在構筑物如泥石流攔擋壩表面施工一定厚度的低強度的混凝土，以減少塊石對構筑物施加的沖擊力，并在破壞后進行修復以預防下一次泥石流塊石的沖擊。

圖4 不同沖擊壓力與塊石速度的關系Fig.4 Relation between impact force and boulder velocity

圖5 修正系數(shù)與塑性區(qū)半徑和塊石速度的關系Fig.5 Relation between modified coefficient, radius of plastic zone and boulder velocity

圖6、圖7顯示了不同修正方法隨塊石速度變化時相應沖擊力的變化情況，計算結果表明當v<3 m/s時，本文修正方法所求得的沖擊力均大于Yamuguchi等[15-16]修正方法所求得的沖擊力，即k≥0.2；當v>3 m/s時，本文修正方法求得的沖擊力介于Yamuguchi等修正方法所求得的沖擊力之間，即0.2≥k≥0.1。隨速度增加，本文修正方法所求得的沖擊力逐漸趨近于Yamuguchi修正方法所求得的沖擊力，背離Mizuyama修正方法所求得的沖擊力。主要原因在于本文提出的修正系數(shù)是一個與速度有關的變量，可以反映不同速度下沖擊力的動態(tài)響應，而Yamuguchi等修正方法所提出的修正系數(shù)僅是根據(jù)經(jīng)驗而定的兩個離散常量。

圖8表明，修正系數(shù)隨材料強度的增加而增大，隨速度增加而降低。高強度和高彈性模量的材料在塊石低速沖擊的情況下顯示更強的彈性性質，修正系數(shù)隨速度增加先急劇衰減，而后逐漸趨于平緩。低強度和低彈性模量的材料表現(xiàn)出更強的彈塑性性質，隨速度增加修正系數(shù)變化相對平穩(wěn)，修正系數(shù)總體上表現(xiàn)為一個較平穩(wěn)的低值，這說明了強度和彈性模量較低的混凝土構筑物能有效降低作用在構筑物上的塊石沖擊力。

圖6 不同修正方法計算沖擊力比較Fig.6 Comparison of impact force caculatedby different methods

圖7 修正系數(shù)與塊石沖擊速度關系Fig.7 Relation between modified coefficientand boulder velocity

圖8 修正系數(shù)與構筑物材料和塊石速度的關系Fig.8 Relation between modified coefficient and bouldervelocity (different materials)

圖9表明，隨塊石半徑增加，修正系數(shù)顯著增長，臨界沖擊速度增大。當塊石半徑較小，修正系數(shù)較小，且總體較為平緩。隨塊石半徑增加，修正系數(shù)也逐漸增加，且在塊石低速沖擊的情況下修正系數(shù)隨塊石半徑的增加而增長速率較大。與構筑材料對修正系數(shù)的影響相比，塊石半徑對修正系數(shù)的影響更為顯著。當塊石半徑R>1.0 m時，修正系數(shù)將顯著增長，因此在工程設計前應對泥石流溝展開詳細的野外調查工作以確定最大塊石的等效半徑。

圖9 修正系數(shù)與塊石半徑和速度的關系Fig.9 Relation between modified coefficient and bouldervelocity (different boulder radius)

5 結 論

基于Hertz接觸理論和Thornton彈塑性假設，建立了泥石流塊石沖擊構筑物的計算模型，導出了泥石流大塊石對構筑物的修正沖擊力表達式。以板子溝泥石流溝塊石對攔擋壩的沖擊進行實例研究，得出以下結論：

(1)沖擊力修正系數(shù)是塊石沖擊速度、沖擊系統(tǒng)材料性質和塊石尺寸的函數(shù)而非一個常量。其隨塊石沖擊速度的增加而降低，隨構筑物材料強度和彈性模量、塊石半徑的增加而增加。

(2)混凝土為典型的彈塑性材料，塊石以很小的速度沖擊混凝土結構即可產(chǎn)生塑性區(qū)。直接采用Hertz理論計算的泥石流塊石沖擊力偏大，考慮了攔擋壩材料的彈塑性質所計算出的沖擊力更為接近實際情況。

(3)直接采用Hertz理論計算的沖擊力隨塊石沖擊速度的增加而急劇增長，考慮材料彈塑性質所計算出的沖擊力隨塊石沖擊速度增加而緩慢增加，實際沖擊力的增幅受到塑性區(qū)發(fā)展的限制。

(4)直徑為0.8 m的塊石沖擊C35混凝土結構時，當v<3 m/s時，k>0.2，以彈性沖擊為主；當v≥3 m/s時，0.2≥k≥0.1，以彈塑性沖擊為主。修正系數(shù)與工程實踐估計具有良好的一致性，證明了修正系數(shù)表達式的合理性。

(5)泥石流防治工程設計前，應充分調查工程區(qū)內(nèi)泥石流塊石半徑分布情況，以便較準確估算泥石流塊石對結構的沖擊力。設計中，可在防治工程結構表面施作一定厚度的低強度混凝土以降低塊石對結構的沖擊力，增強其抗沖擊性能。

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A study on the modified coefficient for impact force of bouldersconveyed in debris flow based on the Hertz theory

CHEN Jian1,2,3, WANG Quancai1,2, WANG Hao4, CHEN Yingqi1,2,3, LI Jun1,2,3

(1. Key Laboratory of Mountain Hazards and Surface Process, Chinese Academy of Sciences, Chengdu 610041, China;2. Institute of Mountain Hazards and Environment, Chinese Academy of Sciences, Chengdu 610041, China;3. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China;4. School of Civil Engineering and Architecture, Henan University, Kaifeng 475001, China)

Modified formula based on the Hertz elastic collision theory is one of the effective methods to calculate impact force exerted by boulders transported (IFEBT) in debris flow. However, there is no informative method to quantify the modified coefficient currently. A calculation model of IFEBT was built and the analytical equation of the modified coefficient was deduced based on the Hertz contact theory and the Thornton elastoplasticity hypothesis. The study shows that the modified coefficient is a function of material strength, boulder size, and velocity rather than constant. The IFEBT decreases with the growth of boulder velocity and increases with structure material strength and boulder size. The modified method was applied to control engineering for Ban Zigou debris flow. Calculation results show that the modified IFEBT in debris flow is only 15.58% of the one by the Hertz elastic theory. The modified coefficient is larger than 0.2 when boulder velocity is less than 3 m/s and ranges between 0.1 and 0.2 when boulder velocity is larger than 3 m/s.

debris flow; impact force of boulder; modified coefficient; Hertz contact mechanics; thornton elastoplasticity hypothesis

國家自然科學基金重點項目(41030742)；中國科學院專項研發(fā)與聯(lián)合攻關服務(STS)項目(KFJ-EW-STS-094)

2016-04-27 修改稿收到日期： 2016-06-29

陳劍 男，博士生，1988年生

王全才 男，博士，研究員，1959年生

TU 45

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.16.004