回歸“本源”，不忘“初心”

徐澎

學(xué)完“小數(shù)乘除法”后，在練習(xí)中出現(xiàn)了兩道“用簡便方法計(jì)算”的題目：（8.8+4.8）÷8和72÷1.8。學(xué)生們做完

后，我發(fā)現(xiàn)，第一題，幾乎所有學(xué)生都

這樣計(jì)算：（8.8+4.8）÷8=8.8÷8+4.8÷

8=1.1+0.6=1.7；第二題，大多數(shù)學(xué)生是

這樣算的：72÷1.8=72÷（1+0.8）=72÷

1+72÷0.8。

根據(jù)這個(gè)情況，我迅速在心里進(jìn)行了分析，第一題，學(xué)生們似乎都懂，第二題，絕大多數(shù)學(xué)生都是由第一題“負(fù)遷移”而來，這反過來卻說明很多學(xué)生沒有真正認(rèn)識(shí)到第一題簡便計(jì)算的理論根據(jù)。

根據(jù)判斷，我決定以第一題為突破口進(jìn)行評(píng)講，我在黑板上列舉第一題的做法。

師：第一題為什么可以這樣做？

生：運(yùn)用了乘法分配律。

大多數(shù)學(xué)生都點(diǎn)頭同意。

師：乘法分配律用字母表示是（a+b）×c=a×c+b×c，這里是8.8與4.8的和與8相除，真的能用乘法分配律嗎？

生：是??！好像沒用乘法分配律啊。

師：那這樣做的道理是什么？

學(xué)生們陷入了沉思。

師：孩子們，等學(xué)了乘法和除法的關(guān)系后，你就會(huì)知道這里確實(shí)運(yùn)用了乘法分配律?？墒乾F(xiàn)在怎么理解它呢？有位哲人說：“有時(shí)候走得太久、太遠(yuǎn)，就容易忘了當(dāng)初為什么要出發(fā)?！弊屛覀兓貧w本源，不忘初心。還記得我們第一次是怎么和除法見面的？

生1：除法源于分東西。

生2：把若干個(gè)桃子平均分成幾份，求每份是多少個(gè)就用除法計(jì)算。

生3：把若干個(gè)桃子每幾個(gè)分一份，求能分幾份可以用除法計(jì)算。

師：咱們?cè)賮矸忠环痔易?，比如一盤桃子要平均分成8份，一下子不知道每份是多少個(gè)。咱們是不是可以化難為易來分，先把這盤桃分成不同的兩部分。當(dāng)然這兩部分也不能隨意，最好是每部分咱們都能很快地平均分成8份，然后，各取其中的1份相加。是不是就能把原來這盤桃平均分成8份了？

生：應(yīng)該行。

師：既然這樣分是可行的，那咱們來用數(shù)學(xué)的方式進(jìn)行思考。為方便表達(dá)，把這盤桃先分成不同的兩部分，用字母a和b來表示。那a+b就表示什么？

生：一盤桃的數(shù)量。

師：把這盤桃平均分成8份，求每份是多少就可以表示成（a+b）÷8。（板書：（a+b）÷8。）

師：先把其中的一部分a平均分成8份，每份是多少個(gè)？

生：每份a÷8個(gè)。（師板書：a÷8。）

師：再把另外一部分b也平均分成8份，每份是多少個(gè)？

生：每份b÷8個(gè)。（師板書：b÷8。）

師：各取一份相加，與原來相等嗎？

生：相等。（完成板書：（a+b）÷

8=a÷8+b÷8。）

師：如果我不是把這些桃子平均分成8份，平均分成3份、4份、9份……也能這樣做嗎？

生1：能。

生2：這里分桃子的例子說明（a+

b）÷c=a÷c+b÷c。

師板書：（a+b）÷c=a÷c+b÷c。

師：第二題，你怎樣簡便計(jì)算？

生：72÷1.8=72÷（1+0.8）=72÷

1+72÷0.8。

師：你的理論根據(jù)是什么？

生：我想，既然（a+b）÷c=a÷c+b÷

c，那么a÷（b+c）=a÷b+a÷c。

師：這個(gè)推理，是很自然的想法。這個(gè)推理成立嗎？咱們還用那盤桃子來分吧，比如把這盤桃子平均分成8份，咱們可不可以這樣操作：先把這盤桃平均分成2份，再把這盤桃平均分成6份，最后各取一份相加。

生：肯定不行。

師：為什么？

生：用a來表示這盤桃，平均分成8份，每份是a÷8個(gè)。如果把a(bǔ)平均分成2份，每份是a÷2個(gè)，a÷2已經(jīng)比a÷8大了；如果再把a(bǔ)平均分成6份，每份就是a÷6個(gè)，再加起來，結(jié)果肯定比a÷8更大了。

師：你的意思是a÷8≠a÷2+a÷6。

生：是的。a÷8可以寫成a÷（2+

6），由此我們可以推出a÷（2+6）≠

a÷2+a÷6。

師：有了這個(gè)例子能說明a÷（b+

c）≠a÷b+a÷c嗎？

生：能。

師：通過分一盤桃子，我們知道了（a+b）÷c=a÷c+b÷c，a÷（b+c）≠

a÷b+a÷c。回到第二題，能像你們這樣做嗎？那這道題可以用簡便方法算嗎？

生：可以。應(yīng)該這樣算：72÷1.8=

7.2÷（0.9×2）=7.2÷0.9÷2=8÷2=4。

師：能用分桃子的例子來解釋嗎？

生1：把一盤桃平均分成8份，可以先把它平均分成2份，再在把每份平均分成4份，那就相當(dāng)于把原來的桃子平均分成了8份了。

生2：如果用字母來表示的話，就是a÷（b×c）= a÷b÷c。

數(shù)學(xué)課本上第一次呈現(xiàn)除法，是讓學(xué)生平均分東西。在這次作業(yè)評(píng)講中，我和學(xué)生們?nèi)沃鼗爻ǖ某跏紶顟B(tài)：分東西。這既能讓學(xué)生們?cè)谥鼗乇驹粗胁煌俺跣摹薄M(jìn)一步理解除法的本質(zhì)，又歸納出了深刻的數(shù)學(xué)道理。

（作者單位：江蘇省南通市郭里園新村小學(xué)）