論橢圓問題中“△”的簡便算法及運(yùn)算

張震武

摘要：橢圓問題是圓錐曲線問題中的一大類，其在整個高中數(shù)學(xué)中都有著極其重要的位置。橢圓問題中常常要求解弦長和面積而其中關(guān)于“”的計算極為復(fù)雜，由于需要聯(lián)立方程或涉及多個參數(shù)，故消耗大量的時間。

關(guān)鍵詞：橢圓問題；簡便算法；運(yùn)算

例如：

例1：是橢圓的兩個焦點(diǎn)，過作弦，求的面積的最大值。

解：

（分別為縱坐標(biāo)）

故聯(lián)立 得

令

有

欲求最大值，則取最大值，即，取最小值，當(dāng)且僅當(dāng)，時最大，其最值為2.

評注：于對本題來講，思路清晰，容易理解，但是對“”計算時仍舊消耗不少時間。試想若題目給出的數(shù)據(jù)更加復(fù)雜時，我們就更容易在“”的計算上失誤，本文擬下面例題，講述“”的簡易算法：

例2已知：與交于兩點(diǎn)，求“”

得到

經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)：“”最終結(jié)果中，均為已知

正是聯(lián)立方程化簡式中的二次方系數(shù)，為直線截距的平方，故：

注意：對于此方法有兩點(diǎn)前提條件：

聯(lián)立時，方程中不得帶有分母，橢圓要化成形如：

當(dāng)橢圓中，“”不互質(zhì)時，不可化簡消其公因數(shù)，否則聯(lián)立后“二次項系數(shù)”會改變而影響公式的使用。

我們通過以下例子體會“”計算的簡便吧！

例2，（2014廣東）已知橢圓，若動點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)且點(diǎn)到橢圓的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)的軌跡方程

解：令在直線上

聯(lián)立

根據(jù)韋達(dá)定理

兩條切線相互垂直，故

的軌跡為圓：

小結(jié)：所謂積沙成塔，聚少成多，當(dāng)我們做過許多題后，便要多動腦筋尋找規(guī)律，正如本文中“”的簡易求法，給于我們極大的便利。開拓思維，善于發(fā)現(xiàn)才能走得更遠(yuǎn)。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳玉生.橢圓問題中簡化運(yùn)算的若干方法 [J]高中數(shù)學(xué)教與學(xué)， 2011（1）

[2]趙春祥.簡化橢圓運(yùn)算的幾種數(shù)學(xué)思想[J].數(shù)學(xué)大世界：高中生數(shù)學(xué)輔導(dǎo)版， 2002（12）