張震武
摘要:橢圓問題是圓錐曲線問題中的一大類,其在整個高中數(shù)學(xué)中都有著極其重要的位置。橢圓問題中常常要求解弦長和面積而其中關(guān)于“”的計算極為復(fù)雜,由于需要聯(lián)立方程或涉及多個參數(shù),故消耗大量的時間。
關(guān)鍵詞:橢圓問題;簡便算法;運(yùn)算
例如:
例1:是橢圓的兩個焦點(diǎn),過作弦,求的面積的最大值。
解:
(分別為縱坐標(biāo))
故聯(lián)立 得
令
有
欲求最大值,則取最大值,即,取最小值,當(dāng)且僅當(dāng),時最大,其最值為2.
評注:于對本題來講,思路清晰,容易理解,但是對“”計算時仍舊消耗不少時間。試想若題目給出的數(shù)據(jù)更加復(fù)雜時,我們就更容易在“”的計算上失誤,本文擬下面例題,講述“”的簡易算法:
例2已知:與交于兩點(diǎn),求“”
得到
經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn):“”最終結(jié)果中,均為已知
正是聯(lián)立方程化簡式中的二次方系數(shù),為直線截距的平方,故:
注意:對于此方法有兩點(diǎn)前提條件:
聯(lián)立時,方程中不得帶有分母,橢圓要化成形如:
當(dāng)橢圓中,“”不互質(zhì)時,不可化簡消其公因數(shù),否則聯(lián)立后“二次項系數(shù)”會改變而影響公式的使用。
我們通過以下例子體會“”計算的簡便吧!
例2,(2014廣東)已知橢圓,若動點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)且點(diǎn)到橢圓的兩條切線相互垂直,求點(diǎn)的軌跡方程
解:令在直線上
聯(lián)立
根據(jù)韋達(dá)定理
兩條切線相互垂直,故
的軌跡為圓:
小結(jié):所謂積沙成塔,聚少成多,當(dāng)我們做過許多題后,便要多動腦筋尋找規(guī)律,正如本文中“”的簡易求法,給于我們極大的便利。開拓思維,善于發(fā)現(xiàn)才能走得更遠(yuǎn)。
參考文獻(xiàn):
[1]陳玉生.橢圓問題中簡化運(yùn)算的若干方法 [J]高中數(shù)學(xué)教與學(xué), 2011(1)
[2]趙春祥.簡化橢圓運(yùn)算的幾種數(shù)學(xué)思想[J].數(shù)學(xué)大世界:高中生數(shù)學(xué)輔導(dǎo)版, 2002(12)