一道高考題解法的探究與推廣

安徽省靈璧中學(xué) 侯立剛 (郵編:234200)

一道高考題解法的探究與推廣

安徽省靈璧中學(xué) 侯立剛 (郵編:234200)

(1)求C的方程;

(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A, B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為－1,證明:l過定點(diǎn).

(2)思路一 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),設(shè)l的方程為x＝m,A(m,yA),B(m,－yA)

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)l的方程為y＝kx＋b(b≠1)

(1＋4k2)x2＋8kbx＋4b2－4＝0.

當(dāng)△＝16(4k2－b2＋1)＞0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1＋x2＝

又b≠1,所以b＝－2k－1,此時(shí)△＝－64k,存在k使得△＞0成立.

所以直線l的方程為y＝kx－2k－1,即y＝k(x－2)－1.當(dāng)x＝2時(shí),y＝－1.

所以直線l過定點(diǎn)(2,－1).

思路二 分別設(shè)直線P2A、P2B的斜率為k1、k2,則k1≠k2且k1＋k2＝－1.

于是P2A:y＝k1x＋1,P2B:y＝k2x＋1.

當(dāng)x＝2時(shí),y＝－1,所以直線l過定點(diǎn)2,－1

().

注 這種思路也很自然,不需要討論直線AB的斜率,但是對(duì)運(yùn)算要求較高,原因是直線P2A,P2B的方程中含有常數(shù)項(xiàng).如果進(jìn)行坐標(biāo)平移,便可以把定點(diǎn)P2變換到原點(diǎn),并且不改變直線的斜率.

設(shè)直線l的方程變成l′:mx′＋ny′＝1②

所以2m＝2n＋1,代入直線mx′＋ny′＝1得2n(x′＋y′)＋x′－2＝0.

探究一 此命題的逆命題是否成立?

(1)過(2,－1)的直線斜率不存在時(shí),直線l與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn),不合題意.

(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)l的方程為y＋1＝k(x－2),即y＝kx＋b(b＝－2k－1≠1).

(1＋4k2)x2＋8kbx＋4b2－4＝0.

當(dāng)△＝16(4k2－b2＋1)＞0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

1)作兩條直線分別與橢圓交于A,B兩點(diǎn),則

kPA＋kPB＝－1的充要條件是直線AB過定點(diǎn)(2,－1)

顯然,當(dāng)λ＝0時(shí),由橢圓的對(duì)稱性知,直線AB平行于x軸,不能過定點(diǎn);

直線AB的方程設(shè)為A′B′:mx′＋ny′＝1