2017年高考數(shù)學(xué)上海卷數(shù)列試題解析
——兼談上海卷的特點(diǎn)

上海市市西中學(xué) 龐良緒 (郵編:200040)

復(fù) 習(xí)考 試

2017年高考數(shù)學(xué)上海卷數(shù)列試題解析
——兼談上海卷的特點(diǎn)

上海市市西中學(xué) 龐良緒 (郵編:200040)

1 高考數(shù)學(xué)上海卷數(shù)列試題評(píng)析

數(shù)列試題堪稱(chēng)變化最大,一改“往年高考?jí)狠S題一般是數(shù)列題”這一格局,今年第3道解答題是數(shù)列,難度中檔,第10題填空題和第15題選擇題也是兩個(gè)難度中檔的數(shù)列試題,試題不偏不怪,看起來(lái)顯得親切自然,似乎和平時(shí)的訓(xùn)練題有幾分相似之處,體現(xiàn)了“教考一致”的導(dǎo)向作用.不難看出,今年高考對(duì)數(shù)列的考查變一題(壓軸題)把關(guān)為多題(填空題、選擇題與解答題)把關(guān),分散了難度,降低了門(mén)檻,充分考慮到學(xué)生的思維層次和能力層次,適合不同思維層次水平的學(xué)生,為“文科生”增加了得分的機(jī)會(huì),充分考慮到了文理兼顧.在試題的設(shè)計(jì)上,既注重考查學(xué)生的基本知識(shí)和基本技能,同時(shí)也注重考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、思維能力.數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)建模也成為試卷的亮點(diǎn).下面以數(shù)列試題為例作一解析:

1.1 注重?cái)?shù)學(xué)閱讀能力,突出數(shù)學(xué)語(yǔ)言相互轉(zhuǎn)化

考題(10) 已知數(shù)列{an}滿足:an＝n2,n∈N?,若對(duì)于一切n∈N?,{bn}中的第an項(xiàng)恒等于中的第項(xiàng),則_____.

學(xué)生讀起來(lái)顯得很“別扭”,不習(xí)慣、不夠順口,但這也正是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的魅力所在,是高度抽象性的體現(xiàn).數(shù)學(xué)符號(hào)是數(shù)學(xué)抽象思維的產(chǎn)物,是數(shù)學(xué)交流與傳播的媒介,是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理的工具,因而在教學(xué)中應(yīng)該重視對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的閱讀、理解、轉(zhuǎn)化、表達(dá)、探究、調(diào)控能力的培養(yǎng).

分析 已知an＝n2,由{bn}中的第an項(xiàng)恒等于{an}中的第bn項(xiàng),即ban＝bn2＝abn＝(bn)2,即ban＝(bn)2,所以,故

1.2 注重基本概念理解,落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出:要培養(yǎng)學(xué)生的語(yǔ)言概括能力、歸納能力、邏輯推理能力,感悟數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)以及體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程.“充分條件與必要條件”是掌握和使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言的基礎(chǔ),是研究命題條件、結(jié)論關(guān)系的一個(gè)重要概念,同時(shí),對(duì)“充要條件”這一概念的理解,可以幫助學(xué)生加深對(duì)其它數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握.

考題(15) 已知數(shù)列xn＝an2＋bn＋c,n∈N?,使得x100＋k,x200＋k,x300＋k成等差數(shù)列的必要條件為( )

A.a≥0 B.b≤0 C.c＝0 D.a－2b＋c＝0

分析1 因?yàn)閤100＋k,x200＋k,x300＋k成等差數(shù)列,即2x200＋k＝x100＋k＋x300＋k,即2(a(200＋k)2＋b(200＋k)＋c)＝a(100＋k)2＋b(100＋k)＋c＋a(300＋k)2＋b(300＋k)＋c.

化簡(jiǎn)可得2a(200＋k)2＝a(100＋k)2＋a (300＋k)2,整理得－2a＝0,即a＝0,故選A.

分析2 函數(shù)xn＝an2＋bn＋c中,假若a≠0,則函數(shù)是二次函數(shù),而二次函數(shù)存在凹凸性,不滿足2x200＋k＝x100＋k＋x300＋k,與已知矛盾.即a≠0不成立,所以a＝0滿足.故使得x100＋k, x200＋k,x300＋k成等差數(shù)列必要條件是a＝0,故選A.

中國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)理事長(zhǎng)、院士馬志明先生說(shuō):“……學(xué)好本領(lǐng)不是一定要學(xué)會(huì)很多知識(shí),是一定要學(xué)會(huì)將來(lái)進(jìn)入社會(huì)之后怎樣繼續(xù)學(xué)習(xí)積累知識(shí),……一個(gè)真正有本事的人,真正做出成就的人,他是善于不斷學(xué)習(xí)的,……”閱讀理解能力是學(xué)習(xí)能力的一個(gè)重要方面,高考加強(qiáng)閱讀理解能力的考查不僅勢(shì)在必行,更在情理之中.

1.3 注重?cái)?shù)學(xué)應(yīng)用能力,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

考題(19) 共享單車(chē)問(wèn)題:每月供應(yīng)量

每月?lián)p失量bn＝n＋5(n∈N?),保有量Q為an的累計(jì)量減去bn的累計(jì)和.

(1)求第4月的保有量;

(2)Sn＝－n－46()2＋8800,記Sn為自行車(chē)停放點(diǎn)容納車(chē)輛,當(dāng)Q取最大值時(shí),停放點(diǎn)是否能容納?

把數(shù)學(xué)與共享單車(chē)等聯(lián)系起來(lái),題目背景設(shè)計(jì)體現(xiàn)時(shí)代感,與互聯(lián)網(wǎng)＋、共享經(jīng)濟(jì)等相呼應(yīng),既反映社會(huì)熱點(diǎn),也體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的應(yīng)用性,給考生以清新自然的親切感,讓高考不再是“天馬行空”.

分析 (1)由a1＝20,a2＝95,a3＝420,a4＝430,b1＝6,b2＝7,b3＝8,b4＝9,

得第4月的保有量Q＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(b1＋b2＋b3＋b4)＝935.

(2)當(dāng)n≥4,n∈N?,Q＝(a1＋a2＋a3＋a4＋…＋an)－(b1＋b2＋b3＋b4＋…＋bn)＝

所以,

當(dāng)n＝42時(shí),Q取得最大值8782.

此時(shí),S42＝－(42－46)2＋8800＝8784＞8782,所以當(dāng)Q取最大值時(shí),停放點(diǎn)能容納.

2 高考數(shù)學(xué)上海卷的特點(diǎn)

2017年高考數(shù)學(xué)上海卷的整體特點(diǎn)是:體現(xiàn)課改方向,平穩(wěn)中凸顯亮點(diǎn).

2017年是上海市新高考的元年,上海市2017屆高考生一直都是在教育改革的“新環(huán)境”中度過(guò).作為全國(guó)高考改革試點(diǎn)的上海與浙江,由于不分文理科(文理合卷),又作為全國(guó)高考改革試點(diǎn),因此具有風(fēng)向標(biāo)和定海神針的示范效應(yīng).新課改的首次高考題目剛一面世就引起關(guān)注與議論.教師中有人說(shuō)“眼前一亮”;有人說(shuō)“有點(diǎn)出乎預(yù)料,壓軸題居然是抽象函數(shù)”;還有人說(shuō)“試題的設(shè)計(jì)有梯度”.學(xué)生中有人說(shuō)“乍一看難度不大,細(xì)做下來(lái)發(fā)現(xiàn)有幾個(gè)小題和證明題拿不準(zhǔn)”.一時(shí)間,數(shù)學(xué)試題與評(píng)價(jià)成為上海市(乃至全國(guó))的一個(gè)熱門(mén)話題.作為高三一線教師,我們?cè)贈(zèng)]有比看到數(shù)學(xué)試題備受關(guān)注更欣慰的了,高興之余也情不自禁地參與到交流中來(lái).直觀感覺(jué):2017年上海市高考數(shù)學(xué)卷在平穩(wěn)過(guò)渡中見(jiàn)新奇,在能力立意中見(jiàn)創(chuàng)新.試題蘊(yùn)涵著課本中重要的思維方式和思想精髓及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).與往年的高考數(shù)學(xué)試卷相比,在題量、分值上都體現(xiàn)出相應(yīng)的調(diào)整.首先,題量由原來(lái)的23題減少為21題,12道填空題,4道選擇題,5道解答題(比往年少了2道填空題).其次,填空題分值上的變化,由往年的每題4分調(diào)整為1到6題每題4分, 7到12題每題5分,總分由原來(lái)的56分減少至54分.

從試卷的結(jié)構(gòu)來(lái)看,今年的試卷中函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、三角、立體幾何等內(nèi)容仍然是“重頭戲”.刪去了往年“僅理科生考的極坐標(biāo),離散型隨機(jī)變量的期望、方差”;往年僅理科生考的“和(積)事件的概率和參數(shù)方程”,今年對(duì)所有考生是必考內(nèi)容,往年僅文科生考的三視圖和線性規(guī)劃,今年對(duì)所有考生都是必考內(nèi)容.呈現(xiàn)出:容易題以往年的文科生為起點(diǎn),最難的題以往年能力較強(qiáng)的理科生為終點(diǎn).試卷整體難度控制較理想,入手比較容易,增加了中檔題的題量,但也有相當(dāng)坡度,難度層層遞進(jìn),具有良好的區(qū)分度.填空題、選擇題與解答題的最后一至兩題為把關(guān)題,均設(shè)置了一定難度,符合學(xué)生的解題習(xí)慣,但解答題以抽象函數(shù)壓軸又出乎意料.知識(shí)與能力并重,“通俗”與“高雅”交融,平凡與創(chuàng)新齊飛,秋水共長(zhǎng)天一色.

3 對(duì)2018年高考的啟示

新高考傳遞了這樣的信息:“做題不在多,理解會(huì)用則行;解法不在全,聯(lián)系變化才靈”.通法為主,變法為輔.重視通性通法,倡導(dǎo)舉三反一與舉一反三、一題多解和多題一解,努力培養(yǎng)以“五種能力、兩個(gè)意識(shí)”為載體的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),要為思維而教.

要還課堂于學(xué)生.課堂教學(xué)中應(yīng)注重知識(shí)的形成過(guò)程的探究,培養(yǎng)學(xué)生自主探究的能力,重視知識(shí)傳授的同時(shí),更要重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透,培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、探究問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.比如考題(10),不少學(xué)生讀不懂題目,究其原因:不能實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化,即文字語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言如何轉(zhuǎn)化.因此,在教學(xué)中讓學(xué)生自主讀題,讓學(xué)生獨(dú)立思考,讓學(xué)生獨(dú)立做題,讓學(xué)生獨(dú)立運(yùn)算,就不能吝嗇時(shí)間.

精講精練.一道題做透了,要遠(yuǎn)勝于做一百道題.好的高考題,不一定都是新題,它往往是源于課本,源于平時(shí)的訓(xùn)練題,透過(guò)今年高考的數(shù)列試題,可以看出命題人沒(méi)有刻意回避教輔資料中常見(jiàn)試題,追根溯源有些是形不似而神似,有些是形似而神不似.因此,教師在課堂上應(yīng)講學(xué)生的疑點(diǎn)、講知識(shí)的來(lái)龍去脈、講數(shù)學(xué)方法、講概念公式形成的“返璞歸真”,對(duì)于新高考背景下,那些僅會(huì)套用公式,按照解題套路解題的學(xué)生,或是從題海戰(zhàn)術(shù)出來(lái)的“勇士”們可能會(huì)“犧牲”出局.

教育家杜威曾說(shuō):“教學(xué)絕對(duì)不僅僅是簡(jiǎn)單地告訴,教學(xué)應(yīng)該是一種過(guò)程的經(jīng)歷,一種體驗(yàn),一種感悟”.教師應(yīng)向?qū)W生展示數(shù)學(xué)的本質(zhì),關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的回歸,多講幾個(gè)為什么?追求數(shù)學(xué)感悟、真懂,使學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程成為教師引導(dǎo)下的釋疑解惑、質(zhì)疑問(wèn)難的思維過(guò)程,培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的再創(chuàng)造過(guò)程.

要關(guān)注探究、變式、拓展、創(chuàng)新題,盡量少用幾十年不變的陳題,及時(shí)歸納解題的思維方法,激發(fā)頭腦的思維風(fēng)暴;關(guān)注題型的多向發(fā)展,重視縱橫聯(lián)系;拓展母題的思想方法,加強(qiáng)多元交匯,使對(duì)知識(shí)與思想方法的掌握達(dá)到“鷹擊長(zhǎng)空,魚(yú)翔淺底”的境界.

2017-06-29)