什么樣的數(shù)學(xué)教學(xué)要不得？（一）
——為小學(xué)低年級數(shù)學(xué)教師而作

□ 鄭毓信

專家特稿

什么樣的數(shù)學(xué)教學(xué)要不得？（一）
——為小學(xué)低年級數(shù)學(xué)教師而作

□ 鄭毓信

編者按

對于“什么樣的數(shù)學(xué)教學(xué)要不得”這一問題的思考，不僅有利于實(shí)際教學(xué)工作的改進(jìn)，也能有效地檢驗(yàn)一下這些年的課改實(shí)踐效果。特別是對于低年級的數(shù)學(xué)教師而言，在教學(xué)中采用什么樣的教學(xué)方法、選擇什么樣的考核方式，等等這些都會影響學(xué)生今后的學(xué)習(xí)和成長。對此，本刊特邀請南京大學(xué)鄭毓信教授來為我們做一個(gè)深入地分析。歡迎各位教師對于“什么樣的數(shù)學(xué)教學(xué)要不得”這一話題能結(jié)合自身的案例教學(xué)展開分析和探討。

對于“什么樣的數(shù)學(xué)教學(xué)要不得”這一問題的思考，不僅有利于實(shí)際教學(xué)工作的改進(jìn)，也能實(shí)際地檢驗(yàn)一下經(jīng)過這些年的課改實(shí)踐我們在基本的理論思想上究竟有了多大提高，它也是廣大教育工作者能否真正做好自身工作的根本保證。就低年級而言，在教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)堅(jiān)守“過度的規(guī)范要不得、美國式的數(shù)學(xué)教學(xué)要不得、不講道理的‘簡易算法’要不得、過分注重‘速度’的考核要不得”等原則，才能切實(shí)防止由于不適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法、教學(xué)內(nèi)容與考核方式對學(xué)生的成長造成的嚴(yán)重的消極影響。廣大一線教師應(yīng)當(dāng)結(jié)合自己的教學(xué)對于上述論題做出進(jìn)一步的分析總結(jié)，不僅要關(guān)注“什么樣的數(shù)學(xué)教學(xué)要不得？”也要思考包括“我們究竟應(yīng)當(dāng)如何去進(jìn)行數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)？”

低年級 數(shù)學(xué)教學(xué) 要不得

“什么樣的數(shù)學(xué)教學(xué)要不得？”這一問題對于大多數(shù)經(jīng)歷過新一輪課程改革全過程的教師來說并不陌生，因?yàn)閷τ诨A(chǔ)教育傳統(tǒng)教學(xué)方式包括數(shù)學(xué)教學(xué)方式的否定，正是課改初期十分普遍的一個(gè)說法，一些人士更是提出過某些極端性的言論，盡管其所依據(jù)只是少數(shù)案例以及若干“專家”的“即興式診斷”，比如“這是我們行之已久的認(rèn)為很高水平的課，但就是這樣的課，是需要根本上變革的”“我們的基礎(chǔ)教育是過時(shí)的、落后的，需要做重大改革”“全國1300萬教師需要改變教育方式，3億學(xué)生需要改變學(xué)習(xí)方法，6億以上的家長需要改變幫助孩子學(xué)習(xí)的做法”等。（王宏甲，《新教育風(fēng)暴》，北京出版社，2004）從現(xiàn)今的角度看，上述言論只能說起到了混淆視聽的作用，但我們顯然又不應(yīng)因此而否定深入思考“什么樣的數(shù)學(xué)教學(xué)要不得”這一問題的重要性，而應(yīng)更加強(qiáng)調(diào)實(shí)事求是、以理服人這樣一個(gè)原則。另外，在筆者看來，這也正是在今天重新開展這一方面思考的一個(gè)很大優(yōu)點(diǎn)，不僅有利于實(shí)際教學(xué)工作的改進(jìn)，也能實(shí)際地檢驗(yàn)一下經(jīng)過這些年的課改實(shí)踐我們在基本的理論思想上究竟有了多大提高，而這當(dāng)然又應(yīng)被看成廣大教育工作者能否真正做好自身工作的根本保證。

正是基于這樣的思考，筆者就十分希望廣大一線教師也能對以下實(shí)例包括筆者的分析提出自己的看法，包括舉出這方面的更多教學(xué)實(shí)例以有利于人們認(rèn)識的進(jìn)一步發(fā)展和深化。

以下的實(shí)例將集中于小學(xué)低年級的教學(xué)，希望能有助于破除這樣一個(gè)認(rèn)識誤區(qū)：小學(xué)低年級的數(shù)學(xué)教學(xué)沒有多大問題，從而也就根本認(rèn)識不到進(jìn)一步前進(jìn)的方向。希望這一論題也能引起讀者的普遍重視。

一、過度的規(guī)范要不得

稍有經(jīng)驗(yàn)的教師都知道，對于剛剛離開幼兒園或從未接受過幼兒園教育的一年級小學(xué)生而言，教師必須幫助他們盡快地適應(yīng)學(xué)校的正規(guī)學(xué)習(xí)生活，特別是盡快養(yǎng)成自覺遵守各種規(guī)章制度的良好習(xí)慣；也正如此，小學(xué)一年級無論哪個(gè)學(xué)科都必須十分重視教學(xué)的規(guī)范性，應(yīng)當(dāng)在各個(gè)方面對學(xué)生提出明確的要求；但是，相關(guān)教學(xué)是否也應(yīng)具有一定的開放性？大多數(shù)人對此都會持肯定的態(tài)度，因?yàn)椋覀儾幌Ｍ麑W(xué)生從一年級起就變成被馴服的小綿羊。從而，這里的關(guān)鍵就在于我們究竟應(yīng)當(dāng)如何去處理教學(xué)的規(guī)范性與開放性之間的關(guān)系。以下就通過實(shí)例提出若干問題供讀者分析和思考，而這事實(shí)上也可被看成一線教師如何結(jié)合自己的教學(xué)積極開展教學(xué)研究的實(shí)例。

[例1]阿拉伯?dāng)?shù)字的寫法。

阿拉伯?dāng)?shù)字的寫法是否應(yīng)當(dāng)嚴(yán)格地加以規(guī)范，乃至明確提出“4必須是‘開口的’”“8必須是‘封口的’”這樣一些要求，并讓學(xué)生嚴(yán)格地遵守？

[例2]“兩步計(jì)算題”的書寫方式。

我們在教學(xué)中是否應(yīng)當(dāng)提出這樣的要求：“兩步計(jì)算題”必須清楚寫明相應(yīng)的過程，包括先算什么？所得出的結(jié)果又是什么？書寫方式也必須符合一定的規(guī)范，如學(xué)生必須用直尺畫出表示“第一次計(jì)算”的短線，得出的中間結(jié)果也必須清清楚楚地寫在下邊。如：

筆者之所以認(rèn)為這兩個(gè)例子比較簡單，主要是相信大多數(shù)讀者對于上述問題都會有較一致的看法。對此，由以下的事實(shí)就可清楚地看出：隨著學(xué)習(xí)活動的深入，肯定不會有教師始終堅(jiān)持上述的要求。但是，在此仍然存在這樣的問題：我們究竟應(yīng)當(dāng)如何去掌握相關(guān)的“度”？什么又是“放松要求”的適當(dāng)時(shí)機(jī)？

相對而言，對于以下問題人們或許就會有更多的不同看法。

[例3]依據(jù)圖形寫出相應(yīng)的計(jì)算式：

進(jìn)而，如果不了解相關(guān)的教學(xué)情境，相信有不少人特別是很多家長都會覺得以下的“標(biāo)準(zhǔn)答案”令人難以接受：

以下就是相關(guān)的“教學(xué)情境”：就圖形（1）而言，當(dāng)時(shí)教的只是加法，還沒有正式引入減法；圖形（2）則是正式教了減法以后布置的練習(xí)題。

但是，如果從較抽象的角度去分析，這兩個(gè)圖形所反映的難道不是同一個(gè)數(shù)量關(guān)系嗎？進(jìn)而，我們在教學(xué)中究竟是要求學(xué)生嚴(yán)格按照教師或教材指引的路徑去進(jìn)行思考，還是應(yīng)當(dāng)更加提倡學(xué)生的獨(dú)立思考？更具體地說，這也就是指，我們在此究竟應(yīng)當(dāng)致力于引導(dǎo)學(xué)生嚴(yán)格按照指定的算法（加法或減法）去把握數(shù)量間的關(guān)系，還是應(yīng)當(dāng)集中于數(shù)量關(guān)系本身的認(rèn)識與分析，包括在計(jì)算方法與計(jì)算次序等方面保持一定的開放性？

由于缺乏實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對于上述問題筆者就無從提供明確的解答，但這又正是筆者在這方面的基本想法：即使是一年級的數(shù)學(xué)教學(xué)，也應(yīng)有一定的開放性。就上述的實(shí)例而言，筆者希望廣大一線教師能夠聯(lián)系自己的教學(xué)實(shí)踐深入地去思考這樣一些問題。

第一，上述的兩個(gè)問題是否都可被看成所謂的“開放題”？或者說，我們是否應(yīng)當(dāng)只是在從事“開放題”的專門教學(xué)時(shí)才想到教學(xué)的開放性，還是應(yīng)當(dāng)將一定程度的開放性看成數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)始終堅(jiān)持的一種品質(zhì)？當(dāng)然，這又是這方面更為基本的一個(gè)問題，即我們究竟應(yīng)當(dāng)如何去理解數(shù)學(xué)教學(xué)的“開放性”？

第二，這正是“算術(shù)思維”與“代數(shù)思維”的一個(gè)重要區(qū)別：前者主要集中于計(jì)算方法，后者則更加強(qiáng)調(diào)數(shù)量關(guān)系的分析（這兩者可被看成分別體現(xiàn)了所謂的“操作性觀念”和“結(jié)構(gòu)性觀念”）；進(jìn)而，又由于這可被看成小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一個(gè)重要方向，即我們應(yīng)當(dāng)積極提倡“代數(shù)思維”在算術(shù)教學(xué)中的滲透（對此可見另文“高觀點(diǎn)指導(dǎo)下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)”，《小學(xué)數(shù)學(xué)教育》，2014年12期），因此，我們在此也就可以提出這樣的問題：上述的“錯誤做法”是否被看成“代數(shù)思維”（或“結(jié)構(gòu)性觀念”）的具體體現(xiàn)，從而我們在教學(xué)中也就應(yīng)當(dāng)予以適度的容忍乃至一定的肯定？

但是，上述主張對于一年級教學(xué)而言是否要求過高了？為了幫助讀者進(jìn)行思考，在此可以改換一下問題的表述方法：上述不同的做法事實(shí)上也可被看成涉及了思維的不同方向，特別是“減法”的教學(xué)在很大程度上即可被看成學(xué)生學(xué)習(xí)“逆向思維”的實(shí)際開端，但就上述的圖形（2）而言，寫出“5+4= 9”（而非“9–4=5”）難道不是更加接近人們的“日常思維”（“順向思維”）嗎？進(jìn)而，從發(fā)展的角度看，這又正是學(xué)生在“方程”的學(xué)習(xí)過程中所必須經(jīng)歷的又一次重要的思維方式的轉(zhuǎn)變，即是由“逆向思維”重新轉(zhuǎn)回“順向思維”（這方面的一個(gè)實(shí)例可見劉燕的“‘方程的意義’教學(xué)實(shí)錄”，《小學(xué)教學(xué)》，2016年第10期），那么，一年級的教學(xué)是否也就應(yīng)當(dāng)給所說的“第二次轉(zhuǎn)變”留下足夠的回轉(zhuǎn)余地呢？更一般地說，這顯然也就直接涉及這樣一個(gè)問題：我們究竟應(yīng)當(dāng)如何去認(rèn)識與把握數(shù)學(xué)教學(xué)的“規(guī)范性”？

在完成了上述的思考以后，建議讀者還可用以下實(shí)例檢驗(yàn)一下自己的思想深度，我們是否應(yīng)當(dāng)將題后所列出的“學(xué)生做法”都看成是必須糾正的？

[例4]填空：

最后，筆者再次表達(dá)這樣一個(gè)愿望：希望上面的分析能夠引發(fā)讀者的思考，包括聯(lián)系自己的教學(xué)實(shí)踐舉出更多的實(shí)例和問題。我們應(yīng)當(dāng)努力做到“小中見大”，不應(yīng)“就事論事”地去進(jìn)行總結(jié)與反思，而應(yīng)從更一般的角度進(jìn)行分析思考，從而對新的教學(xué)活動發(fā)揮更大的啟示或促進(jìn)作用。

二、美國式的數(shù)學(xué)教學(xué)要不得

《小學(xué)數(shù)學(xué)的掌握與教學(xué)》（華東師范大學(xué)出版社，2011）是中國旅美學(xué)者馬立平博士撰寫的一部數(shù)學(xué)教育名著，其中對中美兩國的小學(xué)數(shù)學(xué)教育，特別是課堂教學(xué)的現(xiàn)實(shí)情況進(jìn)行了深入的比較研究。按照這一著作，以下就是美國小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中經(jīng)?？梢钥吹降囊环N現(xiàn)象（她稱為“過程式教學(xué)”）：教師首先指明今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，如“多位數(shù)的乘法”，然后就通過直接示范告訴學(xué)生應(yīng)當(dāng)如何去做，而學(xué)生所要做的就是牢固記憶與簡單模仿，對于隱藏在具體算法背后的算理則完全不用理會。另外，甚至還有相當(dāng)一部分美國小學(xué)數(shù)學(xué)教師其本身也未能真正弄清這些算法背后的算理，從而自然也就不可能在課堂上很好地去講清道理，幫助學(xué)生真正實(shí)現(xiàn)“理解學(xué)習(xí)”（就算法的掌握而言，也即真正做到“寓理于算”）。

以下就是這一著作中直接引用的幾位美國小學(xué)數(shù)學(xué)教師面對“為什么可以按照指定的算法從事多位數(shù)的乘法”所給出的解答（第29頁）：“那很困難……因?yàn)槟憬?jīng)常這么做……這是公認(rèn)的法則……我的意思是，這是別人教我們做的方法。”（Fay女士）“因?yàn)檫@是正確的做法。這是我所學(xué)到的做法。這是對的?！保‵iona女士）“我不記得這個(gè)法則，我不記得為什么要這么做。就像當(dāng)初別人教我那樣，你就這么做。”（Felice女士）

當(dāng)然，這又正是這一著作更為重要的一個(gè)論點(diǎn)，即是中美兩國小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)就總體而言存在的十分重要的區(qū)別。例如，就上面所提到的“多位數(shù)的乘法”而言，中國絕大多數(shù)小學(xué)數(shù)學(xué)教師所采取的都是“概念式教學(xué)”，從而也就與美國的情況構(gòu)成了明顯的對照。但是，筆者在此所要提出的卻是這樣一個(gè)問題：在中國是否也會看到所說的“美國式教學(xué)”？

以下就是一個(gè)真實(shí)的課例。

[例5]“多位數(shù)除以一位數(shù)”與“機(jī)械教學(xué)”。

這是“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)”教學(xué)的一個(gè)中間環(huán)節(jié)，主要涉及“首位或中位有余數(shù)”的情況。以下則是相關(guān)教材（蘇教版三年級上冊第58頁）中所提到的一個(gè)實(shí)例。

一位教師在課堂上采取了如下的教學(xué)方法：她首先在黑板上演示了正確的算法，包括一邊做一邊對相關(guān)的計(jì)算步驟做出具體說明：“7除2等于3，2乘3等于6，7減6等于1；將3移下來得到13，13除2等于6，2乘6等于12，13減12等于1，將8移下來得到18，18除2等于9，所以，最終的答數(shù)是369?！比缓?，教師又要求全班跟著她大聲地重復(fù)上述的解題步驟，再過渡到由個(gè)別學(xué)生在全班進(jìn)行重復(fù)，包括由學(xué)生自動報(bào)名以及由教師直接指定學(xué)生等，教師則有針對性地加以評價(jià)，包括表揚(yáng)與細(xì)節(jié)的逐一糾正等，直至最終全班至少是大多數(shù)學(xué)生都能正確地加以復(fù)述，因而從形式上看似乎也就已經(jīng)較好地掌握了相應(yīng)的算法。

你在現(xiàn)實(shí)中是否也曾見到過這樣的教學(xué)方法？或是也曾采用過這樣的教學(xué)方法？當(dāng)然，這里的關(guān)鍵不在于這種方法究竟應(yīng)當(dāng)被歸屬于“美國式”還是“中國式”，而是這種方法究竟有什么問題或不足之處？希望每一個(gè)讀者都能首先對此做出認(rèn)真的思考。

筆者的看法是：這樣的教學(xué)方法不可?。∫?yàn)?，采用這一教學(xué)方法必然地會造成嚴(yán)重的后果。對此可以首先聯(lián)系數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)來進(jìn)行分析。

正如人們普遍了解的，隨著新一輪課程改革的深入，人們已經(jīng)形成了這樣的共識：數(shù)學(xué)教學(xué)絕不應(yīng)停留于“動手”，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生由單純“動手”轉(zhuǎn)向積極的“動腦”，因?yàn)?，這直接關(guān)系到數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)，即是我們應(yīng)當(dāng)通過自己的教學(xué)促進(jìn)學(xué)生積極地去進(jìn)行思維，并能通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)逐步學(xué)會思維。

顯然，從上述角度去分析，對于上述實(shí)例我們也就可以提出這樣的責(zé)疑：盡管其中所涉及的主要是“動嘴”而不是“動手”，但是，我們顯然也不應(yīng)因此而忽視了如何能夠促使學(xué)生積極地去進(jìn)行思考。

更具體地說，由于“問題引領(lǐng)”即可被看成教師如何引導(dǎo)學(xué)生積極進(jìn)行思維的關(guān)鍵，因此，“問題”的缺失顯然就可被看成上述教學(xué)活動十分明顯的一個(gè)弊病。例如，面對“首位或中位有余數(shù)”這一新的情況，我們就應(yīng)首先引導(dǎo)學(xué)生具體地去分析是什么原因造成這一情況發(fā)生的。進(jìn)而，我們又如何應(yīng)用已有的知識和經(jīng)驗(yàn)去解決所面對的問題？等等。

更一般地說，筆者以為，上述的實(shí)例也可被看成十分清楚地表明了明確提倡“三維目標(biāo)”的重要性，因?yàn)?，如果單純從知識層面特別是依據(jù)書面考試的成績?nèi)ミM(jìn)行分析，我們恐怕很難發(fā)現(xiàn)上述的教學(xué)方法究竟會造成怎樣的后果。但這恰又是我們在此應(yīng)當(dāng)特別強(qiáng)調(diào)的一點(diǎn)：如果完全忽視了促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展這樣一個(gè)基本目標(biāo)，這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)就應(yīng)被看成是完全失敗的！

其次，上述關(guān)于“問題引領(lǐng)”的分析顯然也已清楚地表明了這樣一點(diǎn)：要促進(jìn)學(xué)生積極地進(jìn)行思維，必然要求我們在教學(xué)中更多地采取學(xué)生主動探究和合作互動等教學(xué)方式，這也就不能不說是上述教學(xué)活動的又一不足之處，即沒有給學(xué)生的主動探究與合作互動留下任何的空間；更甚至，由于學(xué)生始終只是忙于記憶與復(fù)述，也就根本沒有任何可能展示自己真實(shí)的思維活動，因而相關(guān)的教學(xué)活動也就不可能具有任何的針對性。

當(dāng)然，除去從教學(xué)方法的角度進(jìn)行分析以外，我們在此還應(yīng)考慮到這樣一個(gè)更為基本的問題，即我們應(yīng)當(dāng)如何去落實(shí)學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中的主體地位，因?yàn)?，如果我們的學(xué)生始終處于完全被動的地位，那么，即使就數(shù)學(xué)知識的掌握而言，也會造成十分嚴(yán)重的后果，包括學(xué)生的兩極分化。后者即是指，除非學(xué)生具有較高的天賦或是有較好的輔導(dǎo)環(huán)境，一般學(xué)生應(yīng)當(dāng)說都很難沿著“機(jī)械學(xué)習(xí)”的道路走得很遠(yuǎn)，而是遲早都會成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的失敗者，而這當(dāng)然又會對他們的整個(gè)人生產(chǎn)生嚴(yán)重的消極影響。例如，正是從后一角度去分析，美國著名數(shù)學(xué)教育家戴維斯就曾明確指出，我們的數(shù)學(xué)教育已接近于毀滅年輕的一代！

由以下的分析我們即可更好地理解“學(xué)生為什么很難沿著‘機(jī)械學(xué)習(xí)’的道路走得很遠(yuǎn)”：如前所述，死記硬背與簡單模仿正是“機(jī)械學(xué)習(xí)”的主要特征，但是，硬記的東西容易忘記，再需要時(shí)往往也不能通過主體自身的努力得到“重構(gòu)”，再則，簡單的記憶和模仿顯然也不足以保證所習(xí)得的“知識”具有可遷移性，從而事實(shí)上就只能被看成是一種簡單的技能，而非真正的知識。

在此還應(yīng)看到這樣一種嚴(yán)重的后果：一旦我們習(xí)慣了機(jī)械的學(xué)習(xí)方法，往往就會在不知不覺之中形成一些錯誤的觀念，即如“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法就是記憶和模仿，你不用去理解，也不可能真正搞懂”“沒有學(xué)過的東西就不可能懂，學(xué)生的職責(zé)就是‘接受’，老師的職責(zé)則是‘給予’”……顯然，這些必然會對學(xué)生未來的學(xué)習(xí)產(chǎn)生嚴(yán)重的消極影響。

由以下的實(shí)例可以看出，上述的分析實(shí)非言過其實(shí)：盡管已經(jīng)學(xué)過了如何求解“首位（百位）有余數(shù)”的問題，在面對如何求解“中位（十位）有余數(shù)”的問題時(shí)，一個(gè)學(xué)生仍然不知道如何去做，還振振有詞地說：“這個(gè)老師還沒有教，當(dāng)然不會做！”

再者，由上面的介紹我們顯然也可立即聯(lián)想到相關(guān)的教學(xué)還有這樣一個(gè)弊?。河捎谡Z言活動也即逐一地重復(fù)應(yīng)當(dāng)實(shí)施的各個(gè)具體步驟，必然占據(jù)了很多的教學(xué)時(shí)間，因此，教師在課堂上就沒有時(shí)間去處理更多的重要問題，特別是如何幫助學(xué)生做到真正的理解，又如何能以所接觸的例題為背景，通過不同例子的比較與相關(guān)方法的應(yīng)用很好地去掌握相關(guān)的基本技能，乃至放手讓學(xué)生自由地去進(jìn)行探究，從而發(fā)現(xiàn)各種可能的計(jì)算方法，并能通過積極互動最終達(dá)到更大的思維深度。

最后，上述的分析顯然也為我們應(yīng)當(dāng)如何去從事這一內(nèi)容的教學(xué)提供了直接啟示。具體地說，除去所已提到的“問題引領(lǐng)”以及積極采取“學(xué)生主動探究”與“合作互動”等教學(xué)方法以外，我們在此又應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)這樣一點(diǎn)，即是教師應(yīng)當(dāng)自覺地應(yīng)用“聯(lián)系的觀點(diǎn)”去指導(dǎo)這一內(nèi)容的教學(xué)。

具體地說，這首先就是指除法與乘法的聯(lián)系，因?yàn)檫@不僅直接關(guān)系到相關(guān)算法的本質(zhì)，也有助于學(xué)生相對獨(dú)立地去發(fā)現(xiàn)相關(guān)的算法，即是我們?nèi)绾文軌蛴谩俺朔谠E”去解決“除法”的問題。其次，這也十分有利于學(xué)生對于相關(guān)算法的很好掌握，如乘除法的豎式計(jì)算有什么不同，“從末位開始”與“從首位開始”，“進(jìn)位”與“退位”，等等；當(dāng)然，在這兩者之間也有很多的共同點(diǎn)，例如，無論就乘法或是除法而言，不同數(shù)位上的數(shù)的算法都與個(gè)位數(shù)的算法完全一樣（這并可被看成所謂的“多單位概念結(jié)構(gòu)”的集中反映）。再者，又無論所涉及的是“進(jìn)位”還是“退位”，“位值制”都可被看成它們的共同基礎(chǔ)。最后，由于所謂的“舉三反一”和“舉一反三”即可被看成相關(guān)的教學(xué)能否幫助學(xué)生真正做到“理解學(xué)習(xí)”的關(guān)鍵，這顯然也就更為清楚地表明了用“聯(lián)系的觀點(diǎn)”指導(dǎo)這一內(nèi)容的教學(xué)的重要性，這也就是指，我們既應(yīng)通過眾多實(shí)例的比較幫助學(xué)生很好地實(shí)現(xiàn)相關(guān)的抽象，也即方法的“模式化”，而且還應(yīng)通過適當(dāng)?shù)淖兓瘞椭鷮W(xué)生逐步學(xué)會如何能將所說的模式或方法應(yīng)用于新的不同的場合或?qū)ο蟆?/p>

在此我們還應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)這一研究的普遍意義：這清楚地表明小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)特別重視算法與算理學(xué)習(xí)的很好結(jié)合，真正做到“寓理于算”。用更為通俗的語言來說，這也就是指，我們不僅要教會學(xué)生如何去算，也應(yīng)幫助他們很好地了解為什么可以這樣算，乃至能夠?qū)Υ俗鞒銮宄谋硎觥?/p>

（未完下期待續(xù)，敬請期待）

（南京大學(xué)哲學(xué)系 210093）