仿生建筑中薄殼結(jié)構(gòu)的力學(xué)建模及分析

鄧澤宇

摘 要：仿生是人類學(xué)習(xí)自然、探索自然的重要方法。在建筑學(xué)的研究和發(fā)展中，研究者借鑒了自然界中的蛋殼、龜殼等殼類結(jié)構(gòu)來幫助人們實(shí)現(xiàn)建筑物的輕質(zhì)高強(qiáng)的設(shè)計(jì)目標(biāo)。本文分析了在均勻壓力加載下，薄殼結(jié)構(gòu)和板結(jié)構(gòu)的內(nèi)力以及變形信息，并通過具體的算例對比了這兩種結(jié)構(gòu)在工程應(yīng)用中的優(yōu)劣。本文研究發(fā)現(xiàn)在相同外載荷下，如果薄殼代替板，結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的最大內(nèi)力和最大位移會大幅度降低。同時，本文進(jìn)一步探索了薄殼結(jié)構(gòu)力學(xué)承載優(yōu)勢產(chǎn)生的原因。

關(guān)鍵詞：仿生建筑；薄殼結(jié)構(gòu)；外界壓強(qiáng)；板結(jié)構(gòu)；受力分析

中圖分類號：TU33 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1671-2064（2017）14-0083-02

1 概述

經(jīng)過萬億年的進(jìn)化，自然界的生物具有高度優(yōu)化的結(jié)構(gòu)、形態(tài)和功能，因此生物界有太多值得人類學(xué)習(xí)和借鑒的地方。作為人類最古老的學(xué)科之一的建筑學(xué)，仿生方法對其研究和發(fā)展產(chǎn)生了重要的影響，大量新式的建筑也因此應(yīng)運(yùn)而生：比如美國芝加哥的人稱“玉米大廈”的“瑪麗娜城”大廈，荷蘭鹿特丹的“城市仙人掌”以及諸多仿草莖結(jié)構(gòu)的超高層建筑等等[1]。輕質(zhì)高強(qiáng)一直是人類建筑設(shè)計(jì)所追求的目標(biāo)。生物界的蛋殼、貝殼、烏龜殼、海螺殼等各種薄殼類結(jié)構(gòu)不僅具有彎曲優(yōu)雅的外形，更輕質(zhì)高強(qiáng)。從力學(xué)的角度，這些生物薄殼雖然用材極少，但非常耐壓。這是由于當(dāng)薄殼結(jié)構(gòu)承受壓力時，結(jié)構(gòu)內(nèi)的每一處材料都會較為均勻地承受外力，相當(dāng)于將材料的利用效率最大化。人們受到生物薄殼啟發(fā)，在建筑工程中廣泛應(yīng)用殼體結(jié)構(gòu)，從而實(shí)現(xiàn)了輕質(zhì)高強(qiáng)的設(shè)計(jì)目標(biāo)。比如受啟發(fā)于貝殼的外形，法國修建了國家工業(yè)與技術(shù)中心（CNIT）大廈，這棟建筑具有當(dāng)時世界上最大水泥蒼穹，其薄殼棚頂下覆蓋的面積幾乎可以罩住巴黎協(xié)和廣場；此外，美國肯尼迪機(jī)場候機(jī)大樓、人民大會堂、北京火車站以及其他很多著名建筑的屋頂都采用了薄殼結(jié)構(gòu)[2]。

本文從力學(xué)的角度探討薄殼結(jié)構(gòu)在承受外界壓縮時結(jié)構(gòu)內(nèi)部的受力特征。進(jìn)一步地，通過對比薄殼結(jié)構(gòu)和板結(jié)構(gòu)在受到相同外力時的不同表現(xiàn)，我們發(fā)現(xiàn)了在承受相同外力條件下，選用殼類結(jié)構(gòu)替代板類結(jié)構(gòu)承壓，能夠大大降低結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的內(nèi)力和變形，從而提高結(jié)構(gòu)的安全性。以上討論說明了在使用相同材料的情況下，使用薄殼設(shè)計(jì)是更加科學(xué)的選擇。

2 薄殼結(jié)構(gòu)的力學(xué)建模

殼和板是人們常用的兩種承力的結(jié)構(gòu)，其最大的差別是，殼具有一定的弧度，而板是一塊平整的材料。初始弧度的差別就導(dǎo)致了板和殼在承受均勻外界壓力情況下的力學(xué)表現(xiàn)完全不同。如圖1所示，我們將針對板和殼在均勻外壓下結(jié)構(gòu)內(nèi)部材料的受力狀態(tài)進(jìn)行分析，并根據(jù)板和殼的具體表現(xiàn)來判斷哪種結(jié)構(gòu)更適合承受載荷。

設(shè)板和殼都具有相同的厚度h，跨度D，承受的壓強(qiáng)大小為p。在p作用下，我們選擇結(jié)構(gòu)的最大內(nèi)應(yīng)力σ和最大變形位移w作為評價(jià)結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的標(biāo)準(zhǔn)。其中σ代表單位面積上沿結(jié)構(gòu)軸向的拉力的大小，其具有壓強(qiáng)的量綱。顯然，σ和p之間存在一定聯(lián)系，即。換言之，，即受控于h和D的函數(shù)關(guān)系。由于是無量綱的，函數(shù)f的計(jì)算結(jié)果也必須是無量綱的，這就要求函數(shù)f的自變量也是無量綱的。于是我們可以得到

根據(jù)彈性力學(xué)和板殼理論的推導(dǎo)結(jié)果[3]，我們最終可得：

為了求解結(jié)構(gòu)的最大位移w，我們需要引入材料常數(shù)E。與彈簧剛度的概念類似，E代表在單位面積上使單位長度的材料發(fā)生一定變形所需的力的大小。這個量也具有壓強(qiáng)的量綱，比如對于鋼材料，人們發(fā)現(xiàn)E=210GPa。顯然，我們有如下幾條結(jié)論：w隨p增大而增大；E增大但p不變時，變形量w變小；幾何結(jié)構(gòu)跨度D增大時，變形量w也會相應(yīng)增大。總結(jié)上述結(jié)論，我們有。整理上式后我們有，。類似于結(jié)構(gòu)內(nèi)力的分析，函數(shù)F的計(jì)算結(jié)果也必須是無量綱的。根據(jù)板殼理論的推導(dǎo)，我們最終有：

3 薄殼結(jié)構(gòu)的力學(xué)承載優(yōu)勢分析

乍看上去，板和殼似乎并無太多差別：兩者之間唯一的不同就是結(jié)構(gòu)是否是彎曲的。實(shí)際上，這個形狀的差別將會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的內(nèi)力以及變形大小完全不同。比如，我們采用公式（2）和公式（3）對以下案例進(jìn)行分析：假設(shè)一個跨度D為20米的屋頂，由厚度h為20cm的鋼板組成。由鋼板的自重產(chǎn)生的壓強(qiáng)p的大小為，其中鋼板的密度為7.8t/m3，g為重力加速度。對于該算例，我們可以得到，=47.2MPa，=0.38MPa，兩者之間的相差倍數(shù)為123.6倍；對于結(jié)構(gòu)的最大位移，我們有=64.1mm，=0.013mm，兩者之間相差5028倍！為了進(jìn)一步說明殼式結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)相對于板設(shè)計(jì)的巨大優(yōu)勢，我們改變跨度D的數(shù)值，并令h等其他參數(shù)保持不變，得到和隨D的變化關(guān)系如圖2所示。

通過圖2我們可以發(fā)現(xiàn)，隨著跨度D的增長，結(jié)構(gòu)的最大內(nèi)力比線性增長，而最大變形比以二次方形式增長。由于對于特定工程結(jié)構(gòu)，如果結(jié)構(gòu)的最大內(nèi)力達(dá)到一定數(shù)值，材料可能會發(fā)生破壞，從而導(dǎo)致整個結(jié)構(gòu)的失效，即結(jié)構(gòu)中的最大內(nèi)力越小則結(jié)構(gòu)越安全；同時，由于空間的要求，結(jié)構(gòu)的最大變形量也不能過大。根據(jù)圖2的對比，以及人們對工程建筑的設(shè)計(jì)要求，我們可以發(fā)現(xiàn)，在結(jié)構(gòu)均勻承壓情況下，薄殼結(jié)構(gòu)相對于板結(jié)構(gòu)更具優(yōu)勢。

為什么初始曲率不同就會造成結(jié)構(gòu)力學(xué)特性發(fā)生如此大的改變呢？我們通過圖3可以進(jìn)行一個簡要的說明。如圖3所示，由于板是平的，所以在在受壓后，板的下表面承受拉力，而上表面承受壓力，結(jié)構(gòu)的最大內(nèi)力在板的下表面處產(chǎn)生；與板不同，由于殼是彎曲的，在其內(nèi)部承壓時，結(jié)構(gòu)的內(nèi)力沿截面均勻分布。那么，對于板而言，沿剖面方向的內(nèi)力大小處處不同，甚至有時連方向都不同，即每一處的材料使用的效率不同；而對殼而言，受力分布有較大的改善。根據(jù)圖3的分析以及我們的生活常識，在相同受力條件下，一個處處“齊心協(xié)力”的結(jié)構(gòu)具有更好的安全性及力學(xué)優(yōu)勢。

圖3中所述的生物啟發(fā)的力學(xué)原理，在大量的工程結(jié)構(gòu)中得到了應(yīng)用。比如，中國古代建筑的驕傲——趙州橋：其矗立千年而不倒的最主要原因是因?yàn)樗膸缀涡螒B(tài)為拱形的。這種拱形的結(jié)構(gòu)使得其具有和殼類似的受力特性：橋在受壓時，結(jié)構(gòu)內(nèi)的各個磚瓦受力相對均勻，物盡其用，從而避免了局部破壞導(dǎo)致整體破壞的悲劇發(fā)生。

4 結(jié)語

仿生設(shè)計(jì)是人類科學(xué)研究中的重要手段和方法。通過觀察自然界如蛋殼、龜殼等薄殼類結(jié)構(gòu)的力學(xué)機(jī)理，人們在建筑上廣泛使用了薄殼類設(shè)計(jì)作為承壓結(jié)構(gòu)。相比于廣泛使用的板結(jié)構(gòu)而言，在承受相同的均勻壓力的條件下，殼類結(jié)構(gòu)具有無與倫比的優(yōu)勢：比如，結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的內(nèi)力更小，結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的變形位移更小。這些優(yōu)勢產(chǎn)生的主要原因是殼類結(jié)構(gòu)的初始彎曲改變了結(jié)構(gòu)內(nèi)力的分布形式，從而使得結(jié)構(gòu)內(nèi)的材料承力均勻，物盡其用。

參考文獻(xiàn)

[1]俞冬良，葉青會，李忠學(xué).高層建筑中的仿生學(xué)原理及應(yīng)用[J].結(jié)構(gòu)工程師，2009（6）：138-143.

[2]葉青會，陶健，俞冬良，等.仿生學(xué)原理在空間結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用[J].結(jié)構(gòu)工程師，2010（3）：13-18.

[3]黃克智，等.板殼理論[M].清華大學(xué)出版社，1987.