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      “猜想教學”在初中數(shù)學教學中的應(yīng)用研究

      2017-08-14 22:11:47劉貝貝
      新課程·下旬 2017年7期
      關(guān)鍵詞:主體性應(yīng)用

      劉貝貝

      摘 要:猜想是一種創(chuàng)造性的思維活動,它既是科學發(fā)現(xiàn)的先導(dǎo),也是實現(xiàn)問題解決的一種重要手段。在數(shù)學教學中應(yīng)用猜想教學,能使學生根據(jù)已有的知識和材料,通過直覺觀察、動手操作、歸納和類比等方法猜想新知,并對猜想的內(nèi)容進行驗證。學生由“猜想—驗證”的學習方式,再現(xiàn)數(shù)學知識的發(fā)現(xiàn)過程,不僅能夠扎實獲得數(shù)學知識和技能,靈活運用思想和方法,還能獲得學習的美好體驗,享受發(fā)現(xiàn)學習帶來的愉悅,這將有利于改變長期以來數(shù)學課堂教學中過分重視學生知識、技能的習得而忽視知識的形成過程和學生的體驗。

      關(guān)鍵詞:數(shù)學猜想教學;應(yīng)用;主體性

      數(shù)學猜想即關(guān)于數(shù)學學術(shù)方面的猜想(或稱猜測、假設(shè)等),這些猜想有的被驗證為正確的,并成為定理;有的被驗證為錯誤的;還有一些正在驗證過程中。

      著名科學家牛頓有句名言:“沒有大膽的猜想,就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明?!辈孪胧菍ρ芯康膶ο蠡騿栴}進行觀察、實驗、分析、比較、聯(lián)想、類比、歸納等,依據(jù)已有的知識和材料作出符合一定的經(jīng)驗與事實的推測性想象的思維形式。

      數(shù)學猜想就是依據(jù)某些已知事實和數(shù)學知識,對未知量及其關(guān)系所做出的一種推斷,是數(shù)學中的合情推理。波利亞指出:數(shù)學中有“論證推理和合情推理”兩種推理,它們是思維的兩種形式、兩個方面,它們之間并不矛盾,在數(shù)學的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明過程中起交互作用。在嚴格的推理之中,首要的事情是區(qū)別證明與推測,區(qū)別正確的論證與不正確的嘗試;而在合情推理中,要區(qū)別理由較多的推測與理由較少的推測。所以說,數(shù)學猜想是合情的推理,而不是不合理的亂猜。本文就“猜想教學”在初中數(shù)學中的應(yīng)用談點個人見解。

      一、猜想論證可以激發(fā)學生的學習興趣,充分發(fā)揮學生學習數(shù)學的主體性

      實現(xiàn)猜想的途徑,可以是探索試驗、類比、歸納、構(gòu)造、聯(lián)想、審美以及它們之間的組合等。數(shù)學猜想是有一定規(guī)律的,如類比的規(guī)律、歸納的規(guī)律等,并且要以數(shù)學知識和經(jīng)驗為支柱。在證明一個數(shù)學問題之前,應(yīng)猜想這個問題的內(nèi)容;在完全做出詳細證明之前,應(yīng)先有猜想證明的思路。例如,在《等腰三角形的性質(zhì)》一節(jié)中,教師就可以讓學生動手操作—猜想—論證—等出結(jié)論,學生已認識等腰三角形,課前可以讓學生找(或做)一些等腰三角形的模型,經(jīng)歷動手操作的過程,猜想出等腰三角形的對稱性,再由對稱性得到等腰三角形的相關(guān)性質(zhì),最后歸納出猜想,一一加以驗證其正確性。這一過程充分激發(fā)了學生學習的興趣,調(diào)動了學生探索數(shù)學問題的積極性。這樣獲得的知識就不再是由老師講解分析,學生理解記憶而得的,而是學生通過“猜想——驗證”的方法自主獲得的。學生對新知進行猜想后急于求知和驗證,學習數(shù)學的積極性也就會被充分調(diào)動,學生能積極參與接下去的數(shù)學活動。在接下去的探索活動中教師引導(dǎo)學生驗證猜想,修正猜想,完善猜想,最終獲得新知,學生由此經(jīng)歷了數(shù)學知識的再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造,從中獲得了成就和滿足的情感體驗,對數(shù)學學習也就會產(chǎn)生濃厚的興趣。另外,應(yīng)用“猜想教學”,使學生的學習變成一個自主探索的過程。猜想教學要求學生在教師引導(dǎo)下,利用材料,主動探索發(fā)現(xiàn)而不是消極接受知識。這種教學體現(xiàn)了學生參與和發(fā)現(xiàn)的主體地位。學生在學習過程中以主人翁的姿態(tài)出現(xiàn),以積極的心態(tài)調(diào)動原有的知識和經(jīng)驗猜想新知識,同化新知識并不斷構(gòu)建整個知識體系。

      二、數(shù)學猜想的方法

      1.運用不完全歸納法進行猜想

      這種猜想是對研究對象或問題從一定的數(shù)量進行觀察、分析,從而得出有關(guān)命題、結(jié)論、方法。歸納推理是針對一類事物而言的。一類事物A中的部分個體A1、A2…An都具有性質(zhì)P,那么A中的全部個體是否都具有性質(zhì)P呢?這就是一個歸納猜想的思維過程。例如,在等邊三角形的兩邊截取BE=CD,那么可以求出則∠APD的度數(shù)為60°。在正方形的兩邊截取BE=CD,那么可以求出∠APD=90°。在正五邊形的兩邊截取BE=CD,可以求出∠APD=108°。因此,學生可以根據(jù)歸納法得到猜想,當多邊形是正n邊形,兩條線段的一個夾角等于這個正n邊形的每一個內(nèi)角。

      2.運用類比法進行猜想

      這種猜想是通過比較兩個對象或問題的相似性得出數(shù)學命題的猜想。在A和B兩類事物中,A有性質(zhì)P成立,B也有性質(zhì)P成立,A類中還有性質(zhì)Q成立,B類中是否也有性質(zhì)Q成立呢?這是一個類比猜想的思維過程。例如,在特殊的平行四邊形判定的證明過程中,我們先掌握了平行四邊形的判定,可以從邊、角、對角線三個方面判定,那么對于特殊的平行四邊形是不是也可以從這三個元素來分析呢?在教學過程中,教師可以引導(dǎo)學生先猜想后論證,矩形的對角線相等,那么對角線相等的平行四邊形是矩形嗎?也許在這一過程中,還會有學生提出,對角線相等的四邊形是矩形嗎?不完全歸納不僅能提高學生的數(shù)學猜想能力,還可以在這一過程將新知進行類比,幫助學生理解記憶。

      3.運用對稱的思想進行猜想

      這種方法是對研究的對象或問題,運用簡單性、對稱性、相似性、和諧性、奇異性等,結(jié)合已有的知識和經(jīng)驗所作出的知覺性猜想。例如,困難的問題可能存在著簡單的解答、對稱的條件可能存在對稱的結(jié)論以及可能會用對稱變換的方法加以解決、和諧的或奇異的構(gòu)思有助于問題的明朗化或簡單化就是因為使用了對稱的思想。

      三、數(shù)學猜想的應(yīng)用

      在數(shù)學教學實踐中,作為教師,我們應(yīng)當引導(dǎo)學生大膽地猜想假設(shè),使學生在學好知識的同時,發(fā)展能力,激發(fā)潛力,教學中鼓勵學生猜想,并讓學生體會猜想的重要意義。

      首先,數(shù)學猜想有利于更為透徹地理解和掌握數(shù)學知識。

      數(shù)學的特點是邏輯性強,學生在學習時往往只注重知識的表層,或者去死記知識,這樣學生在做題時就出現(xiàn)了知道但是不會做的現(xiàn)象,所以在教學中,教師必須想方設(shè)法地讓學生理解所學知識,并掌握這些知識。

      數(shù)學課本中的很多定理,并不是由純邏輯的演繹推理得到的。多數(shù)是由特例,通過觀察、歸納、猜想,最后才是給出證明。教師在講解這些結(jié)論時,可以不要先把結(jié)論直接告訴學生,而是讓學生一起參與歸納猜想論證。如果教師直接將這些結(jié)論拋給學生,學生就會感到很突然,而通過歸納猜想得出結(jié)論就顯得很自然。當然這樣的猜想,還要引導(dǎo)學生驗證。

      例如在講解多邊形的內(nèi)角和時,我們可以先帶著學生復(fù)習三角形的內(nèi)角和知識,再鼓勵學生將多邊形分解成三角形,看看有多少種分割方法。這樣,讓學生通過討論,就出現(xiàn)了幾種不同的分割方法,一方面激發(fā)學生的學習興趣,另一方面培養(yǎng)學生的動手操作能力。接下來引導(dǎo)學生將多邊形內(nèi)角和的求法轉(zhuǎn)化成多個三角形的內(nèi)角和,其實,這一環(huán)節(jié),學生自己也可以想到做到。最后再歸納總結(jié)出多邊形的內(nèi)角和公式:180°·(n-2),學生敘述的語言表達可能不是十分準確,但轉(zhuǎn)化的方法則非常清楚,學生理解得也更為透徹,這樣學生也更加清楚教材為什么要在講完三角形的內(nèi)角和后直接講多邊形的知識,引導(dǎo)學生注意數(shù)學學習的連貫性,體會類比和轉(zhuǎn)化的思想。

      其次,數(shù)學猜想有利于更快捷地尋找解題思路。

      數(shù)學猜想是數(shù)學認識過程中不可缺少的一環(huán)節(jié),是數(shù)學思維的基本要素,歸納和類比是兩種主要表現(xiàn)形式。數(shù)學史上的許多重要成就是借助于數(shù)學猜想獲得的,各種數(shù)學新觀念的產(chǎn)生,都或多或少有它們的作用。

      演繹推理是證明數(shù)學結(jié)論、表現(xiàn)數(shù)學體系的重要形式,但從數(shù)學發(fā)現(xiàn)過程和數(shù)學研究方法的角度看,數(shù)學與自然科學一樣又是歸納的科學。中學數(shù)學教學應(yīng)使學生認識到數(shù)學既是演繹的科學,又是歸納的科學。數(shù)學教學不單單是重現(xiàn)現(xiàn)有的結(jié)論和結(jié)論的證明過程,問題和結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程也是重要內(nèi)容。在教學實踐中應(yīng)有意識地關(guān)注學生的學習過程,關(guān)注學生個性與潛能的發(fā)展,從而有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神。

      參考文獻:

      [1]郭東進.猜想在解析幾何教學中的應(yīng)用[J].大家,2012(1).

      [2]趙雄輝.讓我們教數(shù)學猜想[J].湖南教育,2000(21).

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