二輪復(fù)習(xí)要重視教材
——以平面向量數(shù)量積為例

浙江 劉志昌 李承法

(作者單位：浙江省開化中學(xué))

二輪復(fù)習(xí)要重視教材
——以平面向量數(shù)量積為例

二輪復(fù)習(xí)要重視教材，能幫助同學(xué)們跳出題海、高效復(fù)習(xí)的唯有教材.平面向量的數(shù)量積是每年高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容，且常與三角函數(shù)、數(shù)列、解三角形、解析幾何等交匯命題，?？汲Ｐ?解答此類問題或轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，或利用其幾何意義，其轉(zhuǎn)化途徑主要是利用平面向量數(shù)量積的公式和性質(zhì)，而這些解題思路，其實(shí)就在教材中！

一、橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同——重視平面向量數(shù)量積之投影形式

圖1

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A.只與圓C的半徑有關(guān)

B.只與弦AB的長(zhǎng)度有關(guān)

C.既與圓C的半徑有關(guān)，又與弦AB的長(zhǎng)度有關(guān)

D.是與圓C的半徑和弦AB的長(zhǎng)度均無關(guān)的定值

【評(píng)注】本例是教材習(xí)題的改編，而教材中的這道習(xí)題本身就是平面向量數(shù)量積的幾何意義的直接應(yīng)用，這是一道直接源于課本的試題.在二輪復(fù)習(xí)過程中多關(guān)注研究課本習(xí)題、思考題，進(jìn)行歸類，那么就能很好地幫助同學(xué)們整合知識(shí).

圖2

圖3

【評(píng)注】方法二，運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算，解三角形，結(jié)合運(yùn)用特殊化思想，取B,C為特殊點(diǎn)，然后進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，解決問題；而方法一，則按照平面向量數(shù)量積的投影意義思路來求解就比較簡(jiǎn)捷.由此可知，當(dāng)數(shù)量積中有一個(gè)向量的模長(zhǎng)為定值(或投影與另一向量的模長(zhǎng)關(guān)系確定)時(shí)可以用平面向量數(shù)量積的投影形式解決問題.

圖4

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A.4 B.5 C.7 D.9

圖5

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A.1 B.2 C.tD.2t

圖6

二、不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中——善用平面向量數(shù)量積之余弦定理形式

圖7

圖8

在△ABC中，由平面向量數(shù)量積余弦定理形式知：

即c2=a2+b2+2.

【評(píng)注】利用平面向量數(shù)量積之余弦定理形式較快地解決了這個(gè)問題.正如教科書108習(xí)題B組第5題所說,利用好向量數(shù)量積可以容易地推導(dǎo)關(guān)于三角形、四邊形、圓等平面圖形的一些性質(zhì).從此例可以發(fā)現(xiàn)常用的一些技巧方法，結(jié)論，其實(shí)很多的都來源于課本，只要我們能真正地理解課本，挖掘課本中的隱含知識(shí)、延伸知識(shí)，很多的問題的解決方法都可以在課本上找到.因此高三二輪復(fù)習(xí)時(shí)，不但不要完全的脫離課本，而且要多與課本相聯(lián)系，多多關(guān)注到課本例習(xí)題.

圖9

三、輕沙走馬路無塵——巧用平面向量數(shù)量積之極化恒等式形式

人教版必修四教材第109頁(yè)平面向量應(yīng)用舉例中有此例：如圖10，你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形的對(duì)角線長(zhǎng)度和兩條鄰邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎？

圖10

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圖11

A.∠ABC=90°

B.∠BAC=90°

C.AB=AC

D.AC=BC

∴Δ=(1+a)2-4a≤0，得a=1，

∴H為AB的中點(diǎn)，∴AC=BC，故選D.

圖12

方法二：(利用平面向量數(shù)量積之極化恒等式)

圖13

∴OP0⊥BC，即有：當(dāng)AP⊥BC時(shí)，P為BC的中點(diǎn).

∴AC=BC，故選D.

【評(píng)注】此題方法一、二分別利用了平面向量數(shù)量積的幾何意義(投影形式)和極化恒等式，轉(zhuǎn)化為可借助圖中平面幾何知識(shí)就可以解決問題，解法顯得快捷簡(jiǎn)潔.

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A.C0M⊥AB

B.C0M⊥l，其中l(wèi)是拋物線過C0的切線

C.C0A⊥C0B

答案：B

∴C0M⊥l，其中l(wèi)是拋物線過C0的切線.

圖14

(作者單位：浙江省開化中學(xué))