求曲線軌跡方程的策略

河北 宋連筠

(作者單位：河北省衡水市鄭口中學(xué))

求曲線軌跡方程的策略

求曲線的軌跡方程是高考的?？碱}型，往往在解答題的第一問中出現(xiàn)，有時(shí)也在選擇、填空題中出現(xiàn).?？疾檐壽E方程的求法，以及利用曲線的軌跡方程研究曲線的幾何性質(zhì).解題的關(guān)鍵是如何找到動點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的等量關(guān)系.求軌跡方程的常用方法一般有如下四種，以下分別進(jìn)行討論.

一、直接法求軌跡方程

整理，得x2=8y.

即動點(diǎn)P的軌跡C為拋物線，其方程為x2=8y.

【評注】直接法是求軌跡方程的基本方法，所謂直接法求軌跡方程，即題目中的條件有明顯的等量關(guān)系，或者可以利用平面幾何知識得到等量關(guān)系，當(dāng)所求動點(diǎn)要滿足的條件簡單明確時(shí)，直接按“建系，設(shè)點(diǎn)，列出條件，代入坐標(biāo)，整理化簡，限制說明”五個(gè)基本步驟，列出含動點(diǎn)M(x，y)的關(guān)系式，進(jìn)而求得軌跡方程.

【解析】設(shè)出動點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積公式及模長公式，即可求動點(diǎn)P的軌跡C.

設(shè)動點(diǎn)P(x，y)，又點(diǎn)M(4,0)、N(1,0)，

所以(x2-8x+16)=4(x2-2x+1)+4y2，

所以軌跡C是焦點(diǎn)為(±1,0)，長軸長2a=4的橢圓.

二、定義法求軌跡方程

【例2】已知圓心為F1的圓的方程為(x+2)2+y2=32，F(xiàn)2(2,0)，C是圓F1上的動點(diǎn)，F(xiàn)2C的垂直平分線交F1C于M，求動點(diǎn)M的軌跡方程.

【解析】因?yàn)镕2C的垂直平分線交F1C于M，所以 |MF2|=|MC|.

【評注】圓錐曲線的定義揭示了動點(diǎn)的本質(zhì)特征.利用定義法求軌跡問題時(shí)，往往應(yīng)先考慮動點(diǎn)滿足的距離關(guān)系，判斷它是否滿足熟悉的幾種曲線的定義，如圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，進(jìn)而求出該曲線的方程.定義法求軌跡的關(guān)鍵是緊扣解析幾何中有關(guān)曲線的定義，靈活應(yīng)用定義，而圓錐曲線的方程隨坐標(biāo)系的不同而不同，因而掌握定義是根本.

三、代入法求軌跡方程

【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0，y0).

【評注】如果軌跡動點(diǎn)M(x，y)依賴于另一動點(diǎn)P(x0，y0)(也稱相關(guān)點(diǎn))，而P(x0，y0)又在某已知曲線上，則可先列出關(guān)于x、y、x0，y0的方程組，利用x、y表示出x0，y0，把x0，y0代入已知曲線方程便得動點(diǎn)P的軌跡方程.這就是代入法求軌跡的方程.當(dāng)題目中有多個(gè)動點(diǎn)的時(shí)候，將其他動點(diǎn)的坐標(biāo)用所求動點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)來表示，再代入到其他動點(diǎn)要滿足的條件或軌跡方程中，整理即得到動點(diǎn)P的軌跡方程.

【變式3】過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F作直線與拋物線交于P、Q兩點(diǎn)，當(dāng)此直線繞焦點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)時(shí)，弦PQ中點(diǎn)的軌跡方程為 .

得(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2)，

設(shè)PQ中點(diǎn)為M(x,y)，當(dāng)x1≠x2時(shí)，

即y2=2(x-1).

當(dāng)x1=x2時(shí)，易得弦PQ的中點(diǎn)為F(1,0)，也滿足所求方程.

故所求軌跡方程為y2=2(x-1).

四、參數(shù)法求軌跡方程

【解析】 直線l過點(diǎn)M(0，1)設(shè)其斜率為k，則l的方程為y=kx+1.

將①代入②并化簡，得(4+k2)x2+2kx-3=0，

當(dāng)k不存在時(shí)，A、B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)(0，0)，也滿足方程③，所以點(diǎn)P的軌跡方程為4x2+y2-y=0.

【評注】如果軌跡動點(diǎn)M(x，y)的坐標(biāo)之間的關(guān)系不易找到，也沒有相關(guān)點(diǎn)可用時(shí)，可先考慮將x、y用一個(gè)或幾個(gè)參數(shù)來表示，消去參數(shù)即可得軌跡方程.參數(shù)法中常選角、斜率等為參數(shù)，分別求出動點(diǎn)坐標(biāo)x，y與參數(shù)的關(guān)系式，得出所求軌跡的參數(shù)方程，消去參數(shù)即可，此即為參數(shù)法.

【變式4】動圓C:(x-1)2+y2=1，過原點(diǎn)O作圓的任一弦，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程.

(作者單位：河北省衡水市鄭口中學(xué))