非2與5的質(zhì)數(shù)都有3的性質(zhì)

朱昌海

一、引言

整數(shù)有哪些分類呢？

從倍數(shù)情況來看就有質(zhì)數(shù)和合數(shù)之分；從倍2的情況來看就有奇數(shù)和偶數(shù)之分；從倒數(shù)的情況來看就有盡除除數(shù)、純循環(huán)除數(shù)和帶純循環(huán)除數(shù)之分。題目所指的就是后面這三種除數(shù)的不同特征。

我對(duì)純循環(huán)除數(shù)和帶純循環(huán)除數(shù)研究多年，現(xiàn)有本文成果。

研究問題：①循環(huán)節(jié)和被除環(huán)的關(guān)系；②純循環(huán)除數(shù)和帶純循環(huán)除數(shù)的特征；③鍵盤里的奧妙；④雙向被整除環(huán)的求法及其表達(dá)式。

研究方法：在我所有讀過的數(shù)學(xué)書中，發(fā)現(xiàn)“倍數(shù)的特征”，只有“3”這個(gè)數(shù)，那么就從《“3”的倍數(shù)的特征》入手吧。

研究結(jié)果如下文表述。

二、循環(huán)節(jié)和被除環(huán)的關(guān)系

1.3和9這兩個(gè)數(shù)具有共同的特征

小學(xué)五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《“3”的倍數(shù)的特征》寫著“一個(gè)數(shù)各位上的數(shù)字和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)?！狈粗嗳?。除此之外，3還有哪些特征呢？3確實(shí)是太神奇了：A、凡被3整除的數(shù)，其逆排序也被3整除；B、任意打亂排序所得的新數(shù)也被3整除；C、任意分段所得各段數(shù)之和也被3整除；D、不能被3整除的數(shù)，重復(fù)A、B、C的做法，余數(shù)都相同。9也具有A、B、C、D同樣的特征。為什么呢？原來3和9都不含有因子2和5，而且它們倒數(shù)的最小循環(huán)節(jié)和其自身都是一位數(shù)，這就是它們的共同點(diǎn)。那么，它們的共同特征是否和這兩個(gè)共同點(diǎn)有關(guān)呢？下面有更充分的例子。

2.11、33、99這三個(gè)數(shù)具有共同的特征

這三個(gè)數(shù)都不含有因子2和5，而且它們倒數(shù)的最小循環(huán)節(jié)和其自身都是兩位數(shù)，那就和“1.”中的3和9具有相同的兩點(diǎn)。它們是否也有“1.”中的A、B、C、D這些共同的特征呢？下面就以99為例來驗(yàn)證一下：

對(duì)于任意給出的數(shù)89507×99=

8861193，其積的倒排序數(shù)也被99整除（即3911688÷99=39512），這就和“1.”中的A相同。其次，在8861193的前面或后面補(bǔ)零，使其位數(shù)正好是最小循環(huán)節(jié)位數(shù)的倍數(shù)，然后構(gòu)成一個(gè)閉合數(shù)字環(huán)（ ）或（）等，再將這樣的環(huán)按最小循環(huán)節(jié)兩位一節(jié)（兩種分法）共分四節(jié)或五節(jié)，這樣的節(jié)我們叫作余數(shù)最小循環(huán)節(jié)（簡(jiǎn)稱余節(jié)）。我們把每一個(gè)余節(jié)當(dāng)作一位數(shù)來看，其節(jié)排序可以任意打亂構(gòu)成不同的新環(huán)（）、（）、（）等，或（）、（）、（）等，這些環(huán)內(nèi)的各數(shù)任一正反排序，都無法改變其被99的整除性（如數(shù)字環(huán)（），其中順排序有11860893÷99=119807、86089311÷99=869589等，逆排序有39806811÷99=402089、98068113÷99=990587等），這就和“1.”中的B相同。此外，任意兩個(gè)余節(jié)上的對(duì)應(yīng)位上的兩數(shù)調(diào)換，其正反任一排序所得的數(shù)，也無法改變其被99的整除性（如數(shù)字環(huán)（）兩個(gè)余節(jié)86和93，對(duì)應(yīng)位8和9或6和3可以調(diào)換構(gòu)成新環(huán)（如數(shù)字環(huán)（）或（）等），其正反任一排序所得的數(shù)也無法改變其被99的整除性。這是把余節(jié)當(dāng)位的又一個(gè)特征。再者，我們將環(huán)內(nèi)各余節(jié)任意分段連接，所得各段數(shù)的和，也無法改變其被99的整除性如（數(shù)字環(huán)

（）的三段數(shù)的和8830+61+19=8910，而8910÷99=90），這就和“1.”中的C相同。最后，對(duì)于任意給出一個(gè)不能被99整除的數(shù)7780669，并兩位一節(jié)共分成四個(gè)余節(jié)（不夠分的要在前面或后面補(bǔ)零），并把余節(jié)當(dāng)作一位數(shù)來看，依照“1.”中的D作法，結(jié)果都不能被99整除，而且余數(shù)全是61，這就和“1.”中的D相同。由此可知余節(jié)和最小循環(huán)節(jié)，它們的位數(shù)是相同的。由一個(gè)節(jié)或幾個(gè)節(jié)組成的數(shù)字環(huán)叫作被除環(huán)。

3.最小循環(huán)節(jié)和最小被除環(huán)

對(duì)于下面的式子

=0.333……，還可以表示成A、0. ，B、30. ，C、 ，……

=0.090909……，還可以表示成A、0. ，B、0.90，C、0.9090，……

A、B、C表示的都是循環(huán)節(jié)，其中A是最小循環(huán)節(jié)，也叫一重循環(huán)節(jié)，B叫二重循環(huán)節(jié)，C叫三重循環(huán)節(jié)，等等。

對(duì)于下面的式子

A、B、C中的積的位數(shù)都是循環(huán)除數(shù)3和11的倍數(shù)（不能構(gòu)成被除環(huán)的要在前面補(bǔ)零，如0143或000143），所以都能構(gòu)成被除環(huán)。其中A中的積的位數(shù)是最小被除環(huán)的位數(shù)，也叫一重被除環(huán)的位數(shù)；B中的積的位數(shù)叫二重被除環(huán)的位數(shù)；C中的積的位數(shù)叫三重被除環(huán)的位數(shù)，等等。

從倒數(shù)的算式和積的算式可以看出，最小被除環(huán)和最小循環(huán)節(jié)，其位數(shù)是相同的，從而構(gòu)成二重、三重、四重等被除環(huán)和循環(huán)節(jié)，它們的位數(shù)也是對(duì)應(yīng)相同的。

三、純循環(huán)除數(shù)和帶循環(huán)除數(shù)的特征

從倒數(shù)的情況看，整數(shù)有下列三種不同特征：①只含有因子2和5的數(shù)，其特征是對(duì)于任意整數(shù)，都能被其盡除；②不含有因子2和5的數(shù)，其特征是對(duì)于任意整數(shù)，不是被其整除，就是商從小數(shù)的第一位起就開始循環(huán)的數(shù)；③除了含有因子2和5的數(shù)，還含有質(zhì)因子的數(shù)，其特征是對(duì)于任意整數(shù)，不是被其盡除，就是商從小數(shù)的非第一位起才開始循環(huán)的數(shù)。

①中的數(shù)叫盡除除數(shù)；②中的數(shù)叫純循環(huán)除數(shù)；③中的數(shù)叫帶循環(huán)除數(shù)。除了①?zèng)]有其他特征，②和③還有沒有更神奇的特征呢？

1.純循環(huán)除數(shù)的特征

（1）在某一環(huán)內(nèi)的數(shù)正好是某一純循環(huán)除數(shù)的一個(gè)被除環(huán)，那么環(huán)內(nèi)只要有一個(gè)排序數(shù)被這個(gè)純循環(huán)除數(shù)整除，而環(huán)內(nèi)任一同向排序所得的數(shù)都被這個(gè)數(shù)整除（如數(shù)字環(huán)（）正好是37的一個(gè)被除環(huán)，而環(huán)內(nèi)順時(shí)針排序所得的六個(gè)數(shù)全被37整除）。如果不能整除，那么小數(shù)部分按最小循環(huán)節(jié)輪位出現(xiàn)（如上環(huán)逆時(shí)針排序所得六個(gè)數(shù)除以37，結(jié)果是316175÷37=8545. 270；161753÷37=4371.702；617531÷37=16690.027，而小數(shù)部分270、702、027輪位出現(xiàn)）。

（2）任意打亂被除環(huán)內(nèi)的余節(jié)排序，任意兩個(gè)余節(jié)對(duì)應(yīng)位上的兩數(shù)調(diào)換，都保持著“（1）”的特征。

（3）任意余節(jié)段上的數(shù)相加，所構(gòu)成的比原來被除環(huán)小的新被除環(huán)，也都保持著“（1）”的特征。

如果我們把這樣的余節(jié)當(dāng)作一位數(shù)來看，這和“3”“9”的特征又有何異？所以純循環(huán)除數(shù)都具有“3”和“9”的特征。

2.帶循環(huán)除數(shù)的特征

既含有因子2和5，又含有質(zhì)因子的數(shù)，其倒數(shù)的特征是小數(shù)部分至少帶著一位不循環(huán)的數(shù)，所以叫作帶循環(huán)除數(shù)。帶循環(huán)除數(shù)是介于盡除除數(shù)和純循環(huán)除數(shù)之間的數(shù)，其特征也介于兩者之間，其特征是：

（1）在某一環(huán)內(nèi)的數(shù)正好是某一帶循環(huán)除數(shù)的一個(gè)被除環(huán)，那么只要環(huán)內(nèi)的數(shù)有一個(gè)排序被這個(gè)帶循環(huán)除數(shù)盡除，而環(huán)內(nèi)的數(shù)任一同向排序都被這個(gè)數(shù)盡除（如數(shù)字環(huán)（）也正好是74的一個(gè)被除環(huán)，環(huán)內(nèi)順時(shí)針排序所得的六個(gè)數(shù)全被74盡除）。如果不能盡除，那么小數(shù)的循環(huán)部分按最小循環(huán)節(jié)輪位出現(xiàn)（如上環(huán)逆時(shí)針排序所得的六個(gè)數(shù)除以74，結(jié)果是316175÷74=4272.651161753÷74=2185.8513；617531÷74=8345.0135，而小數(shù)循環(huán)部分351、513、135輪位出現(xiàn)）。

（2）重復(fù)1.中的（2）（3）做法，都保持著（1）的特征。

像3、6、9、11、22、33、44、55、66、88、99這十一個(gè)數(shù)，對(duì)于任一被其整除或盡除的數(shù)，其逆排序也一定被其整除或盡除。具有這一特征的除數(shù)叫雙向除數(shù)。最小循環(huán)節(jié)的位數(shù)和其自身位數(shù)相同的數(shù)，都是雙向除數(shù)。

（3）質(zhì)數(shù)除數(shù)的余數(shù)特征。純循環(huán)除數(shù)和帶循環(huán)除數(shù)，我們統(tǒng)稱循環(huán)除數(shù)，它們除了有上面兩個(gè)特征，是質(zhì)數(shù)除數(shù)的，還有它們的余數(shù)特征。有些質(zhì)數(shù)雖然很小，但循環(huán)節(jié)卻很長(zhǎng)（如1÷7=0.142857），有些質(zhì)數(shù)雖然很大，但循環(huán)節(jié)卻很短（如1÷37=0.027）。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的主要原因是“7”是全余（六個(gè)余數(shù)都出現(xiàn)）循環(huán)除數(shù)，而“37”是缺余（三十六個(gè)余數(shù)只出現(xiàn)三個(gè)）循環(huán)除數(shù)。全余循環(huán)除數(shù)往往循環(huán)節(jié)很長(zhǎng)，7、17、19、23、29、47、59、61、97等這些數(shù)都是全余循環(huán)除數(shù)，它們最小循環(huán)節(jié)的位數(shù)比其自身數(shù)小一，也就是它們最小循環(huán)節(jié)的位數(shù)分別是6、16、18、22、28、46、58、60、96。缺余循環(huán)除數(shù)，最小循環(huán)節(jié)的位數(shù)比自身數(shù)要小得多，3、11、13、31、37、41、43、53、67、71、73、79、83、89、101、103等，這些數(shù)都是缺余循環(huán)除數(shù)，它們最小循環(huán)節(jié)的位數(shù)分別是1、2、6、15、3、5、21、13、33、35、8、13、41、44、4、34，而3、13、31、43、67、71、83、89等是半余循環(huán)除數(shù)，如13它有十二個(gè)余數(shù)卻只出現(xiàn)了六個(gè)。其他的11、37、41、53、73、79、101、103等都為不足半余循環(huán)除數(shù)。此外，如果質(zhì)數(shù)最小循環(huán)節(jié)的位數(shù)是偶數(shù)，其前半段和后半段兩數(shù)差1互補(bǔ)（如1÷7=0.142857，而142+857+1=1000），質(zhì)數(shù)全余除數(shù)都出現(xiàn)這種情況，此外還有1÷11，1÷73，1÷89，1÷101，1÷103等，但1÷（41×7）=0.003484320557491289198606271777，其最小循環(huán)節(jié)是三十位數(shù)雖然是偶數(shù)位數(shù)，但其前半段和后半段并非差1互補(bǔ)，其原因是（41×7）不是質(zhì)數(shù)。有些質(zhì)數(shù)的循環(huán)節(jié)雖然很短（如1÷37=0.027），但它的平方的最小循環(huán)節(jié)卻很長(zhǎng)（如1÷372的最小循環(huán)節(jié)竟達(dá)111位數(shù)）。

四、鍵盤里的奧妙

說來真巧，“37”并不是雙向除數(shù)，其倒數(shù)的最小循環(huán)節(jié)是三位數(shù)，從而它的最小被除環(huán)也是三位數(shù)，如果要求我們找出一個(gè)順逆排序都被“37”整除的二重被除環(huán)（即六位數(shù)組成的環(huán)），都很不容易?？墒请娮佑?jì)算器的鍵盤里九個(gè)數(shù)字所構(gòu)成的48個(gè)環(huán)順逆排序總共有480個(gè)六位數(shù)，都被“37”整除，這比國(guó)家著名科普作家談詳柏的《五環(huán)體現(xiàn)數(shù)學(xué)之美》要漂亮多了！

1.原位環(huán)

行環(huán)有（）（）（）；

列環(huán)有（）（）（）；

角環(huán)有（）（）；

行往返（）（）（）；

列往返（）（）（）；

角往返（）（）；

邊對(duì)頂（）（）；

角對(duì)頂（）（）。

2.異位環(huán)（即原位環(huán)上兩個(gè)余節(jié)上兩個(gè)對(duì)應(yīng)位調(diào)換數(shù)字）

因?yàn)樵画h(huán)都是二重雙向被整除環(huán)，環(huán)內(nèi)的六個(gè)數(shù)由兩個(gè)余節(jié)連接而成，根據(jù)“兩個(gè)余節(jié)上對(duì)應(yīng)位的兩數(shù)調(diào)換，其雙向整除性不變”。所以行環(huán)、列環(huán)、角環(huán)，每個(gè)環(huán)上又生出三個(gè)異位子環(huán)，如行外環(huán)（），其異位子環(huán)是（）（）（），往返環(huán)每個(gè)環(huán)又出一個(gè)異位子環(huán)，如左列往返環(huán)（），其異位子還是（）。這樣總共就有（4×8+2×8=48）四十八個(gè)環(huán)，（4×8×12+2×8×6=480）四百八十個(gè)數(shù)之多，它們都被“37”整除，真是天神一筆，結(jié)構(gòu)如此巧妙完密！另者，“13”的循環(huán)節(jié)是一個(gè)六位數(shù)，所以它的最小被除環(huán)也是一個(gè)六位數(shù)，行外環(huán)（）順時(shí)針排序所得的六個(gè)數(shù)，角環(huán)（）逆時(shí)針排序所得的六個(gè)數(shù)，也都被“13”整除，但這兩個(gè)環(huán)都是“13”的單向被整除環(huán)，不具有雙向性。前面所說的3、6、9和11、22、33、44、55、66、88、99這十一個(gè)數(shù)，它們是雙向除數(shù)，所以它們只有雙向被整除環(huán)或被盡除環(huán)，沒有單向被整除環(huán)或單向被盡除環(huán)。

五、雙向被整除環(huán)的求法及表達(dá)式

1.“37”的雙向被整除數(shù)的求法及表達(dá)式

被除環(huán)內(nèi)各數(shù)任一順逆排序除以同一個(gè)數(shù)，如果余數(shù)的最小循環(huán)節(jié)組成的環(huán)都相同，那么這個(gè)被除環(huán)就叫作某數(shù)的雙向被除環(huán)，如（）任一順逆排序除以“37”，其循環(huán)節(jié)是081或810或108，當(dāng)余數(shù)為零時(shí)，雙向被除環(huán)就變成雙向被整除環(huán)。任何一個(gè)質(zhì)數(shù)，都存在雙向被整除環(huán)?！?7”是一個(gè)三位循環(huán)節(jié)除數(shù)，它的最小被除環(huán)也是一個(gè)三位數(shù)。而對(duì)于1×37=37、2×37=74、3×37=111這三個(gè)積數(shù)，只有“111”這個(gè)數(shù)被“37”雙向整除，我們把這個(gè)雙向被整除的環(huán)“111”叫作最大母環(huán)，“37”只有一個(gè)雙向被整除的母環(huán)。母環(huán)通過倍乘，其積在運(yùn)算過程中如果沒有進(jìn)位、或進(jìn)位數(shù)也是“37”的雙向被整除數(shù)，這樣的積也被“37”雙向整除。如111×6=666、111×1234=136974（列外環(huán)）、111×7114=789654（行上環(huán)）、111×12=001332（前面補(bǔ)足零使之成為二重被除環(huán)），這些積都沒有進(jìn)位，因此它們組成的環(huán)都能被“37”雙向整除。又如111×197=021867、111×97=010767，其積的進(jìn)位數(shù)都是“111”，所以其積組成的被除環(huán)也都被“37”雙向整除。但111×19=002109，其積組成的被除環(huán)不能被“37”雙向被整除，原因是進(jìn)位數(shù)為“11”?？梢姡?7”的雙向被整除數(shù)的表達(dá)式為：

f111（37）=111n（n為自然數(shù)，積沒有進(jìn)位，或進(jìn)位數(shù)也是“37”的雙向被整除數(shù)）。

除此之外，任意兩個(gè)雙向被整除環(huán)連接或含節(jié)相加，如果沒有進(jìn)位或進(jìn)位數(shù)也被“37”雙向整除，那么連接或含節(jié)相加后所構(gòu)成的新的被除環(huán)，其雙向整除性不變。如+ =001320456和 + =457776654，其和構(gòu)成的被除環(huán)也被“37”雙向整除，但 +=1009656和+ =46488354不具有雙向整降性。原因是前者的進(jìn)位都是“111”，后進(jìn)的進(jìn)位分別是“11”和“1111”。

2.“41”的雙向整除數(shù)的求法及表達(dá)式

“41”是一個(gè)五位循環(huán)節(jié)除數(shù)，它的最小被除環(huán)也是一個(gè)五位數(shù)，對(duì)于“41”乘以一個(gè)自然數(shù)，其積不大于五位數(shù)“11111”的逆排序，也被“41”整除的數(shù)有下面各數(shù)：

41×16=656； 41×26=1066；

41×27=1107；41×161=6601；

41×171=7011； 41×187=7667；

41×188=7708 ；41×197=8077；

41×198=8118；41×261=10701；

41×271=11111。

而01066和06601、07708和08077、01107和07011及10701，這三者都是同一個(gè)被除環(huán)內(nèi)的順逆排序數(shù)，我們各取一個(gè)。那么上面十一個(gè)雙向被整除數(shù)就剩下五個(gè)：00656、01066、01107、08118、11111，此外7708可由（1107+6601）而得，7667可由（7011+656）而得，可見7708和7667是多余的，最后剩下五個(gè)。這些數(shù)所構(gòu)成的被除環(huán)都是“41”的雙向被整除環(huán)，我們把它們都叫作“41”的母環(huán)，其中“11111”是最大母環(huán)，于是“41”的雙向被整除數(shù)的表達(dá)式有：

（1）f11111（41）=11111n（n為自然數(shù)，積沒有進(jìn)位、或進(jìn)位數(shù)也是“41”的雙向被整除數(shù)）。

（2）f（41）=任意雙向被整除環(huán)內(nèi)任意順逆排序數(shù)連接。

（3）f（41）=任意雙向被整除環(huán)內(nèi)任意順逆排序節(jié)相加或含節(jié)相加（沒有進(jìn)位或進(jìn)位數(shù)也是“41”的雙向被整除數(shù)）。

除數(shù)“271”的母環(huán)只有一個(gè)“11111”，那么它的雙向被整除數(shù)的表達(dá)式為：

f11111（271）= f11111（41）

“37”和“271”都只有一個(gè)母環(huán)，分別為“111”和“11111”，其母環(huán)一定被其“37”和“271”雙向整除。“41”共有五個(gè)母環(huán)：00656、01066、01107、08118、11111，由不同母環(huán)的順逆排序數(shù)連接、相加或含節(jié)相加所得的數(shù)（沒有進(jìn)位或進(jìn)位數(shù)也是“41”的雙向被整除數(shù)），都能被其“41”雙向整除。

除了“3”，任何一個(gè)循環(huán)除數(shù)的最小被除環(huán)內(nèi)。各位上都是“1”的環(huán)一定是雙向被整除環(huán)。

至于其他循環(huán)除數(shù)，由于循環(huán)節(jié)很長(zhǎng)，我們可通過最大母環(huán)“11……1”倍乘，得到不同的雙向被整除數(shù)組成的各環(huán)，然后將這些環(huán)內(nèi)各順逆排序數(shù)任意連接、相加或含節(jié)相加（倍乘、相加或含節(jié)相加都不能進(jìn)位或進(jìn)位數(shù)也是雙向被整除數(shù)），其結(jié)果都是雙向被整除數(shù)。由此可以組成不同的雙向被整除環(huán)，這些環(huán)都是大于最大母環(huán)“11……1”的雙向被整除環(huán)。對(duì)于小于母環(huán)“11……1”的其他母環(huán)，尋找的難度就很大了，從而就無法全面體現(xiàn)表達(dá)所有的雙向被整除環(huán)。

討論：人們對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)實(shí)在是太少，往往只通過表面看它的現(xiàn)象，并不深入了解它內(nèi)在的本質(zhì)。循環(huán)除數(shù)“3”因?yàn)樗淖钚⊙h(huán)節(jié)和最小被除環(huán)都只是一位數(shù)，它的特征就很容易被人們發(fā)現(xiàn)，但為何有這種特征人們并不了解，然而其他循環(huán)除數(shù)也和“3”具有共同的特征，人們就不知道了。本文揭示了這種特征的秘密——這是和它的最小循環(huán)節(jié)相關(guān)的。然而人們又只知道某一循環(huán)除數(shù)的最小循環(huán)節(jié)，并不知道其最小被除環(huán)，這兩者是相關(guān)聯(lián)的。談祥柏的《五環(huán)體現(xiàn)數(shù)學(xué)之美》只把鍵盤當(dāng)作一種神奇寫出來，并未指出這是純循環(huán)除數(shù)的一種特征?，F(xiàn)在大家讀了本文就明白了，也就是循環(huán)除數(shù)存在雙向被整除環(huán)，從而出現(xiàn)了鍵盤上的神奇現(xiàn)象，這和“3”的特征又有何異？

六、結(jié)論

循環(huán)除數(shù)存在雙向被除環(huán)，所以都具有“3”和“9”的共同特征。不同之處在于，除了質(zhì)數(shù)“3”和質(zhì)數(shù)“11”是雙向除數(shù)，其他質(zhì)數(shù)都不是雙向除數(shù)。因?yàn)槠渌|(zhì)數(shù)的最小循環(huán)節(jié)的位數(shù)與其自身位數(shù)不相同。

（作者單位：海南省瓊海市華僑中學(xué)）