淺談數(shù)學(xué)教學(xué)需要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)

盧娟

【摘要】數(shù)學(xué)意識(shí)就是平常我們所說(shuō)的要有數(shù)學(xué)頭腦，就是對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的看法.本文從兩方面來(lái)談數(shù)學(xué)意識(shí).首先，說(shuō)明培養(yǎng)數(shù)學(xué)意識(shí)的重要性.數(shù)學(xué)意識(shí)是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)、改造客觀世界和發(fā)明創(chuàng)造必須具備的一個(gè)重要條件.在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，還要培養(yǎng)學(xué)生善于運(yùn)用數(shù)學(xué)意識(shí)去考慮問(wèn)題、處理問(wèn)題的能力.從學(xué)生發(fā)展的長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看這是很必要的.其次，談如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí).要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)，應(yīng)該培養(yǎng)好他們的推理意識(shí)、整體意識(shí)、抽象與概括的意識(shí)、運(yùn)動(dòng)變化的意識(shí)、化歸意識(shí)、審美意識(shí).

數(shù)學(xué)意識(shí)就是平常我們所說(shuō)的要有數(shù)學(xué)頭腦，就是對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的看法.要求我們能用數(shù)學(xué)思想、觀念、態(tài)度去觀察、解釋和表示事物的數(shù)量關(guān)系、空間形式和數(shù)據(jù)信息，以形成量化的意識(shí)和優(yōu)良的數(shù)感.

一、培養(yǎng)數(shù)學(xué)意識(shí)的重要性

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)是我們的一個(gè)很重要的教育目的，數(shù)學(xué)意識(shí)是每一個(gè)公民必須具備的素質(zhì)，我們這些從事數(shù)學(xué)教育工作的教師一個(gè)重要的任務(wù)就是要把的學(xué)生培養(yǎng)成具有強(qiáng)烈的數(shù)學(xué)意識(shí)的社會(huì)未來(lái)公民.數(shù)學(xué)意識(shí)是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)、改造客觀世界和發(fā)明創(chuàng)造必須具備的一個(gè)重要條件，如，歐拉的“七橋問(wèn)題”：18世紀(jì)，北歐的哥尼斯堡城有一條河，河有兩條支流，在城中心匯合后流入波羅的海，市內(nèi)有七座橋，連接島嶼和兩岸，如圖1所示.

當(dāng)時(shí)有人提出這樣一個(gè)問(wèn)題：能否從某地出發(fā)，經(jīng)過(guò)每一座橋一次且僅一次，然后返回出發(fā)地.一開(kāi)始，歐拉試圖用“窮舉法”，逐次實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)太困難，他想如果還是同樣問(wèn)題，橋更多，這種“窮舉法”顯然毫無(wú)實(shí)用價(jià)值，通過(guò)認(rèn)真地思索，他敏銳地發(fā)現(xiàn)，這個(gè)問(wèn)題與島的大小，路程的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，因此，歐拉把兩個(gè)島和河岸抽象為四個(gè)點(diǎn)，把七座橋抽象為七條線(xiàn)，如圖2所示.這樣“七橋問(wèn)題”便轉(zhuǎn)化為“一筆畫(huà)問(wèn)題”，于是問(wèn)題就不難解決了.從這個(gè)例子可以看出歐拉因?yàn)榫哂辛己玫臄?shù)學(xué)意識(shí)，才能拋開(kāi)活生生的生活原模型去掉非本質(zhì)屬性，抽象出本質(zhì)屬性建立數(shù)學(xué)模型，這樣就用很少的數(shù)學(xué)知識(shí)，解決了生活中的難題，這說(shuō)明數(shù)學(xué)意識(shí)是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一個(gè)必要條件，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，我們一直強(qiáng)調(diào)要培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，筆者認(rèn)為它不僅意味著解數(shù)學(xué)題的能力、將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)處理的能力，還應(yīng)該包括善于運(yùn)用數(shù)學(xué)意識(shí)去考慮問(wèn)題、處理問(wèn)題的能力.從中學(xué)生長(zhǎng)遠(yuǎn)的角度來(lái)考慮，具備后者往往比前者更為重要，更能在今后的生活、學(xué)習(xí)和工作中發(fā)揮作用.

二、如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)，應(yīng)該培養(yǎng)好他們的推理意識(shí)、整體意識(shí)、抽象與概括的意識(shí)、運(yùn)動(dòng)變化的意識(shí)、化歸意識(shí)、審美意識(shí).

（一）推理意識(shí)

所謂推理意識(shí)就是能由一個(gè)或幾個(gè)判斷推出另一個(gè)判斷的思維心理趨勢(shì).數(shù)學(xué)離不開(kāi)推理，這是因?yàn)樗季S離不開(kāi)推理，計(jì)算離不開(kāi)推理，證明更離不開(kāi)推理等等.著名美籍匈牙利數(shù)學(xué)教育家波利亞曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“嚴(yán)格的證明是數(shù)學(xué)的標(biāo)志，這是數(shù)學(xué)對(duì)于一般文化修養(yǎng)所提供的不可缺少的素養(yǎng)，一名學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)證明從未留下印象，那他就是缺少了一種基本的思維經(jīng)歷.”由此可以推知數(shù)學(xué)意識(shí)應(yīng)該是人們具備的素養(yǎng).我國(guó)著名數(shù)學(xué)家曹才翰教授也曾指出：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與其說(shuō)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，倒不如說(shuō)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維活動(dòng).”波利亞曾統(tǒng)計(jì)，學(xué)生畢業(yè)后研究數(shù)學(xué)和從事數(shù)學(xué)教育的占1%，使用數(shù)學(xué)的人占29%，基本不用數(shù)學(xué)的占70%.由此可知，數(shù)學(xué)知識(shí)本身對(duì)于大多數(shù)人來(lái)說(shuō)并不是絕對(duì)重要的，而數(shù)學(xué)意識(shí)卻影響一個(gè)人的一生，因此，我們要求：（1）要培養(yǎng)學(xué)生善于從原有知識(shí)推出新知識(shí)的能力；（2）要培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，及言之有理、言必有據(jù)的良好作風(fēng).

（二）整體意識(shí)

我們先從一則故事說(shuō)起：有三個(gè)人來(lái)砌墻，管理人員就問(wèn)這三個(gè)人如何砌墻而且砌什么墻，第一個(gè)人說(shuō)“砌磚”，第二個(gè)人說(shuō)“砌墻”，第三個(gè)人說(shuō)“砌房子”.結(jié)果，管理人員委托第三個(gè)人以重任，說(shuō)第三個(gè)人具有整體意識(shí).可見(jiàn)整體意識(shí)很重要.數(shù)學(xué)中的整體意識(shí)，就是全面地把局部知識(shí)和方法聯(lián)系起來(lái)，組成整體，融會(huì)貫通.比如，數(shù)學(xué)中的分類(lèi)法就是整體意識(shí)的典型例子.培養(yǎng)整體意識(shí)，不能僅強(qiáng)調(diào)一個(gè)整體，要會(huì)聯(lián)系，要處理好整體與局部的關(guān)系，就是由“點(diǎn)”到“面”連成一片形成一個(gè)結(jié)構(gòu)，這個(gè)結(jié)構(gòu)就是整體的骨架，弄清了結(jié)構(gòu)，也就弄清了整體.如“七橋問(wèn)題”，歐拉保留了島與橋及陸地的連接關(guān)系全貌，綜合了局部問(wèn)題的所有特點(diǎn)，從整體上把握了問(wèn)題的關(guān)鍵和實(shí)質(zhì)，抽象出點(diǎn)與線(xiàn)之間的連接.培養(yǎng)整體意識(shí)，就是要全面地看問(wèn)題，不要片面地對(duì)待問(wèn)題，防止以偏概全.

（三）抽象與概括的意識(shí)

抽象就是從紛繁復(fù)雜的事物現(xiàn)象中，去掉非本質(zhì)屬性，抽象出本質(zhì)屬性.抽象被認(rèn)為是數(shù)學(xué)的基本特性，因此，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，要注意區(qū)分主要因素和次要因素、本質(zhì)與表面現(xiàn)象，從而抓住實(shí)質(zhì)，解決問(wèn)題；自覺(jué)地把適當(dāng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，自覺(jué)地進(jìn)行抽象，建立數(shù)學(xué)模型.這意味著對(duì)事物的現(xiàn)象與結(jié)構(gòu)、事物之間和事物內(nèi)部元素之間的敏感，其中包括對(duì)數(shù)量及形狀的敏感，這樣才能解決問(wèn)題，如歐拉的“七橋問(wèn)題”.概括就是把若干事物的共同特性歸納出來(lái)進(jìn)行考察的方法，如，對(duì)秤、溫度計(jì)和標(biāo)尺的抽象概括，得到了數(shù)軸的概念，從而使數(shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.抽象與概括有密切聯(lián)系，不可分割，抽象是概括的基礎(chǔ)，概括是抽象的結(jié)果，數(shù)學(xué)中的每一個(gè)概念和原理都是先對(duì)一系列同類(lèi)對(duì)象的共同本質(zhì)屬性進(jìn)行抽象，然后加以概括而得到的.

（四）運(yùn)動(dòng)變化的意識(shí)

任何事物都是運(yùn)動(dòng)變化的，不是一成不變的，數(shù)學(xué)的研究對(duì)象也是如此.如，將平面問(wèn)題推廣到空間，常?？赏ㄟ^(guò)運(yùn)動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)；將一個(gè)角沿垂直于角所在平面的方向運(yùn)動(dòng)，角的頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是一條直線(xiàn)，角的每一條邊運(yùn)動(dòng)成一個(gè)半平面，這樣就得到一個(gè)二面角.這個(gè)角在運(yùn)動(dòng)中的每一瞬間位置都是這個(gè)二面角的平面角.此外我們?cè)谔幚韱?wèn)題時(shí)，要善于抓住靜止不變的量，不變的是事物的本質(zhì)，變化的是事物的表面現(xiàn)象，因此，我們要在變化中尋找不變量，抓住本質(zhì)，以不變應(yīng)萬(wàn)變.如，在學(xué)習(xí)三角形、多邊形時(shí)，一定要抓住三角形內(nèi)角和是π、多邊形的外角和是2π等不變量，才能學(xué)好數(shù)學(xué)，特別地，在解應(yīng)用題中能找出不變量，才能有效地進(jìn)行解題.

（五）化歸意識(shí)

它是數(shù)學(xué)所特有的方法，就是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的或易于解決的問(wèn)題.如，數(shù)學(xué)中的有限與無(wú)限，數(shù)與形，曲線(xiàn)與直線(xiàn)，空間與平面的相互化歸，可以解決許多難以解決的難題.建立化歸意識(shí)，可以幫助學(xué)生了解新與舊、未知與已知的聯(lián)系，了解解決問(wèn)題的途徑不是唯一的，從而提醒他們自覺(jué)地進(jìn)行聯(lián)想，調(diào)整思維方向，對(duì)解決問(wèn)題大有益處，同時(shí)對(duì)培養(yǎng)思維的靈活性起到強(qiáng)有力的作用.

（六）審美意識(shí)

物理學(xué)家開(kāi)普勒說(shuō)：“數(shù)學(xué)是這個(gè)世界之美的原型.”龐加萊說(shuō)：“沒(méi)有美感的人，不可能成為數(shù)學(xué)家.”“科學(xué)發(fā)明就是選擇，而選擇是靠美感來(lái)決定的.”這說(shuō)明數(shù)學(xué)美非常重要.它包括和諧美、簡(jiǎn)單美、奇異美等等.如，二次函數(shù)y=ax2（a≠0）就體現(xiàn)了一種簡(jiǎn)單美.用它可以描述自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律s=12gt2，又可以表達(dá)質(zhì)能公式E=mc2，還可以用來(lái)計(jì)算圓的面積S=πr2；通過(guò)二次函數(shù)的圖像，可以描繪拋擲一個(gè)小石頭的運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)，還可以刻畫(huà)浩瀚宇宙天體的運(yùn)動(dòng)軌跡.因此，教師要不斷地通過(guò)揭示數(shù)學(xué)中美的因素，做出美的示范，讓學(xué)生得到美的熏陶，理解美的真正含義，方能更好地去理解問(wèn)題.如，由橢圓本身具有的對(duì)稱(chēng)性，我們可以猜測(cè)它的方程在建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系以后，也應(yīng)具有“對(duì)稱(chēng)性”，因此，在推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，就不難理解令b2=a2-c2的道理，事實(shí)上b也具有幾何意義，以此達(dá)到“美”與“真”的結(jié)合.興趣是最好的老師，作為教師若能在教學(xué)的過(guò)程中揭示數(shù)學(xué)美，不僅可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還可以為學(xué)生更好地獲得知識(shí)，奠定良好的心理基礎(chǔ).

一個(gè)人具有良好的數(shù)學(xué)意識(shí)之后，那么他在工作中看問(wèn)題，就會(huì)從全局上把握，處理好整體與各個(gè)環(huán)節(jié)之間的聯(lián)系；能抓住問(wèn)題的關(guān)鍵，用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)對(duì)待問(wèn)題；能把不容易解決的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為易于解決的問(wèn)題；能有條不紊地有根有據(jù)地處理問(wèn)題；能在生活中發(fā)現(xiàn)美的因素，自我激發(fā)興趣以便更好地投入工作，提高自身的素質(zhì).