關(guān)于一次不定方程x1+x2+…+xm=n正整數(shù)解的新解法

李 高

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西 大同 037009)

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關(guān)于一次不定方程x1+x2+…+xm=n正整數(shù)解的新解法

李 高

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西 大同 037009)

目的 從不定方程x1+x2+…+xm=n的傳統(tǒng)與高等解法入手，探索尋覓新解法。方法 把不定方程的常數(shù)項(xiàng)n拆成n個(gè)1排成一列，在排成1列的空檔中巧妙利用組合及組合數(shù)的方法。結(jié)果 依據(jù)不定方程的自身特點(diǎn)，應(yīng)用初等數(shù)學(xué)組合的基礎(chǔ)知識(shí)即可尋得方程x1+x2+…+xm=n的正整數(shù)解以及解的個(gè)數(shù)的解法，與傳統(tǒng)列表枚舉法或高等的解法相比較，得到了獨(dú)特新穎解法。結(jié)論 不定方程獨(dú)特的新穎解法只用了組合數(shù)即可把問(wèn)題解決，它不僅打破了沿用至今的不定方程的煩瑣的傳統(tǒng)解法，避讓了高深的高等解法，而且在學(xué)習(xí)和應(yīng)用中給出了解決問(wèn)題的新思路。

不定方程;枚舉法;正整數(shù)解;獨(dú)特的新方法

1 不定方程正整數(shù)解的存在性

定理 當(dāng)n

特別地，當(dāng)n=m時(shí)，不定方程x1+x2+…+xm=n有且僅有一組正整數(shù)解，即

x1=x2=…=xm=1

2 求不定方程正整數(shù)解的常用方法

2.1 傳統(tǒng)解法

當(dāng)n>m，且n與m都不太大時(shí)，不定方程x1+x2+…+xm=n的正整數(shù)解一般采用列表枚舉法進(jìn)行求解。

例1 求x+y+z=5的正整數(shù)解。

表1 x+y+z=5的正整數(shù)解表

由表1的列表枚舉知，方程有6組正整數(shù)解。

當(dāng)n與m較大時(shí)，采用列表枚舉法顯得舉步維艱，難以求解。

2.2 高等解法

依據(jù)不定方程解的存在性定理可知，當(dāng)n≥m時(shí)，不定方程x1+x2+…+xm=n有正整數(shù)解[6-8]。

方程x1+x2+…+xm=0變形為xm=-x1-x2-…-xm-1

取x1=1,x2=x3=…=xm-1=0得xm=-1

取x2=1,x1=x3=x4=…=xm-1=0得xm=-1

MICA產(chǎn)品是浩亭響應(yīng)新興市場(chǎng)需求的創(chuàng)新，不僅是產(chǎn)品本身要適應(yīng)智能制造的需求，而是代表了數(shù)字化的大方向，也契合并響應(yīng)了中國(guó)制造2025，因?yàn)楣に嚵鞒虜?shù)字化正在變得日趨重要。中國(guó)制造2025最需要解決的難題是落地實(shí)現(xiàn)，MICA正好提供了很好的可視化管理實(shí)踐，可以幫助制造企業(yè)實(shí)現(xiàn)針對(duì)制造流程的監(jiān)控和可視化。烏弗·格拉夫（Uwe Graff）先生也坦言，“當(dāng)然，如果客戶需要一個(gè)完整的解決方案，一個(gè)MICA是不夠的，需要發(fā)展本地合作伙伴協(xié)同落地?！?/p>

…… …… ……

取xm-1=1,x1=x2=…=xm-2=0得xm=-1

所以基礎(chǔ)解系為

又原方程一特解

由非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)知，原方程的通解為

(x1,x2,…，xm)T=k1ζ1+k2ζ2+…+kmζm+ζ

然后選擇適當(dāng)k1,k2,…，km的取值，再利用枚舉法即得方程的解。

3 獨(dú)特的新方法

高等解法不失為一種行之有效的好方法，其解法借助于高等代數(shù)的理論知識(shí)比較高深。而當(dāng)n和m比較大時(shí)，傳統(tǒng)的枚舉法又顯得比較冗繁。

3.1 新穎獨(dú)特的方法

不定方程x1+x2+…+xm=n中的常數(shù)項(xiàng)n可看成是由n個(gè)排成1行的數(shù)1所組成的，即

n111…1

其中這n個(gè)1之間的空檔有n-1個(gè)，在這n-1個(gè)空檔中不重復(fù)地填加m-1個(gè)加號(hào)，把整數(shù)n分解成m個(gè)正整數(shù)，每一種放法對(duì)應(yīng)著方程唯一的一組解，即

n-1個(gè)空檔∧1∧1∧1∧…∧1

例2 100塊糖果，1個(gè)人每天至少吃1塊，至多吃100塊，問(wèn)有多少種吃法？

解 本例是上述新穎獨(dú)特解法的典型應(yīng)用，100塊糖果擺放成1行，中間有99個(gè)空檔，在這99個(gè)空檔中不放吃字，說(shuō)明1天吃完這些糖果，放1個(gè)吃字，說(shuō)明兩天吃完這些糖果，不重復(fù)地放2個(gè)吃字，說(shuō)明3天吃完這些糖果，依此不重復(fù)地放3個(gè)、4個(gè)直至放滿99個(gè)吃字，就是4天、5天直至100天吃完。

3.2 推廣

系數(shù)k1,k2,…，km為正整數(shù)的不定方程

k1x1+k2x2+…+kmxm=n

x1有k1個(gè)，x2有k2個(gè)，…，xm有km個(gè)，則此時(shí)方程可以認(rèn)為是含有k1+k2+…+km個(gè)未知數(shù)的不定方程。

當(dāng)k1+k2+…+km>n時(shí)，方程沒(méi)有正整數(shù)解；當(dāng)k1+k2+…+km≤n時(shí)，方程有正整數(shù)解。

若方程有正整數(shù)解，在這n-1個(gè)空檔中不重復(fù)地填加k1+k2+…+km-1個(gè)加號(hào)，把正整數(shù)n分解成k1+k2+…+km個(gè)正整數(shù)，每一種放法就對(duì)應(yīng)著方程唯一的一組解。

4 結(jié) 論

思路的產(chǎn)生往往是直覺(jué)的，受到問(wèn)題中或明或暗的有用信息的刺激，憑借感知對(duì)解題思路做出猜想和設(shè)想，深入探索，才能盡快發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決的途徑。求不定方程x1+x2+…+xm=n正整數(shù)解的獨(dú)特的新穎解法就是在這樣的環(huán)境狀態(tài)下發(fā)現(xiàn)的，它只用了組合數(shù)即可把問(wèn)題解決。它不僅打破了沿用至今的解不定方程的枚舉法，避棄了煩瑣的傳統(tǒng)解法，避讓了高深的高等解法，而且在學(xué)習(xí)和應(yīng)用時(shí)給出解決問(wèn)題的思維方式和思路。

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2012:29-53,111-112,128-134.

[2]吳傳生,王衛(wèi)華.線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2004:39-58,142-145.

[3]常秀芳，李高.伯努利方程的幾種新解法[J].雁北師范學(xué)院學(xué)報(bào),2007,23(02):89-91.

[4]常秀芳.不定方程x2+y2+z2=2(xy+yz+xz)的解及其性質(zhì)[J].河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2016,32(09):4-7.

[5]李高，常秀芳.二階變系數(shù)線性微分方程及其衍生方程[J].河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2011,27(05)：13-15.

[6]李高，常秀芳.關(guān)于二階變系數(shù)線性微分方程求解法的研究[J].河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2010,26(06)：12-14+19.

[7]李高，李殊璇，常秀芳.二階變系數(shù)線性微分方程可解的研究[J].河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013,29(02)：1-2+21.

[8]常秀芳，李高.Taylor冪級(jí)數(shù)直接展開(kāi)的新方法[J].河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013,29(05)：1-3.

[責(zé)任編輯：劉志媛 英文編輯：劉彥哲]

A New Solution to Positive Integer Solution of Indefinite Equationx1+x2+…+xm=n

LI Gao

(School of Mathematical and Computer Science，Shanxi Datong University,Datong，Shanxi,037009，China)

Objective Based on the traditional and higher solutions of indefinite equationx1+x2+…+xm=nto explore a new solution.Methods The constantnof an indefinite equation is separated intonnumber 1 in a line and in the space of the numbers the combination and its combined numbers are used.Results According to the characteristics of indefinite equationx1+x2+…+xm=n,elementary mathematics knowledge of combination is used to find out the solution of the positive integer solution and the number of solutions;Compared with the traditional enumeration method or advanced solution,a unique and novel solution is obtained.Conclusion The novel solution of indefinite equation can solve the problem only with combination number,which not only breaks the still used traditional method,abandons cumbersome traditional method,but also avoids higher solutions advanced.The new method gives the way of thinking in the study and application,which is thought-provoking.

indefinite equation;enumeration method;positive integer solution;a new unique method

山西大同大學(xué)教學(xué)改革資金資助項(xiàng)目(XJY2013211)

李高(1965-)，男，山西天鎮(zhèn)人，副教授，研究方向：大學(xué)工科數(shù)學(xué)教育教學(xué)。

O

A

10.3969/j.issn.1673-1492.2017.09.005

來(lái)稿日期：2016-11-03