借力“會(huì)算”、“巧算”,處理選擇題

陜西省西安市臨潼區(qū)馬額中學(xué)(710609) 童永奇

借力“會(huì)算”、“巧算”,處理選擇題

陜西省西安市臨潼區(qū)馬額中學(xué)(710609) 童永奇

高考數(shù)學(xué)選擇題一般屬于容易題和中檔題,個(gè)別題屬于較難題,它的分值占全卷的40%.解選擇題的快慢和成功率的高低對(duì)于能否使學(xué)生進(jìn)入最佳狀態(tài),以至于使整個(gè)考試成功與否起著舉足輕重的作用.解答數(shù)學(xué)選擇題的基本要求是:準(zhǔn)確、迅速、靈活;基本原則是:小題巧解,小題小做.基于此,本文著重說明求解選擇題的兩個(gè)常用解題策略—力求“會(huì)算”、“巧算”,以幫助讀者拓寬解題思維,進(jìn)一步提高分析、解決此類問題的實(shí)際能力.

策略一、力求“會(huì)算”

求解數(shù)學(xué)中的選擇題,最基本、最常用的解題策略就是將之看作解答題,要求學(xué)生能夠?qū)⑺鶎W(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法在解題中加以靈活、綜合運(yùn)用,簡(jiǎn)言之,就是要求學(xué)生“會(huì)算”.

1.掌握基本知識(shí),加強(qiáng)“會(huì)算”

評(píng)注遇到與指數(shù)式、對(duì)數(shù)式有關(guān)的比較大小問題時(shí),需要關(guān)注指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性在解題中的靈活運(yùn)用.此外,要注意特殊數(shù)字“0”、“1”等在比較大小中的橋梁作用.

牛刀小試1設(shè)集合A={(x,y)|y=2x+1,x,y∈R},B={(x,y)|x2+(y?a)2=5,x,y∈R},若集合A∩B恰有2個(gè)子集,則實(shí)數(shù)a=( )

A.4或6 B.4或?6 C.6或?4 D.?4或?6

2.掌握常用技巧,加強(qiáng)“會(huì)算”

評(píng)注本題主要考查三角恒等變換以及三角函數(shù)的單調(diào)性.方法一側(cè)重于“弦變切”加以靈活處理;方法二側(cè)重于“切變弦”加以靈活處理.本題作為選擇題,最簡(jiǎn)單的解法就是利用“排除法”:取故檢驗(yàn)各選項(xiàng)可知只能選B.

牛刀小試2 已知 tanθ=2,則 sin2θ+sinθcosθ?2cos2θ=( )

3.掌握常用方法,加強(qiáng)“會(huì)算”

例3已知函數(shù)f(x)=x2?2(a+2)x+a2,g(x)=?x2+2(a?2)x?a2+8,H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)},max{p,q}表示p,q中的較大值,min{p,q}表示p,q中的較小值,記H1(x)的最小值為A,H2(x)的最大值為B,則A?B=()

A.a2?2a?16 B.a2+2a?16

C.?16 D.16

解析由題設(shè)易知f(x)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(a+2,?4a?4),g(x)頂點(diǎn)坐標(biāo)(a?2,?4a+12),并且每個(gè)函數(shù)的頂點(diǎn)都在另一個(gè)函數(shù)的圖象上,如下圖所示.顯然,A、B分別為兩個(gè)二次函數(shù)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo),所以A?B=(?4a?4)?(?4a+12)=?16.故選C.

評(píng)注本題是一個(gè)比較典型的類型,屬于考查多元“誰大誰小”類函數(shù)最值問題,對(duì)學(xué)生“畫圖”、“用圖”分析、解決問題的實(shí)際能力的考查比較深刻.

圖1

牛刀小試3 已知偶函數(shù)y=f(x),x∈R滿足f(x+1)=?f(x),且當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=1?x2.若函數(shù)則當(dāng)x∈[?3,4]時(shí),函數(shù)y=f(x)?g(x)的零點(diǎn)共有( )

A.4個(gè) B. 5個(gè) C. 6個(gè) D. 7個(gè)

策略二、力求“巧算”

由于數(shù)學(xué)中的選擇題具有“四選一”的特點(diǎn),且不需要給出完整、具體的解題過程,而只需要給出正確的選項(xiàng)即可,所以我們可以考慮這些因素,努力學(xué)會(huì)“巧算”.

1.借助特例,學(xué)會(huì)“巧算”

例4 如圖,質(zhì)點(diǎn)P在半徑為2的圓周上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng),其初始位置為角速度為1,那么點(diǎn)P到x軸距離d關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)圖象大致為( )

圖2

解析本題涉及質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),可以結(jié)合質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的特殊位置與函數(shù)圖象之間的聯(lián)系來確定選項(xiàng).當(dāng)t=0時(shí),點(diǎn)P到x軸的距離為排除A,D;由角速度為1知,當(dāng)時(shí),點(diǎn)P在x軸上,即點(diǎn)P到x軸的距離為0,排除B,故選C.

評(píng)注一般地,要說明結(jié)論正確,則必須給出證明;要說明結(jié)論錯(cuò)誤,則只需找到一個(gè)反例即可.

牛刀小試4 設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù),則對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y,有( )

2.借助畫圖,學(xué)會(huì)“巧算”

圖3

牛刀小試5已知一元二次不等式f(x)＜0的解集為則f(10x)＞0的解集為( )

A.{x|x＜?1或x＞lg2}B.{x|?1＜x＜lg2}

C.{x|x＜lg2}D.{x|x＞?lg2}

3.借助規(guī)律,學(xué)會(huì)“巧算”

例6已知橢圓的右焦點(diǎn)為F(3,0),過點(diǎn)F的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,?1),則E的方程為( )

綜上,關(guān)注數(shù)學(xué)選擇題的常用解題策略,有利于從理論上指導(dǎo)解題實(shí)踐,有利于不斷積累解題經(jīng)驗(yàn),逐步提升解題技能.

附:牛刀小試參考答案

1.C.解析:集合A∩B恰有2個(gè)子集,即集合A∩B中恰有1個(gè)元素,亦即直線2x?y+1=0和圓x2+(y?a)2=5相切.從而,由可得a=6或?4.

2.D.解析:因?yàn)?/p>

故選D.

3.B.解析:因?yàn)閒(x+1)=?f(x),所以f(x+2)=?f(x+1)=?[?f(x)]=f(x),所以函數(shù)f(x)的周期為2.如圖,畫出函數(shù)f(x)與g(x)的圖象,由圖可知兩圖象在[?3,4]內(nèi)共有2+3=5個(gè)交點(diǎn).故當(dāng)x∈[?3,4]時(shí),函數(shù)y=f(x)?g(x)的零點(diǎn)共有5個(gè).

圖4

4.D.解析:取x=1.2,則因?yàn)?[?x]=?2,?[x]=?1,所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

取x=1.5,則因?yàn)閇2x]=3,2[x]=2,所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

取x=1.2,y=1.8,則因?yàn)閇x+y]=3,[x]+[y]=1+1=2,所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

綜上,由排除法即知應(yīng)選D.

圖5