圓方之間—橢圓與長(zhǎng)方形

天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)(300222) 閆曉玲

圓方之間—橢圓與長(zhǎng)方形

天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)(300222) 閆曉玲

給出了橢圓的一種描點(diǎn)作圖方法,并證明了橢圓上任一點(diǎn)與軸的兩端點(diǎn)的連線及連線的延長(zhǎng)線截軸和外切長(zhǎng)方形邊所得的對(duì)應(yīng)線段比等于對(duì)應(yīng)的兩軸比.特殊情況下截點(diǎn)是各自線段上相同等分的對(duì)應(yīng)分點(diǎn).

橢圓 長(zhǎng)方形n等分 對(duì)應(yīng)分點(diǎn) 定比分點(diǎn)

我們知道橢圓是有邊界的,分別以橢圓的長(zhǎng)軸、短軸為長(zhǎng)、寬的長(zhǎng)方形就是它的范圍.即對(duì)橢圓而言,它上任一點(diǎn)(x,y)的坐標(biāo)滿足|x|≤a,|y|≤b.并且我們利用這個(gè)長(zhǎng)方形可以大致畫(huà)出橢圓的草圖.事實(shí)上這個(gè)橢圓草圖可以畫(huà)得更規(guī)范點(diǎn).

一、由已知長(zhǎng)方形描繪其內(nèi)接橢圓的草圖

已知長(zhǎng)方形ABCD,長(zhǎng)、寬分別為 2a、2b,E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA上的中點(diǎn),連接EG、HF,兩線交于點(diǎn)O,如圖1所示.將OF四等分,分點(diǎn)記為R、S、T;將CF四等分,分點(diǎn)記為R′、S′、T′.連接ER并延長(zhǎng)、連接GR′,兩線交于點(diǎn)L;連接ES、GS′,得交點(diǎn)M;連結(jié)ET、GT′,得交點(diǎn)N.用弧線順次連結(jié)G、L、M、N、F,得到的橢圓,如圖1.

圖1

圖2

圖3

可以預(yù)期,隨著等分點(diǎn)的增多,構(gòu)成橢圓的點(diǎn)也在增多,畫(huà)出的橢圓越精確.論證如下.

二、做法的依據(jù)

命題1長(zhǎng)方形一組對(duì)邊的中點(diǎn)與另一組對(duì)邊中點(diǎn)連線的一半及另一組對(duì)邊的一半的對(duì)應(yīng)n等分點(diǎn)的連線的交點(diǎn),在以長(zhǎng)方形長(zhǎng)、寬為長(zhǎng)、短軸的橢圓上.

證明已知長(zhǎng)方形ABCD,長(zhǎng)、寬分別為2a、2b,建立如圖4所示的直角坐標(biāo)系.將OF、CF分別n等分,記OF的第m個(gè)分點(diǎn)為S,CF的第m個(gè)分點(diǎn)為S′.連接ES并延長(zhǎng),連接GS′,兩線交于點(diǎn)M.則由四點(diǎn)的坐標(biāo)得直線ES和GS′的方程分別為

圖4

聯(lián)立以上兩個(gè)方程,解之得

因此,長(zhǎng)方形一組對(duì)邊的中點(diǎn)(如E、G)與另一組對(duì)邊中點(diǎn)連線的一半(如OF)及另一組對(duì)邊的一半(如CF)的對(duì)應(yīng)n等分點(diǎn) (如S、S′)的連線如 (ES、GS′)的交點(diǎn) (如M),在以長(zhǎng)方形長(zhǎng)、寬為長(zhǎng)、短軸的橢圓

以上從長(zhǎng)方形出發(fā),采用將相關(guān)線段等分的方法得到橢圓上的若干個(gè)點(diǎn),這些點(diǎn)形成橢圓的輪廓;但是,這種方法是否可以得到橢圓上所有的點(diǎn),或者說(shuō)由橢圓上的任意一點(diǎn)出發(fā),采用上述方法的逆過(guò)程是否可以在長(zhǎng)方形相應(yīng)線段上還原出相應(yīng)的等分點(diǎn)?以下對(duì)這個(gè)問(wèn)題做稍微深入的討論.

三、位于橢圓上的點(diǎn)的一種刻畫(huà)

命題2橢圓上任一點(diǎn)與某軸的兩端點(diǎn)的連線及連線的延長(zhǎng)線,截軸和外切長(zhǎng)方形的邊,所得對(duì)應(yīng)線段之比等于對(duì)應(yīng)兩軸之比.(如圖5所示,若L在橢圓上,則有.)

證明建立如圖5所示的直角坐標(biāo)系.

圖5

橢圓的長(zhǎng)軸HF=2a,短軸EG=2b,分別過(guò)E、F、G、H作坐標(biāo)軸的平行線,四線交于B、C、D、A.則四邊形ABCD是長(zhǎng)、寬分別為2a,2b的橢圓外切長(zhǎng)方形.在橢圓上任取一點(diǎn)L,連接EL交OF于R,連接GL并延長(zhǎng)交CF于R′.設(shè)直線ER的斜率為k,則它的方程為y=kx?b.聯(lián)立方程組

由此可見(jiàn),利用將相關(guān)線段等分的方法得到的是橢圓上的部分點(diǎn)而非全部,因此,橢圓上任意點(diǎn)采用上述方法的逆過(guò)程在長(zhǎng)方形相應(yīng)線段上得到的點(diǎn)也不全是等分點(diǎn).

按照從特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律,本文首先給出了在四等分的基礎(chǔ)上描點(diǎn)畫(huà)出橢圓的方法,然后把這種方法推廣到任意等分的情況,最后證明了橢圓上任一點(diǎn)與軸的兩端點(diǎn)連線及連線的延長(zhǎng)線截軸和外切長(zhǎng)方形的邊所得的對(duì)應(yīng)線段之比等于對(duì)應(yīng)的兩軸之比.

我們把上述論證敘述為:長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)M(x,y),EM交OF于S,GM的延長(zhǎng)線交CF于S′,若是定值,則點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓(圖4).長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng),長(zhǎng)方形的寬是橢圓的短軸長(zhǎng),長(zhǎng)方形的中心即為橢圓的中心.

[1]劉紹學(xué)主編,普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū),數(shù)學(xué)選修2-1[M],北京:人民教育出版社,2010.