得“魚”不忘“漁”方為教學(xué)正道

廈門大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)(363123) 林秋林

得“魚”不忘“漁”方為教學(xué)正道

廈門大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)(363123) 林秋林

數(shù)學(xué)的新課程標(biāo)準(zhǔn)認(rèn)為:學(xué)生應(yīng)“經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動,發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力”.由此可見,“證明”是發(fā)展數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)的重要方式之一.在高中數(shù)學(xué)的日常教學(xué)中,公式和定理的證明教學(xué)是實(shí)施這一目標(biāo)的重要載體,但由于不少教師只重視公式和定理結(jié)論的應(yīng)用教學(xué),把課堂主要時間都花在講解定理應(yīng)用的例題上,卻對公式和定理的證明教學(xué)簡單帶過.由于受教師的影響,不少學(xué)生頭腦里往往也只留下公式、定理的外殼,忽視它們的來龍去脈,不明確它們運(yùn)用的條件和范圍,導(dǎo)致這些學(xué)生只會“死記硬背,生搬硬套”.以下筆者結(jié)合自己的經(jīng)歷談?wù)勼w會,愿與大家共同探討.

1.問題的提出

在高三第一輪復(fù)習(xí)中,當(dāng)復(fù)習(xí)到平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示時,有學(xué)生隨口問到:老師,數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式是怎么得到的?筆者一愣,反問他:“高一時不是有證明過嗎?而且課本上也有證明過程的,想起來了嗎?”該學(xué)生搖搖頭,筆者再看班上其他學(xué)生,也多是一臉茫然.一問果然都忘記了,筆者不得不將其再推導(dǎo)一遍,大家這才釋然.下課后筆者找了幾個學(xué)習(xí)較好的學(xué)生了解了一下,才知道學(xué)生們忘記掉這個公式的證明,一是因?yàn)楦咭粫r數(shù)學(xué)老師并沒強(qiáng)調(diào)證明的重要性,課后也就只記住了應(yīng)用;二是復(fù)習(xí)用書上只給出了結(jié)論,他們懶于再去翻找課本尋求答案.而且多數(shù)學(xué)生覺得只需要記住結(jié)論,懂得應(yīng)用就可以了,弄清楚怎么證明只是浪費(fèi)時間,所以大家從一開始就不放在心上,自然到復(fù)習(xí)時也就都想不起來了.

2.問題的思考

課后,筆者反問自己:如果只記住平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,而不會證明它,會對解題有影響嗎?畢竟在全國卷及各省市的高考卷中,還從沒有出現(xiàn)過與平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式的證明有關(guān)的題型.這樣看來,會不會證明這個表達(dá)式似乎不重要.但如果翻看文[1],會發(fā)現(xiàn)[1]中對于平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式的復(fù)習(xí)要求是:掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.而對于“掌握”一詞,[1]中是這樣解釋的:要求能夠?qū)λ兄R內(nèi)容進(jìn)行推導(dǎo)證明,能夠利用所學(xué)知識對問題進(jìn)行分析、研究、討論,并且加以解決.可見對于數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式的推導(dǎo)證明是有要求學(xué)生掌握的.

事實(shí)上,教材中所指的向量坐標(biāo)是在直角坐標(biāo)系內(nèi),分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底所表示出來的坐標(biāo).平?？荚囍杏玫降南蛄康淖鴺?biāo)運(yùn)算都是在這種情況下進(jìn)行的.但假設(shè)基底的條件發(fā)生改變了,學(xué)生們所記的公式就失效了,有的同學(xué)便束手無策.通過下面的例題可見一斑.

例1. 如圖1,設(shè)Ox、Oy是平面內(nèi)相交成60°角的兩條數(shù)軸,e1,e2分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量.若向量則把有序數(shù)對(x,y)叫做向量在坐標(biāo)系xOy中的斜坐標(biāo).若P點(diǎn)的斜坐標(biāo)為(3,2),則P點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離

圖1

例1改編自[2]中第102頁習(xí)題4.筆者利用其對兩個班的90名學(xué)生進(jìn)行課堂訓(xùn)練.結(jié)果在有限的時間內(nèi),正確率不到50%.有的學(xué)生還是利用向量模長的坐標(biāo)公式去計算,而忽視了此時的基底已經(jīng)改變了,因而得到錯解.由此筆者認(rèn)為平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式的證明過程在平常解題中雖然用處不大,但其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法不容忽視,甚至比結(jié)論本身還重要.“結(jié)論是如何得來的?”這個問題應(yīng)該是學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)知識時思維的依托,沒有這個依托,知識的識記和運(yùn)用就缺失了堅實(shí)的基礎(chǔ),知識就變成了孤立的“點(diǎn)”,缺乏建構(gòu)性,因而就無法融會貫通.因此,讓學(xué)生體驗(yàn)知識的形成過程以及掌握其形成過程就變得尤為重要.

文[1]中的考試內(nèi)容及要求還出現(xiàn)了很多“掌握”、“會推導(dǎo)”及“能夠證明”等描述,可見公式和定理的推導(dǎo)證明是本就要求受到重視的.經(jīng)過認(rèn)真研讀文[1],筆者及時反思自己的教學(xué)觀念和復(fù)習(xí)方式.在之后的復(fù)習(xí)中筆者也更加重視公式和定理的證明及推導(dǎo).現(xiàn)在的高中數(shù)學(xué)教學(xué)過于側(cè)重公式和定理的應(yīng)用,而經(jīng)常忽視公式和定理的探究和推導(dǎo)過程,造成的后果就是學(xué)生往往知其然,不知其所以然.這在之前其實(shí)也沒引起什么異議,因?yàn)楦呖紨?shù)學(xué)命題原則上不會出現(xiàn)教材原題,更別說公式和定理的證明了.但2010年的四川高考數(shù)學(xué)文理科試卷卻帶給了大家一番沖擊:

例2.(2010四川高考)(I)①證明兩角和的余弦公式Cα+β:cos(α+β)=cosαcosβ?sinαsinβ;

②由Cα+β推導(dǎo)兩角和的正弦公式Sα+β:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.

緊接著,又一番沖擊到來.2011年高考數(shù)學(xué)陜西卷文、理試卷中均出現(xiàn)一道解答題,題目是“敘述并證明余弦定理”,頓時讓人眼前一亮,無數(shù)人為之叫好.但同時反應(yīng)出來的問題也不能讓人忽視,就是這么一道沒人稱之為難題的題,得分情況卻不盡如人意.而接下來幾年陜西省的高考數(shù)學(xué)卷依舊沒讓人失望:

例3.(2012陜西高考理)(1)如圖2,證明命題“a是平面π內(nèi)的一條直線,b是π外的一條直線(b不垂直于π),c是直線b在π上的投影,若a⊥b,則a⊥c”為真.

圖2

(2)寫出上述命題的逆命題,并判斷其真假(不需要證明).

例4.(2013陜西高考)(理)設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列.

(I)推導(dǎo){an}的前n項和公式;

(II)設(shè)q≠1,證明數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列

(文)設(shè)Sn表示數(shù)列{an}的前n項和.

(I)若{an}是等差數(shù)列,推導(dǎo)Sn的計算公式;

(II)若a1= 1,q≠0,且對所有的正整數(shù)n,有判斷{an}是否為等比數(shù)列,并證明你的結(jié)論.

之后從2014起,人們發(fā)現(xiàn)已找不到類似的能讓人拍案叫絕的高考題了.個別省份也有著明確規(guī)定:試題可以是取材于教材或課外參考資料中經(jīng)過實(shí)質(zhì)性改造后的問題,但切忌照搬任何教材或課外參考資料的原題或未經(jīng)實(shí)質(zhì)性改造過的題目.再加上從2016年起全國大部分省份又陸續(xù)回歸了全國卷,可以想象到的是高考全國卷中也不會出現(xiàn)公式或定理的證明了,但筆者認(rèn)為這并不意味著就可以不用重視公式定理的證明及推導(dǎo),或許下面的例5可以帶給我們一些啟示.

例5.(2015四川高考理)如圖3,A,B,C,D為平面四邊形ABCD的四個內(nèi)角.

(2)若A+C=180,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求的值.

圖3

這道題的第(1)問出自[2]第142頁習(xí)題1.從中可以看到,即使高考不再考查公式或定理的證明,但假如學(xué)生們擁有對這些公式或定理的自我推導(dǎo)能力,那么他們對類似的經(jīng)過實(shí)質(zhì)性改造過的題目應(yīng)該也不會發(fā)怵.

3.問題的影響

以上這些高考試題的出現(xiàn),恰恰擊中了以往高中數(shù)學(xué)教學(xué)的軟肋.筆者當(dāng)年第一次帶高三畢業(yè)班,在高三復(fù)習(xí)時,就是追隨其他老教師的復(fù)習(xí)思路,即先復(fù)習(xí)公式定理,然后講題、解題,以公式和定理的應(yīng)用為主,對于公式和定理的推導(dǎo)過程則幾乎完全忽略.直到有一次講評月考試卷時碰到下面的一道題:

例6.設(shè)函數(shù)利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式的分析方法,可求得

這道題當(dāng)時竟然有不少同學(xué)做錯,經(jīng)過了解才知道他們高一時不重視公式的推導(dǎo),復(fù)習(xí)時也只記住了等差數(shù)列前n項和公式,而不關(guān)心這個公式是怎么推導(dǎo)出來的,考試時完全想不起來,最后只能無奈放棄了.原本只是一道考查倒序相加法的中檔題,對于高三學(xué)生來說應(yīng)該難度不大,但沒想到結(jié)果卻差強(qiáng)人意.筆者當(dāng)時也很懊悔,講評時也針對這道題重新強(qiáng)調(diào)了等差和等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式的推導(dǎo).古人常說:授人以魚,只供一飯只需;授人以漁,則終身受用無窮.可是有的時候老師恰恰忽視了“漁”,只希望學(xué)生能得到“魚”即可,所以學(xué)生也就只伸手接“魚”而不管“漁”.這在某種程度上使學(xué)生產(chǎn)生惰性,更不愿去思考公式或定理成立的個中原因,而只愿意在一些解題方法解題技巧上苦下功夫,這樣根本無助于學(xué)生真正掌握數(shù)學(xué)知識,無助于學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).而且如果高考中一旦出現(xiàn)與公式或定理有關(guān)的改編題,這些學(xué)生就會束手無措,無計可施,這并不是我們老師想看到的后果.更何況這很有可能導(dǎo)致惡性循環(huán),因?yàn)橛泻芏嗟膶W(xué)生在將來大學(xué)畢業(yè)后也會走上教育崗位,從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作,而他們只會將這種忽視公式或定理的推導(dǎo)證明的教學(xué)思路繼續(xù)傳遞下去.這里文[3]中提到的一個現(xiàn)象值得大家注意:

江蘇省無錫市年輕教師教學(xué)基本功大賽第一輪解題比賽,有一道源自教材的試題“向量共線定理的證明”,這是一道推理證明題.答卷反饋情況為:27位選手中僅40%得滿分,約40%的選手得一半分,約20%的選手不得分.錯誤主要表現(xiàn)為:對教材不熟悉,邏輯關(guān)系模糊,出現(xiàn)循環(huán)論證.

4.問題的解決

這個現(xiàn)象不禁讓人深思.作為教師本應(yīng)授人以“漁”,但如果連自己都不會“漁”,何以授人呢?文[3]中指出:“初中的課標(biāo)和教材淡化了幾何證明的要求,降低了代數(shù)運(yùn)算的要求.對于剛進(jìn)入高一的學(xué)生,已經(jīng)習(xí)慣于初中的直觀、感性學(xué)習(xí)新知,給推理證明的教學(xué)帶來了一定的困難;高二雖在選修教材中有《推理與證明》一章,但一些學(xué)校重視不夠;到了高三復(fù)習(xí),再來強(qiáng)化多字母和抽象函數(shù)的推理綜合訓(xùn)練,學(xué)生當(dāng)然難以接受.因此,在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,對學(xué)生加強(qiáng)推理證明的訓(xùn)練具有十分重要的作用”.

高考不僅考查基礎(chǔ)知識,還注重考查能力,其中能力就包括推理論證能力.推理論證能力是指根據(jù)已知的事實(shí)和已獲得的正確數(shù)學(xué)命題,論證某一數(shù)學(xué)命題真實(shí)性的初步的推理能力.公式和定理是高中數(shù)學(xué)知識體系的重要組成部分,是數(shù)學(xué)推理論證的重要依據(jù).因此對學(xué)生加強(qiáng)推理論證能力的訓(xùn)練就必須從公式或定理的推導(dǎo)證明抓起,要讓學(xué)生明白推導(dǎo)證明過程的重要性.事實(shí)上,當(dāng)學(xué)生們能夠把公式定理的推導(dǎo)證明做到得心應(yīng)手時,也即領(lǐng)會了數(shù)學(xué)知識的本質(zhì),對于它們的應(yīng)用及變式則更加不在話下了.例如下題:

例7. (2015江蘇高考理)設(shè)a1,a2,a3,a4是各項為正數(shù)且公差為d(d≠0)的等差數(shù)列.

(1)證明:2a1,2a2,2a3,2a4依次構(gòu)成等比數(shù)列;

(2)是否存在a1,d,使得依次構(gòu)成等比數(shù)列?并說明理由;

(3)是否存在a1,d及正整數(shù)n,k,使得依次構(gòu)成等比數(shù)列?并說明理由.

筆者認(rèn)為,在學(xué)習(xí)過程中讓學(xué)生經(jīng)歷公式定理是如何被發(fā)現(xiàn)的,結(jié)論是如何得到的,能夠讓學(xué)生更加主動地建構(gòu)自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu),充分釋放自己的潛能,感受學(xué)習(xí)的樂趣.這樣不僅使學(xué)生提高了分析問題、解決問題的能力,而且有助于發(fā)展他們的思維能力,提高學(xué)習(xí)效率.筆者目前很重視對學(xué)生這方面的要求,在課堂教學(xué)時經(jīng)常把某些公式、定理的證明作為作業(yè)對學(xué)生進(jìn)行強(qiáng)化,目前反映出來的效果不錯.例如,由于文[1]中對“線面、面面平行及垂直的性質(zhì)定理”有明文要求:理解以下性質(zhì)定理,并能夠證明,因此筆者在教學(xué)立體幾何時,不時通過作業(yè)、課堂提問等形式考察學(xué)生們對幾個性質(zhì)定理甚至判定定理證明的掌握情況.也由于筆者的重視,引起學(xué)生的重視.而之后的幾次考試中立體幾何證明題的解題情況相對其他班好上不少,這也讓學(xué)生感覺很有成就感,于是他們更加有興趣,在自主復(fù)習(xí)時都會注重公式和定理的推導(dǎo)過程,讓筆者頗感欣慰.

要轉(zhuǎn)變大家不重視“漁”的普遍觀念,是一項長期且艱巨的工作.但只要教師從自身做起,重視公式和定理的推導(dǎo)過程,培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力,從一點(diǎn)一滴抓起,必將有利于學(xué)生整體數(shù)學(xué)素質(zhì)的不斷提高,更加有利于新課程改革的不斷發(fā)展.也因此,筆者認(rèn)為:得“魚”不忘“漁”方為正道.

[1]2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱及其說明(理科)[S].高等教育出版社,2017.

[2]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書:數(shù)學(xué)4(必修)A版[M].人民教育出版社,2007.

[3]王華民,阮必勝.立足教材,著眼長遠(yuǎn),培養(yǎng)高一學(xué)生推理證明的能力[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上旬),2011(10).

[4]吳曉英,巨申文.為“敘述并證明余弦定理”成為高考試題叫好[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上旬),2011(10).