一類半群的正則性和格林關系

秦美青

(菏澤學院 數(shù)學系， 山東 菏澤 274015)

一類半群的正則性和格林關系

秦美青

(菏澤學院 數(shù)學系， 山東 菏澤 274015)

設E是X上的一個等價關系，PE(X)是由等價關系E確定的保等價關系的部分變換半群. 利用格林關系和正則元的定義， 研究了半群PE(X)的一個子半群P2(X)={f∈PE(X)∶|imf|≤2}上的格林關系和正則性， 刻畫了半群P2(X)上的兩元素間的格林關系， 給出了這類半群中元素為正則元的充要條件.

部分變換； 格林關系； 正則元； 保等價關系

0 引 言

設X(|X|>3)為一個集合,TX是X上的完全變換半群,E是X上的一個等價關系. 集合X上的由等價關系E確定的TX的子半群TE(X)={f∈TX∶?(x,y)∈E?(f(x),f(y))∈E}. 文獻[1]中半群TE(X)中許多重要性質(zhì)均是通過構造半群T2(X)={f∈TE(X)∶|imf|≤2 }來說明的. 由此可見半群T2(X)的重要性. 文獻[2]刻畫了半群T2(X)上的正則元, 描述了元素間格林關系.PX是X上的部分變換半群, 文獻[3]考察了集合X上的由等價關系E確定的PX的子半群PE(X)={f∈PX∶?x,y∈domf,(x,y)∈E?(f(x),f(y))∈E} 的正則性和格林關系. 令集合P2(X)={f∈PE(X)∶|imf|≤2 }, 顯然P2(X) 是半群PE(X)的一個子半群. 本文主要考察半群P2(X)的正則性和格林關系.

1 格林關系

定義 1[4-5]集合{f-1(A)∶A∈X/E,A∩imf≠?}, 記為E(f).

定義 2[6-8]設A,B是X的兩個子集族. 如果對每個A1∈A, 都存在B1∈B, 使得A1?B1, 則稱A是B的細化.

定義 3[9]設S是半群, 對于S中的元素a, 若存在元素b, 使得aba=a, 則稱a是S中的正則元. 若S中每個元素都是正則元, 則稱S是正則半群.

文中未說明的概念與符號請參看文獻[10-16].

引理 1 設f,g,h∈P2(X)且滿足f=gh. 若f?A1,則有imf=imh.

證明 由f?A1知f∈A2∪A3∪A4, 從而|imf|=2. 因為f=gh, 所以g,h∈A2∪A3∪A4, 這樣|imh|=2, domf=dom(gh)=(img∩domh)g-1?domg. 任取x∈domf, (x)f=((x)g)h?imh, 即imf?imh. 因為|imf|=|imh|=2, 所以imf=imh.

定理 1 設f,g∈P2(X),fLg當且僅當imf=img且f,g是同一類型的變換.

證明 必要性： 假設fLg,則存在h,k∈P2(X)1, 使得f=kg,g=hf, 顯然imf=img.

若f∈A1, 則有|imf|=1. 因為imf=img, 所以|img|=1, 從而g∈A1. 同理若g∈A1, 可推出f∈A1.

若f∈A2, 則存在A∈X/E,A∩domf≠?, 使得(A∩domf)f={a,b}. 由f=kg知domf=(imk∩domg)k-1?domk, 從而(A∩domf)f=(A∩domf)kg. 因為k∈PE(X), 所以存在B∈X/E, 使得(A∩domf)k?B, 這樣{a,b}=(A∩domf)f=(A∩domf)kg?(B∩domg)g?img={a,b}, 即(B∩domg)g={a,b}, 故g∈A2. 同理若g∈A2, 可推出f∈A2.

若f∈A3, 則g∈A3. 否則若g∈A4, 記imf={a,b}, 因為imf=img, 所以img={a,b}. 又因為g∈A4, 所以(a,b)∈E,這與f∈A3矛盾. 故g∈A3. 同理若g∈A3, 可推出f∈A3.

若f∈A4, 由上面證明知g∈A4. 同理若g∈A4, 可推出f∈A4.

充分性： 假設imf=img且f,g是同一類型的變換. 若f,g∈A1. 取定a0∈domg, 設imf=img={a}, 定義映射h, 令domh=domf, imh=a0, 根據(jù)h定義知h∈P2(X)且對任意x∈domh, (x)hg=(a0)g=a=(x)f. 類似可證存在k∈P2(X), 使得g=kf, 故(f,g)∈L.

定理 2 設f,g∈P2(X), 則fRg當且僅當π(f)=π(g) 且f,g是同一類型的變換.

證明 必要性： 假設fRg, 則存在h,k∈P2(X)1, 使得f=gk,g=fh.domf=(img∩domk)g-1?domg=(imf∩domh)f-1?domf, 從而domf=domg. 任取z∈imf, 設x,y∈(z)f-1∈π(f), 即(x)f=z=(y)f. 這樣(x)g=(x)fh=(y)fh=(y)g, 則存在z′∈img, 使得x,y∈(z′)g-1∈π(g), 從而π(f)是π(g)的細化, 類似可證π(g)是π(f)的細化, 故π(f)=π(g). 由π(f)=π(g) 可知, domf=domg.

若f∈A1, 即|imf|=1, 對任意x∈domf=domg, (x)g=(x)fh, 則|img|=|im(fh)|=1, 故g∈A1. 同理若g∈A1, 可知f∈A1.

若f∈A2, 則存在A∈X/E,A∩domf≠?, 使得imf={a,b}=(A∩domf)f. 由h∈P2(X)知, 存在B∈X/E, 使得((a)h,(b)h)∈B∈X/E, 故(A∩domg)g=(A∩domf)fh=({a,b})h={(a)h,(b)h}, 從而g∈A2. 同理若g∈A2, 可知f∈A2.

若f∈A3, 則g∈A3. 否則g∈A4. 不妨記img={a,b}, 其中(a,b)∈E. 因為k∈P2(X), 所以存在B∈X/E, 使得imf=im(gk)=({a,b})k=((a)k,(b)k)∈B與f∈A3矛盾. 同理， 若g∈A3, 可知f∈A3.

最后， 若f∈A4, 由上面證明知g∈A4. 同理， 若g∈A4, 可知f∈A4. 綜上知，f,g是同一類型的變換.

充分性： 假設π(f)=π(g)且f,g是相同類型的變換. 由π(f)=π(g)知, domf= domg. 若f,g∈A1, 不妨記imf={a}, img=. 定義映射k， 令domk=X, imk={a}, 顯然k∈P2(X). 對任意x∈domf=domg, (x)gk=(b)k=a=(x)f, 所以f=gk. 類似存在h∈P2(X), 使得g=fh.

若f,g∈A4, 則與f,g∈A2中一樣定義映射k,h. 綜上知， 無論f,g是那一類型變換都存在k,h∈P2(X), 使得g=fh,f=gk,故(f,g)∈R.

定理 3 設f,g∈P2(X), 則fHg當且僅當π(f)=π(g), imf=img.

定理 4 設f,g∈P2(X), 則fDg當且僅當f,g是同一類型的變換.

證明 必要性： 假設fDg, 則存在k∈P2(X), 使得fLk,kRg. 根據(jù)定理1和定理2知,f,g是同一類型的變換.

充分性： 假設f,g∈P2(X)且是同一類型的變換. 若f,g∈A1. 不妨記imf={a}, img=.定義映射k, 令domk=domg, imk=imf, 則k∈P2(X)且k∈A1, 從而f,g,k是同一類型變換. 因為domk=domg, 所以π(f)=π(g)， 根據(jù)定理2知(k,g)∈R. 再由imk=imf, 結合定理1知(f,k)∈L, 從而(f,g)∈D.

若f,g∈A3或A4, 映射k定義與f,g∈A2一樣. 這樣無論f,g為何種類型變換, 都存在k∈P2(X), 使得fLk,kRg, 從而有fDg.

定理 5 設f,g∈P2(X), 則fJg當且僅當fDg.

證明 必要性： 假設fJg, 則存在h,k,s,t∈P2(X)1, 使得f=kgh,g=sft. 若f∈A1, 不妨記f=. 對任意x∈domg, (x)g=((x)s)ft=〈〈a0〉t〉∈A1, 故g∈A1. 同理可證， 若g∈A1,f∈A1.

若f∈A3, 假設g?A3, 則g∈A4, 這樣存在A∈X/E, 使得(c,d)∈A∈X/E. 由h∈PE(X)知， 存在B∈X/E, 使得{a,b}=imf=im(kgh)=({c,d})h=((c)h, (d)h)∈B與f∈A3矛盾, 故g∈A3. 同理可證， 若g∈A3, 則f∈A3. 若f∈A4, 由上面證明知g∈A4. 若g∈A4, 可知f∈A4. 綜上知，f,g是同一類型的變換.根據(jù)定理4知， (f,g)∈D.

充分性： 顯然.

2 正則元

記集合P1(X)=A1∪A2∪A4, 顯然集合P1(X) 是半群P2(X)的一個子半群. 在研究半群P2(X)中的正則元之前, 先考慮它的子半群P1(X) 中的正則元. 任取f∈P1(X). 若f∈A1, 不妨記f=〈a〉. 取定a0∈domf, 定義g∶domg=X, img=a0, 則有g∈A1. 對任意x∈domf, (x)fgf=(a)gh=(a0)f=a=(x)f, 即對任意f∈A1, 存在g∈P1(X), 使得f=fgf, 故f是正則元.

若f∈A4, 則(a,b)∈E, 對任意A∈X/E,A∩domf≠?, |(A∩domf)f|=1. 設f是正則元, 則存在g∈P1(X), 使得f=fgf. 由g∈PE(X), (a,b)∈E可知((a)g,(b)g)∈E, 再由f∈A4知， (a)g,(b)g∈p或(a)g,(b)g∈Q. 這樣(a)gf=(b)gf與f∈A4矛盾. 故若f∈A4,f不是正則元.

由上面討論,可得到如下定理.

定理 6 設f∈P1(X),f是正則元當且僅當f∈A1∪A2.

定理 7 設f∈P1(X),f是正則元當且僅當存在C∈X/E, 使得(C∩domf)f=imf.

定理 8 設f∈P2(X),f是正則元當且僅當對每個U∈E(f), 存在C∈X/E, 使得(C∩domf)f=(U)f.

證明 必要性： 假設f是正則元. 任取U∈E(f), 存在A∈X/E, 使得(U)f?A, 因為g∈PE(X), 所以存在C∈X/E, 使得(A∩domg)g?C. 因為f是正則元, 所以(U)f=(U)fgf?(A∩domg)gf?C∩domf)f. 反包含顯然. 故(C∩domf)f=(U)f.

若f∈A1, 記f=〈a〉E(f)=domf, 取定c0∈C∩domf, 定義映射g∶X→c0, 顯然g∈P2(X), 對任意x∈domf, (x)fgf=(a)gf=(c0)f=a=(x)f,故f是正則元.

定理 9 設f∈P2(X), 則f是正則元當且僅當f∈A1∪A2∪A3.

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Regularity and Green’s Relations on a Class of Semigroups

QIN Mei-qing

(Dept. of Mathematics， Heze University ， He’ze 274015, China)

LetEbe an equivalence onXandPE(X) is a partial transformation semigroup of preserving equivalence relations determined by the equivalenceE. Using the definition of Green’s-relations and regular elements, the Green’s-relations and regularity on semigroupP2(X)={f∈PE(X)∶|imf|≤2} the subsemigroup ofPE(X) are studied and the Green’s-relations of semigroupP2(X) is described, and the sufficient and necessary condition of semigroup whose elements are regular are given.

partial transformation; Green’s relation; regular elements; preserving equivalence relations

1673-3193(2017)04-0420-05

2016-04-12

秦美青(1982-)，女， 講師， 碩士生， 主要從事半群的代數(shù)理論研究.

O152.7

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2017.04.005