基于交叉效率新計算方法的區(qū)間效率值排序

成達(dá)建，薛聲家

(暨南大學(xué)管理學(xué)院，廣東 廣州 510632)

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基于交叉效率新計算方法的區(qū)間效率值排序

成達(dá)建，薛聲家

(暨南大學(xué)管理學(xué)院，廣東 廣州 510632)

考慮了數(shù)據(jù)包絡(luò)分析中決策單元區(qū)間效率值的計算方法和排序問題。首先，針對交叉效率評價方法中由于交叉效率值不唯一而存在的需要解多個附加的輔助線性規(guī)劃問題的缺陷，提出通過求傳統(tǒng)DEA線性規(guī)劃模型多個基最優(yōu)解以獲得區(qū)間效率值下限的新方法，從而大大減少了計算工作量。然后使用Hurwicz決策準(zhǔn)則構(gòu)建考慮到?jīng)Q策者樂觀程度的決策單元區(qū)間效率值的排序方法，并進(jìn)行對于樂觀系數(shù)的區(qū)間效率值排序穩(wěn)定性分析。最后給出計算例子以說明方法的有效性。

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析；決策單元；交叉效率；區(qū)間效率值；多個基最優(yōu)解

1 引言

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(DEA)是處理多輸入和多輸出問題的一種非參數(shù)方法，它已被廣泛應(yīng)用于非營利組織和營利組織的績效評估乃至多屬性決策問題的方案選擇，并應(yīng)用到輸入輸出數(shù)據(jù)是不確定的情形以及需要考慮決策單元內(nèi)部結(jié)構(gòu)等情形[1-4]。傳統(tǒng)的DEA方法單純依靠自評體系來對決策單元(DMU)進(jìn)行評價，也就是尋找對受評DMU最有利的輸入和輸出權(quán)重組合，使輸出加權(quán)平均與輸入加權(quán)平均的比值最大化。這種從樂觀角度計算得出的點效率值容易造成“孤芳自賞”的情形，是不夠合理和全面的，因為輸入和輸出可以有多種權(quán)重組合的選取方法。近年來，有不少學(xué)者指出[5-7]，各DMU的效率值應(yīng)有一個可能的變動范圍，該范圍構(gòu)成一個效率值區(qū)間，其上限是DMU最好的相對效率值(從樂觀角度評價)，其下限是最差的相對效率值(從悲觀角度評價)，也就是說，DMU具有區(qū)間效率值。由于區(qū)間效率值能在一個統(tǒng)一的DEA模型框架內(nèi)給每個DMU以完全的評估，因而會得到比傳統(tǒng)點效率值更加全面和深入的結(jié)論。

近年來已有不少關(guān)于區(qū)間效率的研究工作[5-9]，其中的交叉效率評價方法[7-13]很具有代表性。該方法的主要思想是利用自評和互評體系來消除或減輕傳統(tǒng)DEA方法中單純依靠自評體系對決策單元進(jìn)行評價的弊端，因此引起很多學(xué)者的關(guān)注并得到長足的發(fā)展和廣泛的應(yīng)用。然而，交叉效率評價方法本身仍然存在缺陷，其中最主要的缺點就是最初提出的交叉效率方法由于CCR模型存在可能多個最優(yōu)解而導(dǎo)致交叉效率值不唯一。針對交叉效率值不唯一的問題及交叉效率值的理論基礎(chǔ)，有學(xué)者[14]提出了基于交叉評價策略的全局協(xié)調(diào)相對效率，并基于優(yōu)化理論給出一個可以用于決策單元優(yōu)劣排序的全局協(xié)調(diào)相對效率測度模型；也有學(xué)者[15]提出了一種決策單元交叉效率的自適應(yīng)群評價方法，該方法能得到客觀穩(wěn)定的決策單元交叉效率有效性分值及排序。上述文獻(xiàn)深化了對決策單元交叉效率評價方法的探討。為了解決交叉效率值不唯一的問題，一些文獻(xiàn)[7-10]采用了兩階段的計算方法：第一階段對每個DMU求解傳統(tǒng)DEA模型以確定其自評效率值，這個階段需要解n個線性規(guī)劃模型(n為決策單元的總數(shù))；第二階段是求出符合要求的交叉效率值，需要解一系列的線性規(guī)劃或二次規(guī)劃，例如王美強(qiáng)和梁樑[7]、吳杰和梁樑[8]為求得交叉效率值，需要解n×(n-1)個附加的線性規(guī)劃。這樣，兩個階段共要解n2個線性規(guī)劃，可見計算工作量是很大的。

本文基于薛聲家和左小德[16]的結(jié)果，在第一階段中增加了求線性規(guī)劃全部極點最優(yōu)解(基最優(yōu)解)的程序，并推導(dǎo)出實用的最小(大)交叉效率值的判別條件，從而避免了第二階段的執(zhí)行，這就大大減少了計算工作量。此外，文中還對決策單元區(qū)間效率值下限的確定方法及區(qū)間效率值的排序方法作了補(bǔ)充和改進(jìn)，并進(jìn)行了排序方法的穩(wěn)定性分析。

2 交叉效率及新計算方法

假設(shè)有n個決策單元(DMU)，每個決策單元都有m種輸入和s種輸出。已知第j個決策單元DMUj(j=1,2,…,n)的輸入和輸出向量分別為：

Xj=(x1j,x2j, …,xmj)T>0和Yj=(y1j,y2j, …,ysj)T>0

下面的(CCR)d模型可求出對被評價單元DMUd最有利(使其效率值達(dá)到最大)的輸入和輸出權(quán)重。

ωi≥0,i=1,2,…,m

μk≥0,k=1,2,…,s其中，決策變量ωi(i=1,2,…,m)和μk(k=1,2,…,s)分別為各輸入和輸出的對應(yīng)權(quán)重。

在(CCR)d模型中，令d分別取值1,2,…,n，則可以得到所有DMU之最優(yōu)權(quán)重和相應(yīng)的(最大)效率值。

基于以上CCR模型的最優(yōu)權(quán)重，文獻(xiàn)[7-11]定義DMUj使用DMUd的最優(yōu)權(quán)重所獲得的交叉效率為：

(1)

由于模型(CCR)d的最優(yōu)解可能不唯一，因此，使用式(1)計算得到的交叉效率值也可能不唯一，為了確定區(qū)間效率值的下限，我們必須求出最小交叉效率值。

ωi≥0, i=1,2,…,m

本文認(rèn)為，我們完全可以避免工作量龐大的第二階段，為此只需要在第一階段中增加求(CCR)d模型多個最優(yōu)解的程序。由文獻(xiàn)[16]知，線性規(guī)劃最優(yōu)解的一般表達(dá)式為最優(yōu)極點(基最優(yōu)解)的凸組合與最優(yōu)極方向的非負(fù)線性組合之和。由于(CCR)d模型的可行集為有界集，故不存在最優(yōu)極方向。下面將指出，只需求出(CCR)d數(shù)目有限的全部基最優(yōu)解(僅要作有限次單純形法的轉(zhuǎn)軸運(yùn)算，其次數(shù)遠(yuǎn)小于解一個線性規(guī)劃)，就能確定使交叉效率值最小的最優(yōu)權(quán)重。

把(CCR)d的最優(yōu)解記為m+s向量

則(CCR)d的最優(yōu)解一般表達(dá)式為：

亦即：

(2)

(3)

把(2)和(3)代入式(1)可得：

(4)

記：

(5)

則有：

(6)

設(shè)指標(biāo)t滿足：

(7)

(8)

初始步 令d:=1，進(jìn)入步驟1。

步驟3 求(CCR)d的全部基最優(yōu)解[16]

步驟5 若d=n，停止；否則令d:=d+1，返回步驟1。

3 基于區(qū)間效率值的決策單元排序

而且絕大多數(shù)情形都是嚴(yán)格不等式成立。因此，正確的取法應(yīng)是:

(9)

關(guān)于DMU區(qū)間效率值的排序，已有了不少研究，但存在一些不足。吳杰和梁樑[8]的排序方法使用了效率值服從均勻分布于效率值區(qū)間的假設(shè)，這似乎不很合理，因為區(qū)間效率值的上限與下限只是交叉效率或相對效率的極端值，我們沒有充分依據(jù)說明效率值是等可能性地分布于效率值區(qū)間。另一方面，實際工作中決策者對效率值的分布會有一定程度的了解，因而決策單元效率評價引入決策者風(fēng)險偏好會更加合理。王美強(qiáng)和梁樑[7]采用最小最大后悔值方法進(jìn)行排序，但這種做法實際上忽略了對各DMU的區(qū)間效率值上限的比較，該方法的使用也說明進(jìn)行排序的決策者是較悲觀和厭惡風(fēng)險的(使用傳統(tǒng)的DEA是樂觀的排序方法)。實際上，大部分決策者對風(fēng)險的態(tài)度是介于悲觀和樂觀之間，因此，有必要引入考慮到?jīng)Q策者風(fēng)險偏好的排序方法。

借鑒赫維茨(Hurwicz)的折衷準(zhǔn)則引入樂觀系數(shù)α(0≤α≤1)來表示排序決策者的樂觀程度，作效率折衷值：

(10)

然后根據(jù)Hj的大小對各DMU進(jìn)行區(qū)間效率值的排序：若Hj1>Hj2，則DMUj1排前于DMUj2，記作DMUj1?DMUj2；若Hj1=Hj2，則兩DMU排序相同，記作DMUj1～DMUj2。顯然，對于不同的α值(對應(yīng)于不同風(fēng)險偏好的決策者)，各DMU的排序有所不同。下面討論排序結(jié)果對α變化的穩(wěn)定性。

假設(shè)當(dāng)α=0(悲觀的排序決策者)，有如下的排序：

DMUj1?DMUj2?…?DMUjn

(11)

其中 {j1,j2,…,jn}是{1,2,…,n}的一個全排列。 我們考察使排序(11)保持不變的α的變化范圍。

(11)式等價于Hj1>Hj2>…>Hjn，或

Hji-Hji+1>0,i=1,2,…,n-1

(12)

使用式(10)得：

整理后有：

則有：

(13)

令：

(14)

則對于任意α滿足0≤α<α1，排序結(jié)果(11)保持不變。

不妨設(shè)α1<1，易見當(dāng)α=α1，排序(11)中至少有一個符號?變?yōu)椤?；?dāng)α>α1，排序(11)將變?yōu)樾碌呐判颉?/p>

類似上面的討論，可找到α2>α1，使新的排序在α∈(α1,α2)時保持不變，…，經(jīng)有限步后，將找到某αk=1。這樣可得到k個區(qū)間(0,α1)、(α1,α2)、…、(αk-1,1)，使得在每個區(qū)間中的決策單元排序保持不變，也就是說，排序結(jié)果對于樂觀系數(shù) 有較強(qiáng)的穩(wěn)定性。

4 數(shù)值例子

為了增加可比性，本文選用文獻(xiàn)[7-8]的例子進(jìn)行計算，具體數(shù)據(jù)見表1。在表1中有5個DMU，每個DMU有3種輸入x1,x2,x3和2種輸出y1,y2。

表1 各DMU的輸入和輸出值

求解(CCR)d模型(d=1,2,…,5)后出現(xiàn)以下兩種情況。

表2 各DMU的和值

由表2可得到各DMU的區(qū)間效率值，為方便比較，表3給出了本文和文獻(xiàn)[7]的結(jié)果。對于區(qū)間效率值的上限，本文與文獻(xiàn)[7]的取值是相同的，均為CCR模型的決策單元最大效率值。對于下限，本文在保持其他決策單元自身最大效率值不變的前提下，極小化其最優(yōu)權(quán)重被所要評價的決策單元使用所得到的交叉效率值，并以這些最小交叉效率值中的最小者作為區(qū)間效率值的下限；文獻(xiàn)[7]則以這些最小交叉效率值的平均值作為下限?？梢钥吹剑疚拇_定的區(qū)間效率值下限較小，而且更符合“區(qū)間效率值的下限是DMU最差的相對效率”[7]的含義。

表3 各DMU的區(qū)間效率值

下面根據(jù)區(qū)間效率值對各DMU進(jìn)行排序，我們考慮樂觀系數(shù)α∈[0,1]的所有情形。首先，由公式(14)可求得α1=0.46326，并得到如下結(jié)果：

當(dāng)0≤α<0.46326時，DMU3?DMU2?DMU5?DMU1?DMU4；

當(dāng)α=0.46326時，DMU3?DMU2?DMU5?DMU1～DMU4；

當(dāng)0.46326<α<1時，DMU3?DMU2?DMU5?DMU4?DMU1；

當(dāng)α=1時，DMU3～DMU2?DMU5～DMU4～DMU1。

可見，決策者風(fēng)險偏好的變化會影響到區(qū)間效率值的排序結(jié)果，但其影響的穩(wěn)定性可以較好地展示出來。

5 結(jié)語

從樂觀角度計算點效率值的傳統(tǒng)DEA方法只給出了區(qū)間效率值的上限，而交叉效率評價方法為計算區(qū)間效率值的下限提供了新的思路，但該評價方法由于交叉效率值的可能不唯一性而存在需要額外解多個附加輔助線性規(guī)劃的缺陷。本文提出通過求傳統(tǒng)DEA線性規(guī)劃模型的多個基最優(yōu)解以獲得區(qū)間效率值下限的新方法，從而大大減少了計算工作量。另一方面，由于區(qū)間效率值的上限和下限分別是從樂觀和悲觀兩個不同的角度評價決策單元的效率值，而實際上大部分決策者對風(fēng)險的態(tài)度介于樂觀和悲觀兩者之間，因此有必要引入考慮到?jīng)Q策者風(fēng)險偏好的排序方法。本文借鑒Hurwicz決策準(zhǔn)則，構(gòu)建了決策單元區(qū)間效率值的排序方法，并論證了該方法的排序結(jié)果對樂觀系數(shù)的變化有較強(qiáng)穩(wěn)定性。本文的研究基于固定規(guī)模報酬假設(shè)下的CCR模型，由于CCR模型所求得的決策單元相對效率為總效率，并未區(qū)分技術(shù)效率和規(guī)模效率，因此，輸入輸出數(shù)據(jù)屬于確定性數(shù)據(jù)以及需要考慮決策者風(fēng)險偏好的決策單元總效率值評價問題，適用本文的研究結(jié)果。本文進(jìn)一步的研究方向是變動規(guī)模報酬條件下決策單元的技術(shù)效率區(qū)間以及輸入輸出數(shù)據(jù)不確定情形下的決策單元區(qū)間效率問題。

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Ranking of Interval Efficiencies Based on New Computational Method for Cross Efficiency

CHENG Da-jian，XUE Sheng-jia

(School of Management, Jinan University, Guangzhou 510632, China)

A traditional CCR model of data envelopment analysis (DEA) is to evaluate decision-making units (DMUs) optimistically in self-appraisal method. The maximum of relative ratio of weighted sum of outputs to that of inputs is regarded as the relative efficiency of a DMU. However, since all possible ratios of weighted sum of outputs to that of inputs can be assumed as possible efficiencies, the efficiencies of DMUs can be measured within the range of an interval. On applying cross-efficiency method, interval efficiencies of DMUs can be constructed based on CCR model. A factor that possibly reduces the usefulness of original cross-efficiency evaluation method is that cross-efficiency scores may not be unique due to the presence of alternate optima in CCR model. To solve the problem, a two-phased approach is adopted in cross-efficiency evaluation. With respect to the shortcoming of need to solve many additionally auxiliary linear programming problems that is due to non-uniqueness of cross efficiency score in cross efficiency evaluation method, this paper proposes a new computational method to obtain interval efficiencies by means of finding multiple basic optimal solutions of the traditional DEA linear programming model. Thus, the amount of computational work is greatly decreased. The above is the first issue of this article. The second issue in the paper is the problem of ranking of interval efficiencies for DMUs. The maximum efficiency of a DMU in CCR model is regarded as its upper bound of interval efficiency. On the condition of keeping the maximum efficiencies of other DMUs, cross efficiencies of a rated DMU is minimized and the minimum of all minimum cross efficiencies of a rated DMU is regarded as its lower bound of efficiency interval. At the same time, because the attitude to risk of most decision-makers lies between pessimism and optimism, a ranking method for interval efficiencies of DMUs, which can consider decision-makers’ levels of optimism, is constructed by Hurwicz decision criterion, and a stability analysis of interval efficiencies ranking to optimistic coefficient is conducted in this article. Finally, a computational example is also given to illustrate the effectiveness of the method. Since CCR model under the condition of constant returns to scale can not divide overall efficiency of a DMU into technical efficiency and scale efficiency, the analysis of the paper can be applied to evaluation of overall efficiencies of DMUs when inputs and outputs are precise data and decision-makers’ risk preferences need to be taken into consideration.

data envelopment analysis (DEA); decision-making unit; cross efficiency; interval efficiency; multiple basic optimal solutions

2015-11-18；

2016-03-28

國家自然科學(xué)基金重點資助項目(71333007)；廣東高校優(yōu)秀青年創(chuàng)新人才培養(yǎng)計劃項目(2012WYM_0021)；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項資金資助項目(13JNQN007)

成達(dá)建(1978-)，男(漢族)，廣東陽春人，暨南大學(xué)管理學(xué)院，講師，博士，研究方向：管理科學(xué)與管理決策，E-mail:tcdj@jnu.edu.cn.

1003-207(2017)07-0191-06

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.07.021

C934

A