層層遞進(jìn) 橫縱擴(kuò)展

呂蓮花

摘要：本文涵蓋了初中三年多個(gè)教學(xué)中的知識(shí)點(diǎn)，多種初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法和思想。在初三復(fù)習(xí)時(shí)是一個(gè)舉一反三的例題，也是教師對(duì)初中教學(xué)研究的一個(gè)參考。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；教學(xué)研究

一、生活中小數(shù)學(xué)：

如圖①在一條河流的兩側(cè)，有兩個(gè)村莊，現(xiàn)在需要在河邊修建一送水站P，使得送水站到兩個(gè)村莊的距離和最短，求P點(diǎn)的位置？（河流寬度忽略不計(jì)）

解決辦法：如圖②連接AB兩點(diǎn)，交l與點(diǎn)P，P為所求。

此題是在學(xué)習(xí)過滬科版第4章《直線與角》中4.2線段、射線、直線后，直接利用了 “兩點(diǎn)之間、線段最短”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用到圖形中，即可得出作法。七年級(jí)學(xué)生在剛接觸線段的相關(guān)定理時(shí)也可以很輕松的完成此題。

等到八年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)過第15章《軸對(duì)稱圖形和等腰三角形》中的15.1軸對(duì)稱圖形后，可將題目變形為：

二、與函數(shù)的聯(lián)系應(yīng)用：

滬科版八年級(jí)上冊(cè)還學(xué)習(xí)了第11章《平面直角坐標(biāo)系》，第12章《一次函數(shù)》，這兩章是學(xué)生第一次接觸、學(xué)習(xí)函數(shù)，也是對(duì)數(shù)形結(jié)合能力的重要考察。將上面的問題直接應(yīng)用到平面直角坐標(biāo)系中，將圖形和函數(shù)結(jié)合，即可變形為數(shù)形結(jié)合題：

3、如圖⑤，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，2），B（8，8），你能在x軸上找到一點(diǎn)P，使得PA+PB的值最小嗎？求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。

此時(shí)，可以將x軸看做是河流l，直接應(yīng)用第2題的結(jié)論，就可以通過作圖的方式找出點(diǎn)P：如圖⑥，點(diǎn)A（0，2）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是A（0，-2），連接AB，與x軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)P。

在第2題的情境下，是無法得出有關(guān)點(diǎn)P的代數(shù)內(nèi)容，但是將情境改在平面直角坐標(biāo)系中，AB也就可以看做是一個(gè)一次函數(shù)，只要求解出一次函數(shù)解析式，再求解出一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)既可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。解題過程如下：

解：設(shè) ，經(jīng)過A（0，-2），B（8，8）得：

解得：

∴

當(dāng) 時(shí)， ，解得：

∴P

此題除了考察了“兩點(diǎn)之間、線段最短”、“軸對(duì)稱性質(zhì)”，還使用了“待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式”、“一次函數(shù)性質(zhì)”等知識(shí)點(diǎn)，使用了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想綜合解決問題。

三、與根與系數(shù)的關(guān)系的聯(lián)系應(yīng)用：

圓與直線的交點(diǎn)可以分為三種情況：兩個(gè)交點(diǎn)；一個(gè)交點(diǎn)；沒有交點(diǎn)，正如代數(shù)知識(shí)中的一元二次方程，可以有：兩個(gè)不相等的根；兩個(gè)相等的根；沒有實(shí)數(shù)根，所以上題可以繼續(xù)變形為：

7、如圖⑨，在線段CD上找一點(diǎn)P，使得點(diǎn)△PAC和△PBD相似，請(qǐng)問當(dāng)l，m，n滿足什么條件時(shí)，這樣的點(diǎn)有1個(gè)？有2個(gè)？有3個(gè)？（ ）

首先還是需要分類討論：△PAC和△PBD相似可以理解為：（1）△PAC∽△PBD；（2）△PAC∽△BPD；

如圖?，設(shè)CP= ，則PD= ，∵∠ACP=∠PDB=90°，

（1）當(dāng) 時(shí)，△PAC∽△PBD

即： ，

解得： （ ）

（2）當(dāng) 時(shí)，△PAC∽△BPD

即： ，化簡(jiǎn)得：

∴當(dāng) 時(shí)，有兩個(gè)不相等的解；

當(dāng) 時(shí)，有兩個(gè)相等的解；

當(dāng) 時(shí)，無實(shí)數(shù)解；

綜合上面兩種情況，可得：

當(dāng) 時(shí)，有3個(gè)點(diǎn)，使得點(diǎn)△PAC和△PBD相似；

當(dāng) 時(shí)，有2個(gè)點(diǎn)，使得點(diǎn)△PAC和△PBD相似；

當(dāng) 時(shí)，有1個(gè)點(diǎn)，使得點(diǎn)△PAC和△PBD相似；

此題也是特殊到一般的過程，首先還是根據(jù)相似三角形的知識(shí)分類討論。第（1）種分類利用了 “相似三角形的判定—兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，且夾角相等的兩個(gè)三角形相似”、“一元一次方程的解法”等知識(shí)點(diǎn)，第（2）種分類還使用了“一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系”等知識(shí)點(diǎn)解決問題。此題的主要解法與第6題不同，主要是從代數(shù)內(nèi)容入手，幾何知識(shí)使用了相似三角形的判定來輔助解決問題，與第6題的解法對(duì)比強(qiáng)烈。

上述的第7題，從一個(gè)圖形出發(fā)，橫向可以擴(kuò)展為與函數(shù)相關(guān)的求解題型，縱向可以擴(kuò)展為相似形相關(guān)的知識(shí)，在證明相似的時(shí)候又可以橫向發(fā)展以代數(shù)方法為主，和以幾何方法為主的兩種不同求解辦法。過程中涵蓋了初中三年多個(gè)教學(xué)中的知識(shí)點(diǎn)，多種初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法和思想。在初三復(fù)習(xí)時(shí)是一個(gè)舉一反三的例題，也是教師對(duì)初中教學(xué)研究的一個(gè)參考。