一類非線性SEIRS傳染病傳播數(shù)學(xué)模型

王 婷，王 輝，胡志興

(北京科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京 100083)

一類非線性SEIRS傳染病傳播數(shù)學(xué)模型

王 婷，王 輝，胡志興

(北京科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京 100083)

研究了一類具有非線性發(fā)生率的易感者-暴露類-患病者-恢復(fù)者-易感者(SEIRS)傳染病模型。利用Routh-Hurwitz判別法，分析了無(wú)病平衡點(diǎn)與地方病平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性；采用Lyapunov-LaSalle不變?cè)恚治隽藷o(wú)病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性；運(yùn)用持久性理論證明了模型的持久性，并給出了地方病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定的猜想。最后通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證了結(jié)論與猜想。

無(wú)病平衡點(diǎn)；地方病平衡點(diǎn)；Lyapunov-LaSalle不變?cè)?；Routh-Hurwitz判別法；基本再生數(shù)；非線性飽和發(fā)生率；持久性理論

0 引言

1 傳染病模型的建立

建立以下易感者-暴露類-患病者-恢復(fù)者-易感者(susceptible-exposure-infected-recovery-susceptible，SEIRS)傳染病模型：

(1)

其中：S(t)、E(t)、I(t)和R(t)分別為t時(shí)刻易感者、暴露類、患病者和恢復(fù)者人群的數(shù)量；M為初始人口規(guī)模；b為人均出生率；μ為自然死亡率；β為有效接觸率；γ為免疫喪失率；σ為潛伏期個(gè)體變成患病者的概率；α為因病死亡率；τ為患病者恢復(fù)率；α1和α2為環(huán)境和心理等因素對(duì)于疾病的抑制作用因數(shù)；b、μ、σ和M為正數(shù)，其余參數(shù)非負(fù)。此外，本模型只考慮患病者具有傳染性的情況。

規(guī)定在t時(shí)刻人口規(guī)模為N(t)=S(t)+E(t)+I(t)+R(t)。t時(shí)刻總?cè)丝谝?guī)模變化率為：

N′(t)=bM-μS(t)-μR(t)-μE(t)-(μ+α)I(t)=bM-μN(yùn)(t)-αI(t)，

2 模型分析

3 無(wú)病平衡點(diǎn)P1和地方病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性

命題1 R0≠1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)P1是局部漸近穩(wěn)定的。

證明 模型(1)在無(wú)病平衡點(diǎn)P1處的特征方程為：

(λ+μ)(λ+μ+γ)(λ+μ+σ)(λ+μ+α+τ)(1-R0)=0。

因?yàn)镽0≠1，所以可求得此時(shí)矩陣的特征值分別為λ1=-μ，λ2=-(σ+μ)，λ3=-(μ+α+τ)，λ4=-(μ+γ)。由于模型(1)中參數(shù)均為非負(fù)，所以所有特征值均具有負(fù)實(shí)部，故無(wú)病平衡點(diǎn)P1是局部漸近穩(wěn)定的，命題1得證。

d0λ4+d1λ3+d2λ2+d3λ1+d4=0，

行列式

Δ1=d1=4μ+A1+γ+α+τ+σ>0；

Δ3=(d1d2-d3)d3-d12d4=n1(x1x2-x1A1+x2A1-A12)(σA2)2+n2σA2+n3，

其中：n1=2μ(2μ+A1+γ)+(α+τ+σ)(2μ+γ)+γA1;n2=A1(x1+x2)(x3+2x1x2)-(x1-x2)×A1[x4+(x1-x2)(μ+γ)]-x4(x12+x22)-x1x2(x1x2+2x3)；n3=x1x22x3(1+x1+x2)+x1x2x4×(x12+x1x2+x4-x3)+(x1+x2)2A1γστ。

命題2 若R0>1，則有：

4 無(wú)病平衡點(diǎn)P1的全局穩(wěn)定性與模型的持久性

定理1 若R0<1,則無(wú)病平衡點(diǎn)P1是全局漸近穩(wěn)定的。

證明 定義Lyapunov函數(shù)V(S,E,I,R)=V1(S,E,I,R)+V2(S,E,I,R)，其中:

容易證明V(S,E,I,R)=V1(S,E,I,R)+V2(S,E,I,R)是正定的。以下證明

由Lyapunov-LaSalle不變?cè)碇?無(wú)病平衡點(diǎn)P1是全局漸近穩(wěn)定的。定理1得證。

利用文獻(xiàn)[9]中的定理4.6以及文獻(xiàn)[10-11]可以證明模型(1)的持久性。

定理2 若R0>1，模型(1)滿足初值S(0)≥0,E(0)≥0,I(0)≥0,R(0)≥0的任意解(S(t)，E(t)，I(t)，R(t))是持久的，即存在正常數(shù)mi并使得

設(shè)(S(0)，E(0)，I(0)，R(0))∈M?，則有I(t)≡0。記ω(S(0)，E(0)，I(0)，R(0))為從(S(0)，E(0)，I(0)，R(0))∈X出發(fā)的解的ω-極限集。

令Ω′=∪{ω(S(0)，(0)，(0)，(0))|S(0)，(0)，(0)，(0)∈M?}，則在M?上有I(t)=0。則模型(1)的極限系統(tǒng)為：

(2)

(3)

其中:(S,E,I,R)的初值(S(0)，E(0)，I(0)，R(0))∈X0。由文獻(xiàn)[12-13]知，如果

Ws(P1)∩X0=φ

(4)

成立，其中Ws(P1)為P1的穩(wěn)定流形，則式(3)成立。假設(shè)式(4)不成立，則存在一個(gè)初始值為(S(0),E(0),I(0),R(0))∈X0的解(S(t)，E(t)，I(t)，R(t))∈X0，t≥0，使得t→∞時(shí)，有

(5)

(6)

因此，當(dāng)t≥T時(shí)，式(6)與式(5)矛盾，故式(4)成立。所以模型(1)為持久的，即定理2得證。

5 數(shù)值模擬

采用數(shù)值模擬來(lái)驗(yàn)證無(wú)病平衡點(diǎn)P1的全局漸近穩(wěn)定性。對(duì)模型(1)中的參數(shù)選擇如下：

M=60,b=0.65,μ=0.01,β=2.5,σ=0.005，α1=8，α2=3，τ=0.2，γ=0.05 α=0.03。此時(shí)R0=0.434 0<1。任意選擇初始值E0=(2 500,1 900,1 600,1 400)，無(wú)病平衡點(diǎn)P1=(3 900,0,0,0)。因此，由定理1知，無(wú)病平衡點(diǎn)P1是全局漸近穩(wěn)定的。無(wú)病平衡點(diǎn)P1的全局漸近穩(wěn)定性的數(shù)值模擬圖如圖1所示。

6 結(jié)束語(yǔ)

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國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61174209，11471034)

王婷(1991-)，女，山東棗莊人，碩士生；王輝(1965-)，女，山西榆次人，副教授，碩士，碩士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)榉汉⒎址匠膛c動(dòng)力系統(tǒng).

2016-09-01

1672-6871(2017)02-0084-05

10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2017.02.016

O175

A