基于正解過程的Risley棱鏡光束指向控制精度分析

張魯薇， 王衛(wèi)兵， 王 銳， 王挺峰， 郭 勁

(中國科學(xué)院 長春光學(xué)精密機械與物理研究所 激光與物質(zhì)相互作用國家重點實驗室,吉林 長春 130033)

基于正解過程的Risley棱鏡光束指向控制精度分析

張魯薇*， 王衛(wèi)兵， 王 銳， 王挺峰， 郭 勁

(中國科學(xué)院 長春光學(xué)精密機械與物理研究所 激光與物質(zhì)相互作用國家重點實驗室,吉林 長春 130033)

為了獲得Risley棱鏡系統(tǒng)光束指向控制精度指標(biāo)設(shè)計及性能提升的依據(jù)，對系統(tǒng)光束指向控制精度隨軸系角度測量精度的非線性變化規(guī)律進(jìn)行了研究。首先，以一級近軸近似矢量合成模型為基礎(chǔ)，采用正解方法根據(jù)雙棱鏡方位推導(dǎo)了出射光束指向的解析表達(dá)式；然后，結(jié)合單自由度軸系伺服控制經(jīng)驗，通過泰勒級數(shù)展開的方式推導(dǎo)出了光束指向控制精度與軸系角度測量精度之間的非線性解析表達(dá)式，并由此獲得了界定限判據(jù)；最后，分別對小偏向角系統(tǒng)和大偏向角系統(tǒng)進(jìn)行了仿真分析，獲得了光束指向控制精度在全視場區(qū)域內(nèi)的變化情況。結(jié)果表明，本文研究所得的非線性解析式描述了影響系統(tǒng)光束指向控制精度諸多因素之間的相互關(guān)系,能夠為Risley棱鏡光束指向系統(tǒng)的設(shè)計及整體性能的優(yōu)化提供依據(jù)。

光束指向；Risley棱鏡；控制精度；正解；界定限

1 引 言

Risley棱鏡由兩個共軸相鄰排列的棱鏡組成，兩個棱鏡繞著共同軸獨立旋轉(zhuǎn)實現(xiàn)光束在錐角區(qū)域內(nèi)的任意偏轉(zhuǎn)[1]。相較于傳統(tǒng)的兩軸、三軸式光束轉(zhuǎn)向機構(gòu)，Risley棱鏡具有結(jié)構(gòu)緊湊、響應(yīng)快、指向精度高、環(huán)境適應(yīng)性好等優(yōu)勢，因而在激光通信、激光雷達(dá)、光學(xué)穩(wěn)像、搜索與跟蹤、激光三維成像等領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景[2-5]。根據(jù)操作對象的不同，Risley棱鏡的應(yīng)用主要可以分為光束偏轉(zhuǎn)和視軸偏轉(zhuǎn)兩大類[6]。美國已有多家研究機構(gòu)研制出了用于機載激光通信、掃描與跟蹤等應(yīng)用的光束指向控制機構(gòu)，國內(nèi)國防科技大學(xué)研制出了同時具備光束掃描和步進(jìn)成像兩種工作模式的雙旋轉(zhuǎn)棱鏡樣機[7]。

目前，對于Risley棱鏡系統(tǒng)的研究主要集中在光束指向機制、掃描模式、精密控制、成像特性、誤差分析等方面。在光束指向機制方面，Jeon等人[8-14]對于如何獲得正向問題與反向問題的近似解與精確解進(jìn)行了探討；在掃描模式方面，Gerald F等人[15-17]主要研究基于棱鏡結(jié)構(gòu)、旋轉(zhuǎn)速度和棱鏡初始位置等參數(shù)產(chǎn)生不同的掃描軌跡以及如何根據(jù)實際應(yīng)用需求進(jìn)行掃描模式的選擇和優(yōu)化；在精密控制方面，Sanchez M等人[18-20]主要研究伺服控制策略的設(shè)計及優(yōu)化以實現(xiàn)棱鏡的高效精密回轉(zhuǎn)控制；在成像特性方面，LI A等人[21-23]對Risley棱鏡引起的光束變形、像差等問題以及如何優(yōu)化成像性能開展了研究；在誤差分析方面，ZHAO Y等人[24-25]主要針對器件自身誤差、棱鏡方位誤差、裝調(diào)誤差等誤差源對光束指向精度的影響進(jìn)行了相關(guān)分析。上述研究為Risley棱鏡系統(tǒng)性能的提升及其應(yīng)用領(lǐng)域的擴展提供了理論依據(jù)和方法引導(dǎo)。

光束指向控制精度是評價Risley棱鏡系統(tǒng)性能的核心指標(biāo)。然而,目前對于如何設(shè)計該指標(biāo)以及如何綜合多因素從整體上對該性能進(jìn)行優(yōu)化缺乏相關(guān)的理論依據(jù)。為了解Risley棱鏡系統(tǒng)最終的光束指向控制精度和保精度控制的范圍，本文針對光束指向控制精度與軸系角度測量精度之間的非線性關(guān)系展開了研究，目前這部分研究內(nèi)容還未有文獻(xiàn)涉及。

本文以一級近軸近似矢量合成正解分析為基礎(chǔ)，結(jié)合軸系伺服控制經(jīng)驗，推導(dǎo)出了光束指向控制精度的非線性解析式及界定限判據(jù)，同時對小偏向角系統(tǒng)和大偏向角系統(tǒng)進(jìn)行了仿真。

2 光束指向矢量合成理論

2.1 物理模型

根據(jù)棱鏡對光束的偏轉(zhuǎn)原理可知，單個棱鏡旋轉(zhuǎn)時將使光束沿等頂角圓錐面成圓周掃描。而當(dāng)兩塊棱鏡共軸相鄰排列組成Risley棱鏡時，通過兩塊棱鏡獨立旋轉(zhuǎn)，可使光束在一定頂角的圓錐面內(nèi)沿任意方向掃描。當(dāng)滿足一級近軸近似條件時，其掃描的圓錐面半頂角大小為兩塊單棱鏡光束偏向角之和。

圖1所示的三維空間Risley棱鏡對光束的偏轉(zhuǎn)對應(yīng)的平面矢量投影如圖2所示。Risley棱鏡一級近軸近似矢量合成方法分析如下，其中,δ1代表棱鏡1偏向角，δ2代表棱鏡2偏向角，Φ和Θ分別代表δ1和δ2矢量合成后的偏轉(zhuǎn)角和方位角。起始位置為θ1=0,θ2=0，此時Φ為最大值，方向為正δx。

圖1 Risley棱鏡光束偏轉(zhuǎn)三維示意圖Fig. 1 3D schematic diagram of beam steering for Risley prisms

圖2 Risley棱鏡光束偏轉(zhuǎn)平面矢量投影示意圖Fig. 2 2D schematic diagram of beam steering for Risley prisms

2.2 一級近軸近似矢量合成正解分析

一級近軸近似是基于近軸條件下的薄棱鏡近似。在該近似條件下，認(rèn)為棱鏡對光束的偏向角只與棱鏡的頂角和折射率有關(guān)，因此棱鏡1和棱鏡2對光束的偏向角大小可分別表示為：

式中，A1、A2分別為棱鏡1、棱鏡2頂角，n1、n2分別為棱鏡1、棱鏡2折射率。

偏轉(zhuǎn)角Φ矢量在坐標(biāo)系Oδxδy下的分量為：

偏轉(zhuǎn)角Φ和方位角Θ大小分別為：

為了便于分析，進(jìn)一步假設(shè)兩塊棱鏡具有相同的頂角和材料，因此有：

|δ|=|δ1|=|δ2|=A(n-1).

由此可知其對應(yīng)的偏轉(zhuǎn)角Φ和方位角Θ僅與兩塊棱鏡的旋轉(zhuǎn)角度θ1,θ2有關(guān)，可分別簡化為：

推導(dǎo)式(11)過程中，可以發(fā)現(xiàn)Risley棱鏡系統(tǒng)全區(qū)域控制過程中存在奇異點，數(shù)學(xué)描述為：

結(jié)合實際考慮棱鏡1和棱鏡2獨立可旋轉(zhuǎn)的范圍均為θ1,θ2∈[-π,π]，則存在奇異點:

θ1-θ2=±π.

其對應(yīng)的物理意義為當(dāng)棱鏡1和棱鏡2斜面平行放置時，即光束經(jīng)過Risley棱鏡指向不偏轉(zhuǎn)處為控制的奇異點，如圖3所示。

圖3 奇異點：光束不偏轉(zhuǎn)Fig. 3 No deflection of the incoming beam at the singularity

3 光束指向控制精度分析

3.1 單自由度軸系伺服控制精度分析

根據(jù)電機伺服控制系統(tǒng)工程經(jīng)驗可知，對于具體系統(tǒng)，通過閉環(huán)伺服控制算法設(shè)計可獲得一定的閉環(huán)伺服控制系統(tǒng)帶寬，進(jìn)而可對一定的運動信號達(dá)到要求的保精度控制。Risley棱鏡一般采用電機直驅(qū)傳動形式來控制光束指向。軸系的閉環(huán)控制是決定Risley棱鏡光束指向精度的重要因素。軸系的閉環(huán)控制精度一般與運動信號狀態(tài)、系統(tǒng)裝配誤差、控制系統(tǒng)誤差等因素相關(guān)，須結(jié)合實際系統(tǒng)進(jìn)行具體分析。軸系閉環(huán)控制精度的理論極限為軸系角度測量精度，探討軸系角度測量精度與光束指向控制精度的關(guān)系，具有更為普遍的研究價值。以此為依據(jù)，結(jié)合Risley棱鏡工作特點，本文開展了軸系角度測量精度與光束指向控制精度關(guān)系的相關(guān)研究。

3.2 Risley棱鏡光束指向控制精度分析

通過對式(10)、式(11)數(shù)學(xué)求導(dǎo)可間接獲得Risley棱鏡旋轉(zhuǎn)過程中軸系角度測量精度對光束指向控制精度的影響。上面討論已經(jīng)對Risley棱鏡做了簡化約束，即認(rèn)為δ只與棱鏡頂角和折射率有關(guān)，而與入射角度和棱鏡方位無關(guān)。因此光束指向控制精度只與棱鏡1和棱鏡2的旋轉(zhuǎn)角度θ1和θ2有關(guān)。如果選擇單一變量θ1或θ2進(jìn)行研究，可分別獲得其對光束指向控制精度的影響規(guī)律，但是需要采用分步遍歷的方式進(jìn)行分析，較為復(fù)雜，且獨立分析θ1和θ2對光束指向控制精度的影響不利于整體規(guī)律的揭示。

考慮到上述原因，為同時獲得棱鏡1和棱鏡2軸系角度測量精度Δθ1和Δθ2與光束偏轉(zhuǎn)指向控制精度Δ|Φ|之間的關(guān)系，本文對|Φ|進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，如下所示：

由于軸系角度測量精度Δθ1和Δθ2為小量，因此可以忽略高階項，從而得到：

Δ|Φ|=|Φ(θ1+Δθ1,θ2+Δθ2)|-

假設(shè)兩棱鏡完全相同，其旋轉(zhuǎn)角度測量精度均為Δθ，因此可以得到如下不等式：

Δ|Θ|≤Δθ.

從式(18)可知偏轉(zhuǎn)指向控制精度Δ|Φ|與Δθ的關(guān)系取決于棱鏡1和棱鏡2旋轉(zhuǎn)角度偏差(θ1-θ2)和單個棱鏡光束偏向角δ的大小。在不同區(qū)域偏轉(zhuǎn)指向控制精度或低于或高于軸系角度測量精度，其界定限取決于:

護(hù)理結(jié)束后采取本院自制的滿意度調(diào)查表對兩組患者的滿意度進(jìn)行評價，以100分為滿分，得分大于90分，評價為滿意；得分在60～89分，評價為一般滿意；得分小于59分，評價為不滿意。

根據(jù)式(20)及式(10)，可知界定限所對應(yīng)的視場區(qū)域為圓，且在全視場范圍內(nèi)，在任一以視軸中心為圓心的圓周上每一點具有相同的光束指向控制精度。

從式(19)可知Risley棱鏡光束方位指向控制精度Δ|Θ|與角度傳感器測量精度Δθ相同，由于兩者關(guān)系簡單直觀，因而在下文中不再對Δ|Θ|與Δθ關(guān)系展開詳細(xì)討論。

4 光束指向控制精度仿真分析

4.1 仿真計算

光束偏轉(zhuǎn)指向控制精度與單棱鏡對光束的偏向角有關(guān)，因此分為小偏向角系統(tǒng)和大偏向角系統(tǒng)兩種情況進(jìn)行討論分析。大偏向角系統(tǒng)不滿足近軸近似條件，與小偏向角系統(tǒng)相比，采用上述方法計算光束指向控制精度會存在一定的偏差，但不影響大偏向角系統(tǒng)光束指向控制精度整體規(guī)律的描述。

4.1.1 小偏向角系統(tǒng)

設(shè)定棱鏡頂角15°，材料為k9(在550 nm處折射率為1.518 10)，根據(jù)式(9)計算可得|δ|=0.136 rad。

圖4 小偏向角系統(tǒng)隨(θ1-θ2)變化曲線Fig. 4 Curve of with (θ1-θ2) in small deflection angle system

4.1.2 大偏向角系統(tǒng)

圖5 大偏向角系統(tǒng)隨(θ1-θ2)變化曲線Fig. 5 Curve of with (θ1-θ2) in large deflection angle system

根據(jù)圖5中實際變化曲線與界定限的交點，通過計算可獲得Risley棱鏡系統(tǒng)工作過程中光束偏轉(zhuǎn)指向控制精度或低于或高于軸系角度測量精度的相應(yīng)視場區(qū)域。由于該曲線關(guān)于θ1-θ2=π對稱，而θ1-θ2=a與θ1-θ2=2π-a實際對應(yīng)的視場區(qū)域一致，因而只對圖5中的(θ1-θ2)∈[0,π)部分展開討論。

根據(jù)式(20)和式(10)，求得界定限對應(yīng)θ1-θ2=1.367 rad，界定限處光束指向偏轉(zhuǎn)角為|Φ|=1.228 rad。

根據(jù)上述計算結(jié)果，繪制圖6，從圖中可以看到視軸中心為奇異點，圓錐半角為1.228 rad區(qū)域內(nèi)光束偏轉(zhuǎn)指向控制精度低于軸系角度測量精度。而在圓錐半角為1.228 rad至1.584 rad范圍內(nèi)所對應(yīng)的視場區(qū)域光束偏轉(zhuǎn)指向控制精度高于軸系角度測量精度。

圖6 界定限所對應(yīng)的視場區(qū)域Fig. 6 Field of view corresponding to the dividing line

4.2 分析討論

從上述仿真計算結(jié)果可以看出，不同的Risley棱鏡光束指向系統(tǒng)具有不同的光束指向控制精度。小偏向角系統(tǒng)的光束指向控制精度整體上優(yōu)于大偏向角系統(tǒng)。式(18)實際是一個對系統(tǒng)光束指向控制精度有影響的諸多因素相互關(guān)聯(lián)的關(guān)系式，包括折射率、棱鏡頂角、軸系角度測量精度等。通過式(18)和式(19)，可以獲得全視場區(qū)域內(nèi)光束指向控制精度，為Risley棱鏡光束指向系統(tǒng)設(shè)計時的性能指標(biāo)提供參考。此外，可以獲得光束指向控制精度在整個視場區(qū)域內(nèi)的非線性變化情況以及相關(guān)影響因素，以此為依據(jù)對系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計和優(yōu)化。

本文所討論的光束指向控制精度為理論極限，在實際工程應(yīng)用中，可以針對具體系統(tǒng)的特性，設(shè)定合理的系數(shù)，獲得適用于實際系統(tǒng)的光束指向控制精度，也可以根據(jù)實際系統(tǒng)性能要求設(shè)計界定限判據(jù)來獲得相應(yīng)的保精度控制范圍。

5 結(jié) 論

本文針對Risley棱鏡光束指向系統(tǒng)的非線性工作特點，基于一級近軸近似矢量合成模型及正解分析方法，并結(jié)合伺服控制系統(tǒng)經(jīng)驗，通過進(jìn)一步數(shù)學(xué)處理，獲得了光束指向控制精度與軸系角度測量精度之間的非線性解析表達(dá)式。此外，針對小偏向角系統(tǒng)和大偏向角系統(tǒng)分別進(jìn)行了仿真計算分析。本文研究結(jié)果為Risley棱鏡光束指向控制精度指標(biāo)的設(shè)計提供了理論依據(jù)，也為光束指向系統(tǒng)的設(shè)計和優(yōu)化提供了指導(dǎo)，具有一定的工程實用價值。

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Analysis of beam steering control precision for Risley prismsbased on forward solution

ZHANG Lu-wei*, WANG Wei-bing, WANG Rui, WANG Ting-feng, GUO Jin

(State Key Laboratory of Laser Interaction with Matter,Changchun Institute of Optics,Fine Mechanicsand Physics,Chinese Academy of Sciences,Changchun 130033,China)*Corresponding author, E-mail:zhanglw@ciomp.ac.cn

In order to obtain the basis for index design of beam steering control precision and performance improvement for Risley prism system, the nonlinear relationship between Risley prism beam steering control precision and shaft angle measurement precision is investigated. First, based on the first-order paraxial approximation vector synthesis model, the analytical expression of the direction of the outgoing beam is derived from the double prisms position by the forward solution method. And then, based on the servocontrol experience of single degree of freedom shaft, the nonlinear analytical expression between the beam steering control precision and the shaft angle measurement precision is deduced by the Taylor series expansion method, and thus the dividing line criterion is obtained. Finally, the small deflection angle system and the large deflection angle system are simulated and analyzed respectively, and the change of the beam steering control precision over the whole field of view is obtained. Results show that the nonlinear analytical expression derived in this paper represents the relationship among the factors that affect the control precision of the system, which provides the basis for the design and optimization of the Risley prism beam steering system.

beam steering;Risley prism;control precision;forward solution;dividing line

2017-05-12；

2017-06-09

中國科學(xué)院國防科技創(chuàng)新基金項目(No.CXJJ-17-M132) Supported by National Defense Science and Technology Innovation Fund of Chinese Academy of Sciences (No. CXJJ-17-M132)

2095-1531(2017)04-0507-07

O439；TH703

A

10.3788/CO.20171004. 0507

張魯薇(1988—)，女，浙江杭州人，碩士，研究實習(xí)員，2014年于浙江大學(xué)獲得碩士學(xué)位，主要從事激光應(yīng)用技術(shù)方面的研究。E-mail: zhanglw@ciomp.ac.cn