猶豫模糊集的α-截集及其應(yīng)用

鄭婷婷，桑小雙，馬斌斌

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601)

猶豫模糊集的α-截集及其應(yīng)用

鄭婷婷，桑小雙，馬斌斌

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601)

經(jīng)典截集是聯(lián)系模糊集和清晰集的橋梁。猶豫模糊集作為經(jīng)典模糊集的拓展，它的相關(guān)理論研究還不夠深入，特別是它與經(jīng)典Ⅰ型模糊集以及其他模糊集之間的關(guān)系還缺少討論。通過(guò)分析猶豫模糊集與Ⅰ型模糊集、區(qū)間Ⅱ型模糊集之間的關(guān)系,引入了猶豫模糊集的α-截集的概念并討論其性質(zhì)，根據(jù)該截集推導(dǎo)出猶豫模糊集的分解(表示)定理和更普適的擴(kuò)展原則。通過(guò)分析相關(guān)性質(zhì)及仿真實(shí)例，說(shuō)明了猶豫模糊集的截集概念的合理性，為猶豫模糊多屬性決策和聚類(lèi)分析等問(wèn)題提供了新的方法。這些結(jié)果也極大豐富了猶豫模糊集的相關(guān)基礎(chǔ)理論。

猶豫模糊集；Ⅰ型模糊集；區(qū)間Ⅱ型模糊集；α-截集；分解定理；擴(kuò)展原則；多屬性決策；聚類(lèi)分析

中文引用格式：鄭婷婷，桑小雙，馬斌斌.猶豫模糊集的α-截集及其應(yīng)用[J]. 智能系統(tǒng)學(xué)報(bào)， 2017, 12(3): 362-370.

英文引用格式：ZHENG Tingting，SANG Xiaoshuang，MA Binbin.α-cut sets of hesitant fuzzy sets and their applications[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2017, 12(3): 362-370.

作為直覺(jué)模糊集和模糊多值集的一種新的拓展，猶豫模糊集(hesitant fuzzy set, HFS)由Torra于2009年提出[1-2]，它的隸屬函數(shù)是由[0,1]上所有可能的不同值的子集所組成的。Torra介紹了HFS的運(yùn)算及HFS套的概念。此外，為定義集成算子，Torra提出了HFS的擴(kuò)展原則，并將此原則用于證實(shí)他定義的運(yùn)算的合理性[1]。還有很多學(xué)者討論了HFS上的距離和相似性度量[3-4]、相關(guān)系數(shù)[5]及信息測(cè)度[6]等。之后，人們開(kāi)始逐漸將Torra的經(jīng)典猶豫模糊集拓展到更復(fù)雜的情形。Zhu等[7]利用猶豫集的隸屬度和非隸屬度提出了雙重猶豫模糊集的概念。Chen等[8]提出了一種隸屬度為區(qū)間值的區(qū)間值猶豫模糊集模型。Qian等[9]利用一些直覺(jué)模糊集的并作為隸屬度定義廣義猶豫模糊集。Yu[10]介紹了三角模糊猶豫模糊集，其隸屬度為一些三角模糊數(shù)。Rodriguez等[11]將HFS擴(kuò)展到語(yǔ)言環(huán)境，并提出了猶豫模糊語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集的概念。如今，HFS及其擴(kuò)展模型已經(jīng)成功應(yīng)用于決策[7,8,11-17]、評(píng)價(jià)[10]和聚類(lèi)[18-19]等領(lǐng)域。

然而，關(guān)于經(jīng)典猶豫模糊集的基本模糊理論還沒(méi)有被完全研究，目前主要的研究仍主要集中在經(jīng)典猶豫模糊集及其拓展形式的運(yùn)算法則與集成算子[15]、相關(guān)測(cè)度研究[6,18-19]等。本文首先提出HFS的α-截集的概念，將其定義為Ⅰ型模糊集，在此基礎(chǔ)上建立分解定理和更一般的擴(kuò)展原理，并討論其性質(zhì)。最后，通過(guò)實(shí)例說(shuō)明其在多屬性決策和聚類(lèi)分析中的應(yīng)用。

1 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)回顧Ⅰ型模糊集、區(qū)間Ⅱ型模糊集和猶豫模糊集等的相關(guān)概念。為后面討論需要，假設(shè)本文所討論的論域均為非空有限論域。

1.1 Ⅰ型模糊集(T1FS)

Ⅰ型模糊集也稱(chēng)為Zadeh模糊集或者經(jīng)典模糊集。

μA:X→[0,1]

xμA(x)

式中μA(x)表示x屬于A(yíng)的隸屬度。X上所有的Ⅰ型模糊集全體組成的集合為T(mén)1FS(X)。

定義2[21-22]設(shè)A∈T1FS(X)，對(duì)任意α∈[0,1]，定義α-截集Aα和α-強(qiáng)截集Aα，它們都是X上的精確集，分別滿(mǎn)足：

Aα

有關(guān)這一類(lèi)截集的性質(zhì)以及T1FS的分解定理和擴(kuò)展原理詳見(jiàn)文獻(xiàn)[21-24]。

1.2 區(qū)間Ⅱ型模糊集(IT2FS)

區(qū)間Ⅱ型模糊集是Ⅱ型模糊集的特例，Zadeh將它們均視為經(jīng)典模糊集的擴(kuò)展。

它滿(mǎn)足:

x

u

式中：

1.3 猶豫模糊集(HFS)

Torra和Narukawa在直覺(jué)模糊集和模糊多值集的基礎(chǔ)上首次提出猶豫模糊集的概念[1-2]，它可以描述決策中某些猶豫不定的情況，例如某個(gè)專(zhuān)家可能會(huì)給某個(gè)元素定義一組可能的隸屬度。

定義6[2,15]論域X上的猶豫模糊集E記為

式中

式中，hE(x)?[0,1]表示元素x屬于集合E的可能隸屬度，稱(chēng)為x的猶豫模糊隸屬度。X上的所有猶豫模糊集的全體組成的集合記為HFS(X)。

元素的猶豫隸屬度可能為[0,1]上的可數(shù)或不可數(shù)子集。若hE僅將X上的元素映射到[0,1]上的有限離散點(diǎn)集，這種猶豫模糊集稱(chēng)為經(jīng)典猶豫模糊集[27]。本文不加說(shuō)明，所討論的猶豫模糊集(HFS)均為經(jīng)典猶豫模糊集。

定義7[2]設(shè)E∈HFS(X)，其上、下界分別為

定義8[2]設(shè)E,E1,E2∈HFS(X)，定義猶豫模糊集的基本運(yùn)算如下：

2 猶豫模糊集的α-截集

2.1 猶豫模糊集與離散區(qū)間二型模糊集的關(guān)系

經(jīng)典猶豫模糊集中hE(x)是[0,1]上的一組有限離散值，這些離散值均是x在E上的可能隸屬度值，可視為主隸屬度值。比較式(1)和式(2)，不難發(fā)現(xiàn)，在離散情況下IT2FS的概念與經(jīng)典HFS的概念是一致的，且根據(jù)定義5和定義8可知，離散IT2FS的補(bǔ)、并和交運(yùn)算分別相當(dāng)于HFS的補(bǔ)、并和交。接下來(lái)的例子將進(jìn)一步說(shuō)明這一結(jié)果。

由定義5可知:

2.2 猶豫模糊集的截集

由上討論可知，離散IT2FS與HFS是有關(guān)聯(lián)的。Zadeh[25]、Liu[28]、Mendel[29]和Hamrawi[30-32]均討論過(guò)基于α-平面的T2FS的表現(xiàn)定理(實(shí)際上是分解定理)。離散IT2FS是T2FS的特殊形式，它也符合上述討論的表現(xiàn)定理。袁[32-34]也曾突破“截集必須是經(jīng)典集合”的限制，利用三值模糊集和五值模糊集分別作為直覺(jué)模糊集和區(qū)間直覺(jué)模糊集的截集的定義。進(jìn)一步,Shang[35]提出了n維模糊集的概念，并指出n維模糊集的截集是一個(gè)具有n+1個(gè)值的模糊集。受這些截集概念的啟發(fā)，本節(jié)將HFS的α-截集定義為T(mén)1FS。

(3)

(4)

例2 設(shè)E∈HFS(X)，其中X={x1,x2}，E={〈x1,{0.2,0.4,0.6}〉,〈x2,{0.3,0.7}〉}。由定義9有

故

1)Eα?Eα；Eα?Eα；

2)α1<α2?Eα1?Eα2,Eα1?Eα2；

3)(E∪F)α?Eα∪Fα；(E∪F)α?Eα∪Fα；

(E∪F)α?Eα∪Fα；(E∪F)α?Eα∪Fα；

4)(E∩F)α?Eα∩Fα；(E∩F)α?Eα∩Fα；

(E∩F)α?Eα∩Fα；(E∩F)α?Eα∩Fα；

(Eα)C=(EC)1-α；(EC)α=(E1-α)C；

(Eα)C=(EC)1-α；(EC)α=(E1-α)C；

7)E0=E0=E1=E；E1=E0=E0=?。

證明：易證性質(zhì)1)、2)和7),因此此處證明略。

證明3)，即(E∪F)α?Eα∪Fα成立。

對(duì)于x∈X，以下依據(jù)α的取值進(jìn)行討論：

故μEα(x)=μFα(x)=μ(E∪F)α(x)=0，從而μ(E∪F)α(x)=max{μEα(x),μFα(x)}=μEα∪Fα(x)=0。

r≥α}}=max{μEα(x),μFα(x)}=μEα∪Fα(x)。

歸納可知，(E∪F)α?Eα∪Fα。

用類(lèi)似的方法可以得到結(jié)論3)的其余情況和結(jié)論4)。

⑥這里僅證明結(jié)論6)中(Eα)C=(EC)1-α成立，其余類(lèi)似。

考慮到α-上截集與α-下截集的對(duì)稱(chēng)性，在下面的討論中，只討論α-上截集，并稱(chēng)其為E的α-截集。

3 猶豫模糊集的分解(表示)定理

由于HFS的α-截集是T1FS，根據(jù)T1FS的分解定理可得：

性質(zhì)2 設(shè)E∈HFS(X)，α∈[0,1]，E的α-截集可分解為

[0,1]}。

證明 定理1和定理2的證明可以由定義9和T1FS的分解定理直接得到。

例3 在例2的前提下，當(dāng)0≤α≤0.2時(shí)，有

4 猶豫模糊集的擴(kuò)展原則

Torra等人[1]曾介紹了HFS的擴(kuò)展原理。

定義10[1]令Θ:[0,1]n→[0,1]為一個(gè)函數(shù)，H為論域X上的n個(gè)猶豫模糊集，記為H={h1,h2,…,hn}，則Θ在H上的擴(kuò)展定義如下：

?x∈X

顯然這個(gè)定義僅僅是清晰集中運(yùn)算的擴(kuò)展，而不是一般HFS函數(shù)的擴(kuò)展。本文依據(jù)Zadeh提出的T1FS的擴(kuò)展原則，提出如下的HFS的擴(kuò)展原則。

定義11 (HFS的擴(kuò)展原則I) 設(shè)E∈HFS(X)，F(xiàn)∈HFS(Y)，若f:X→Y，則可以定義一個(gè)從HFS(X)到HFS(Y)的猶豫模糊函數(shù)，滿(mǎn)足

hf(E):Y→P([0,1])

yhf(E)(y)

且f也可誘導(dǎo)一個(gè)從HFS(Y)到HFS(X)的猶豫模糊逆函數(shù)，滿(mǎn)足

hf-1(F):X→P([0,1])

x

例4 設(shè)E∈HFS(X)，F(xiàn)∈HFS(Y)，其中X={-1,1,2}，Y={0,1,4}，E={〈-1,{0.2,0.3,0.8}〉,〈1,{0.4,0.6}〉,〈2,{0.1,0.2}〉}，F(xiàn)={〈0,{0.2,0.6}〉,〈1,{0.3,0.4}〉,〈4,{0.7}〉},令f:X→Y,xf(x)=x2，則由定義11知f(E)={〈0,{0}〉,〈1,{0.4,0.6,0.8}〉,〈4,{0.1,0.2}〉}，f-1(F)={〈-1,{0.3,0.4}〉,〈1,{0.3,0.4}〉,〈2,{0.7}〉}均為猶豫模糊集。

性質(zhì)3 設(shè)f:X→Y，E,G∈HFS(X)，T,H∈HFS(Y)，則?α∈[0,1]，有

1)f(E)α?f(Eα)，f(E)α?f(Eα)；

2)f-1(F)α=f-1(Fα)，f-1(F)α=f-1(Fα)；

3)f(E∪G)α?f(E)α∪f(wàn)(G)α，

f-1(F∩H)α?f-1(F)α∩f-1(H)α；

證明 1)?y∈Y，若f-1(y)=?，則hf(E)(y)=0。從而?α∈[0,1]，有μf(Eα)(y)=μf(E)α(y)=0。若f-1(y)≠?，則分成以下兩種情形討論：

由性質(zhì)1的結(jié)論3)得，μf(E)α(y)≤μf(Eα)(y)?f(E)α?f(Eα)。

2)對(duì)于?x∈X，分以下分兩種情況討論：

①當(dāng)μf-1(F)α(x)=0時(shí)，f-1(F)α=? 。說(shuō)明?r∈hf-1(F)(x),r<α。考慮到r∈hF(y)，這里y=f(x),因此μFα(y)=0?μf-1(Fα)(x)=0。故μf-1(F)α(x)=μf-1(Fα)(x)。

③f(E∪G)α?f(E∪G)α)?f(Eα∪Gα)=

f(Eα)∪f(wàn)(Gα)?f(E)α∪f(wàn)(G)α；

f-1(F∩H)α=f-1((F∩H)α)?f-1(Fα∩Hα) =f-1(Fα)∩f-1(Hα)=f-1(F)α∩f-1(H)α。

進(jìn)一步，此函數(shù)也可拓展到多元函數(shù)情形。

定義12 (HFS的擴(kuò)展原則Ⅱ) 設(shè)Ei∈HFS(Xi),(i=1,2,…,n)，F(xiàn)∈HFS(Y)，若f:X1×X2×…×Xn→Y，則可推導(dǎo)出一個(gè)從HFS(X1)×HFS(X2)×… ×HFS(Xn)到HFS(Y)的猶豫模糊函數(shù)，滿(mǎn)足:

hf(E1,E2,…,En):Y→P([0,1])

yhf(E1,E2,…,En)(y)

i=1,2,…,n}}

當(dāng)f-1(y)=?時(shí)，hf(E)(y)=0。

擴(kuò)展原則Ⅱ不僅適用于函數(shù)，也適用于關(guān)系運(yùn)算。當(dāng)考慮關(guān)系運(yùn)算時(shí)，它與定義10是一致的。

5 應(yīng)用實(shí)例

5.1HFS的α-截集在多屬性決策中的應(yīng)用

猶豫模糊多屬性決策問(wèn)題中需要考慮方案的綜合屬性的集結(jié)與排序問(wèn)題，這需要對(duì)猶豫模糊數(shù)進(jìn)行相似性度量和比較。由于猶豫模糊數(shù)本身就較復(fù)雜，從而導(dǎo)致整個(gè)決策算法較復(fù)雜且效率不高。通過(guò)截集的方法可以使猶豫模糊集轉(zhuǎn)換成Ⅰ型模糊集，從而在數(shù)據(jù)預(yù)處理時(shí)就能降低算法復(fù)雜度。且由于閾值α的可變性，使得聚類(lèi)結(jié)果能更加靈活地符合實(shí)際需求。

定義13 設(shè)E∈HFS(X)，α∈[0,1]，x,y∈X，定義Eα(x)>Eα(y)的可能度P(Eα(x)>Eα(y))滿(mǎn)足

顯然，P(Eα(x)>Eα(y))滿(mǎn)足下列性質(zhì)：

P(Eα(x)>Eα(y))+P(Eα(y)>Eα(x))=1。

以下為采用文獻(xiàn)[36]所舉的例子。

例5 設(shè)某一投資公司可對(duì)5個(gè)能源項(xiàng)目xi(i=1,2,…,5)進(jìn)行投資，幾位專(zhuān)家分別按照4個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)(屬性)來(lái)進(jìn)行評(píng)估，這4個(gè)指標(biāo)包括技術(shù)(E1)、環(huán)境(E2)、社會(huì)政策(E3)和經(jīng)濟(jì)狀況(E4)，各指標(biāo)的權(quán)重向量為ω=(0.15,0.3,0.2,0.35)。已知專(zhuān)家的評(píng)估結(jié)果用下列猶豫模糊決策矩陣表示，如表1所示.

表1 投資評(píng)估結(jié)果

具體算法如下：

1)給定α∈[0,1]，任意x∈X，計(jì)算

2)根據(jù)定義13，令pij=P(Eα(xi)>Eα(xj))，得到可能度矩陣P=(pij)5×5。

本例所得pi大小如表2所示，從該表中不難發(fā)現(xiàn)，隨著α取值不同，pi的大小順序并不完全一致。但總體來(lái)看x5的評(píng)分都是最高的，所以我們可以認(rèn)定選擇項(xiàng)目x5進(jìn)行投資。這結(jié)果與文獻(xiàn)[36]是一致的。同時(shí)由于α的取值可以根據(jù)需要進(jìn)行改變，從而可以更加靈活地進(jìn)行決策。

表2 pi的可能值

5.2HFS的α-截集在聚類(lèi)分析中的應(yīng)用

Chen[18]和Liao[37]都曾討論過(guò)猶豫模糊環(huán)境下的聚類(lèi)算法，他們的算法都是需要先通過(guò)某種猶豫模糊數(shù)的相似測(cè)度度量構(gòu)建相關(guān)矩陣，從而進(jìn)行聚類(lèi)。本文采取的原理是通過(guò)截集將HFS轉(zhuǎn)換成T1FS，將猶豫模糊數(shù)聚類(lèi)問(wèn)題轉(zhuǎn)換成經(jīng)典模糊數(shù)聚類(lèi)問(wèn)題，從而使問(wèn)題解決變得簡(jiǎn)單。

例6 上市公司的經(jīng)營(yíng)績(jī)效是公司金融領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。例如，研究農(nóng)業(yè)類(lèi)上市公司的經(jīng)營(yíng)績(jī)效，可通過(guò)考察其盈利能力(A1)、償債能力(A2)、營(yíng)運(yùn)能力(A3)、成長(zhǎng)能力(A4)和股本擴(kuò)張能力(A5)等[38]情況獲得。本例中基于這5個(gè)指標(biāo)對(duì)國(guó)內(nèi)十家農(nóng)業(yè)類(lèi)上市公司xi(i=1,2,…,10)的經(jīng)營(yíng)績(jī)效進(jìn)行聚類(lèi)分析。不同專(zhuān)家對(duì)這些公司關(guān)于這5個(gè)指標(biāo)的考核也有不同的評(píng)價(jià)。現(xiàn)對(duì)他們的評(píng)價(jià)值采用猶豫模糊集的形式給出，如表3。

表3 經(jīng)營(yíng)績(jī)效評(píng)估結(jié)果

具體算法如下：

1)給定α∈[0,1]，則可得到第i個(gè)公司關(guān)于第k個(gè)指標(biāo)在閾值α上的隸屬度，即μEkα(xi)。

2)采用最大最小法建立不同公司間的模糊相似矩陣R=(rij)10×10，其中

表4給出了本例聚類(lèi)結(jié)果。

表4 聚類(lèi)結(jié)果

由表4可以看出，若國(guó)內(nèi)10家農(nóng)業(yè)類(lèi)上市公司分為2組，則x1、x3、x5、x6、x7、x8、x9、x10這8家上市公司的經(jīng)營(yíng)績(jī)效略高于x2、x4兩家上市公司的經(jīng)營(yíng)績(jī)效；若國(guó)內(nèi)10家農(nóng)業(yè)類(lèi)上市公司分為6組，則經(jīng)營(yíng)績(jī)效按照x1、x3、x7、x10四家上市公司，x2、x4兩家上市公司，及x5、x6、x8、x9依次降低?？傮w來(lái)看，在所有國(guó)內(nèi)10家農(nóng)業(yè)類(lèi)上市公司中，x1、x3、x10的經(jīng)營(yíng)績(jī)效能力最高，3家上市公司的能力基本一致。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)分析經(jīng)典猶豫模糊集與離散區(qū)間Ⅱ型模糊集之間的關(guān)系，提出了猶豫模糊集的α-截集的概念，并討論其性質(zhì)及應(yīng)用。利用這種截集將經(jīng)典猶豫模糊集分解成若干個(gè)Ⅰ型模糊集，并將此概念應(yīng)用于猶豫模糊集的分解(表現(xiàn))定理和兩個(gè)更一般的擴(kuò)展原則。這極大地豐富了猶豫模糊集的基本理論。同時(shí)，我們也舉例說(shuō)明了該截集方法在多屬性決策和聚類(lèi)分析中的應(yīng)用。今后我們將繼續(xù)將該截集的方法推廣至其他擴(kuò)展的猶豫模糊集理論中，以便解決更多的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。

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α-cut sets of hesitant fuzzy sets and their applications

ZHENG Tingting， SANG Xiaoshuang， MA Binbin

(School of Mathematical Sciences, Anhui University, Hefei 230601, China)

The typical cut set is a bridge between fuzzy sets and clarity sets. The hesitant fuzzy set (HFS) theory, as an extension of the classical fuzzy set theory, has not been thoroughly studied till date; furthermore, there is less discussion regarding the relation between the HFS and classical type-I fuzzy set theory or other fuzzy set theories. This study analyzed the relations between the HFS and type-1 fuzzy set theory and between HFS and interval type-2 fuzzy set theory, proposed the concept ofα-cut sets of HFS, and discussed their properties. Meanwhile, the decomposition (representation) theorems and the more general extension principles of HFS based onα-cut sets were deduced. The corresponding properties were studied. The results of the simulation prove the rationality of theα-cut set concept and provide a novel method for hesitant fuzzy multiple attribute decision-making and clustering analysis. All these conclusions deeply enrich the fundamental theory of HFS.

hesitant fuzzy set; type-1 fuzzy set; interval type-2 fuzzy set;α-cut set; decomposition theorem; extension principle; multiple attribute decision-making; clustering analysis

10.11992/tis.201704026

http://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20170703.1853.012.html

2017-04-20. 網(wǎng)絡(luò)出版日期：2017-07-03.

安徽省自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目(1708085MF163)；安徽省教育廳高校省級(jí)優(yōu)秀青年人才基金重點(diǎn)項(xiàng)目(2013SQRL005ZD).

鄭婷婷.E-mail：tt-zheng@163.com.

TP18;O159

A

1673-4785(2017)03-0362-09

鄭婷婷，女，1978年生，副教授，博士，主要研究方向?yàn)榇植诩?、模糊集和粒?jì)算理論。主持安徽省自然科學(xué)基金1項(xiàng)，安徽省教育廳高校優(yōu)秀青年人才項(xiàng)目1項(xiàng)，近年來(lái)發(fā)表學(xué)術(shù)論文20余篇。

桑小雙，女，1990年生，碩士研究生，主要研究方向?yàn)槟：C(jī)器學(xué)習(xí)。

馬斌斌，男，1992年生，碩士研究生，主要研究方向?yàn)榇植诩?、機(jī)器學(xué)習(xí)。