含有一般性熱轉(zhuǎn)移過程的低耗散型熱機的權(quán)衡優(yōu)化研究?

盧燦燦 白龍

(中國礦業(yè)大學(xué)物理學(xué)院,徐州 221116)(2016年8月17日收到;2016年9月27日收到修改稿)

含有一般性熱轉(zhuǎn)移過程的低耗散型熱機的權(quán)衡優(yōu)化研究?

盧燦燦 白龍?

(中國礦業(yè)大學(xué)物理學(xué)院,徐州 221116)(2016年8月17日收到;2016年9月27日收到修改稿)

實際熱機在工作過程中必然伴隨熱轉(zhuǎn)移過程.本文提出了含有一般性熱轉(zhuǎn)移過程的低耗散熱機模型.利用權(quán)衡優(yōu)化方法對該低耗散熱機的性能進行了優(yōu)化分析,推導(dǎo)出了權(quán)衡判據(jù)下熱機功率和效率表達式.詳細討論了不同熱轉(zhuǎn)移過程支配下的熱機功率以及效率特征,其結(jié)果有助于深入理解實際熱機的優(yōu)化機制.

低耗散熱機,熱轉(zhuǎn)移律,權(quán)衡判據(jù),熱機效率

1 引 言

經(jīng)濟與社會的快速發(fā)展導(dǎo)致對能源的需求日益增加,大量能源被消耗的同時伴隨著全球變暖和不可再生能源日益枯竭的問題,這對人類的可持續(xù)發(fā)展提出了嚴峻挑戰(zhàn).熱機是將吸收的熱能轉(zhuǎn)變?yōu)橛杏霉Φ难b置,在國民生產(chǎn)中發(fā)揮著重要作用.自工業(yè)革命以來,提高熱機的效率和優(yōu)化熱機的性能一直是基礎(chǔ)科學(xué)和工程領(lǐng)域中普遍關(guān)注的問題.熱力學(xué)第二定律指出,基于卡諾循環(huán)而設(shè)計的熱機的效率ηC=1?Tc/Th,其中Th和Tc分別是高低溫?zé)嵩吹臏囟?雖然基于準靜態(tài)過程的卡諾熱機是理想化的并且其輸出功率為零,但是它給出了實際熱機執(zhí)行的上限.1975年,Curzon和Ahlborn[1]基于內(nèi)部可逆假設(shè),提出了一個唯象的有限時間的卡諾熱機模型,并且給出了最大功率時的效率(簡稱為CA效率),他們的先驅(qū)性工作以及之后與其相關(guān)的大量研究為有限時間熱力學(xué)理論的形成奠定了堅實基礎(chǔ).隨后,van den Broeck[2]進一步證明了CA效率是線性不可逆熱力學(xué)理論的一個基本結(jié)果,并建立了有限時間熱力學(xué)與線性不可逆熱力學(xué)之間的本構(gòu)關(guān)系.

事實上,有限時間熱力學(xué)框架下的熱機性能優(yōu)化是非常重要的科學(xué)問題.傳統(tǒng)的熱機性能優(yōu)化通常是構(gòu)造目標函數(shù)方法,基于目標函數(shù)與系統(tǒng)參數(shù)關(guān)系來優(yōu)化目標函數(shù),進而獲得滿足熱機性能優(yōu)化的有效方案[3,4].具體表現(xiàn)在:1)基于熱機功率和效率的表達式,利用數(shù)學(xué)分析中的求極值方法獲得相應(yīng)的最大功率和效率的公式,這種方法獲得的最大功率與最大效率通常不匹配,即當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)滿足獲得最大功率的條件時,不一定獲得最大效率,反之亦然;2)根據(jù)最小熵產(chǎn)生原理的熱機優(yōu)化分析,但獲得最小熵的表達式不僅需要精細的計算而且非常困難;3)輻射能分析方法,但該方法依賴于環(huán)境參數(shù).上述關(guān)于熱機性能的優(yōu)化方法通常適用于個例而缺乏普適性.因此,對實際熱機的工作過程進行優(yōu)化必須滿足以下原則:1)在以提高熱機性能為目的的優(yōu)化過程中,控制熱機工作的參數(shù)應(yīng)具有導(dǎo)向性;2)利用熱力學(xué)判據(jù)優(yōu)化熱機不應(yīng)該依賴于環(huán)境參數(shù);3)應(yīng)考慮熱機工作過程中出現(xiàn)的不可避免的耗散效應(yīng).2001年,西班牙的Hernandez等[5]針對熱機的優(yōu)化問題提出了權(quán)衡判據(jù)方法,該方法通過對所構(gòu)造的品質(zhì)函數(shù)的分析,能夠給出熱機在滿足最大效率和最小能量損失平衡條件下的工作區(qū)域,權(quán)衡判據(jù)方法提供了一種優(yōu)化熱機性能的統(tǒng)一理論框架,并且在宏觀熱機和微觀熱器件的性能優(yōu)化過程中均得到了廣泛應(yīng)用[6?9].

另一方面,Esposito等[10]根據(jù)工質(zhì)和高低溫?zé)嵩唇佑|過程中的熵產(chǎn)生過程提出了一個低耗散卡諾熱機模型,即LD模型,

其中,?S(＞0)是準靜態(tài)等溫過程中的熵變,τh和τc分別是工質(zhì)與高低溫?zé)嵩吹慕佑|時間,系數(shù)Σh和Σc為等溫過程中的耗散強度.在對稱性耗散情況(Σh=Σc)下,LD模型可以再現(xiàn)CA效率.因此,LD模型提供了理解不同類型熱機在最大功率時效率的統(tǒng)一框架.日本學(xué)者Izumida等[11?13]推廣線性不可逆熱力學(xué)理論到低階非線性情形,并提出了最小非線性不可逆熱機模型,該模型能夠較好地描述有限時間循環(huán)熱機可能的熱耗散效應(yīng).作為最小非線性不可逆熱機模型的例子,Izumida等[11?13]提出了一個滿足線性熱轉(zhuǎn)移的熱漏項低耗散熱機,并且給出了與該模型對應(yīng)的Onsager系數(shù)表達式.然而,我們注意到工質(zhì)與熱源之間的能量轉(zhuǎn)移過程是復(fù)雜的,往往受非線性規(guī)律的支配.這使得Izumida等[13]提出的基于傅里葉熱傳導(dǎo)規(guī)律(線性規(guī)律)的含有熱漏的低耗散熱機模型不具有普遍性.基于以上論述,本文拓展Izumida等[13]提出的熱機模型至一般性情形,并給出含有一般性熱漏項的低耗散熱機模型.在此基礎(chǔ)上,利用權(quán)衡判據(jù)方法對含有一般性低耗散熱機進行優(yōu)化分析,給出了權(quán)衡判據(jù)條件下含有一般性熱轉(zhuǎn)移過程的低耗散熱機功率和效率的表達式,進一步討論了受不同熱轉(zhuǎn)移規(guī)律支配的低耗散型熱機的優(yōu)化特征.

2 物理模型和公式

本文研究的含有一般性熱轉(zhuǎn)移過程的低耗散性熱機模型用如下方程描述:

其中,Th和Tc是高低溫?zé)嵩吹臏囟??S＞0是等溫可逆過程中的熵變,τh和τc為工質(zhì)分別與高低溫?zé)嵩吹慕佑|時間,Σh和Σc表征了工質(zhì)與高低溫?zé)嵩唇佑|的不可逆過程中的耗散強度.方程(2)的第三項為源于熱轉(zhuǎn)移過程的熱漏項,k是熱導(dǎo)率,熱漏項中的指數(shù)(m,n)的不同取值反映了不同的熱轉(zhuǎn)移過程.當(dāng)m=n=1時,從方程(2)給出的熱機模型可以自然地得到Izumida等[13]提出的含有線性熱漏項的低耗散熱機模型.因為熱機優(yōu)化的權(quán)衡判據(jù)方法不依賴于環(huán)境參數(shù)和無需計算熵產(chǎn)生率,而且能夠給出熱機在最小能量損失情況下的最大效率.所以,基于優(yōu)化熱機的權(quán)衡判據(jù)方法構(gòu)造的目標函數(shù)為

式中,α= τc/τh和β= Σc/Σh.這樣,權(quán)衡判據(jù)下的接觸時間可以表示為

將方程(7)和(8)代入熱機功率公式P=(Qh?Qc)/(τh+τc),可以獲得權(quán)衡判據(jù)下熱機的功率為

進一步可以得到無量綱功率為

從方程(9)或者(10)可以看出,權(quán)衡判據(jù)下熱機的功率不依賴于非線性熱漏項,而與接觸時間、耗散項以及卡諾效率有關(guān).同樣,根據(jù)熱機效率公式η=1?Qc/Qh,可以得到權(quán)衡判據(jù)下熱機的效率為

方程(11)中的H1,H2和 H3分別為

當(dāng)不存在熱漏項(k=0)時,權(quán)衡判據(jù)下的效率為

方程(10),(13)和(14)為進一步深入理解和研究權(quán)衡判據(jù)下熱機的優(yōu)化特征提供了理論依據(jù).

3 數(shù)值計算結(jié)果與討論

接觸時間和耗散強度是影響熱機功率和效率的重要因素.因此,本節(jié)將著重討論接觸時間比α和耗散強度比β是如何影響平衡判據(jù)條件下的熱機功率和效率的.圖1(a)給出了在固定耗散比β情況下功率和卡諾效率的關(guān)系曲線,發(fā)現(xiàn)隨著ηC的增加,功率單調(diào)增加.然而,接觸時間比的增加導(dǎo)致了功率明顯減小.相似的特征也體現(xiàn)在圖1(b)中,但值得注意的是當(dāng)耗散比較小時,熱機的工作區(qū)域較寬;隨著β的增加,熱機的工作區(qū)域明顯減小,而且曲線的非線性特征明顯減弱.以上結(jié)果說明,α和β過大,熱機的輸出功率和工作區(qū)間明顯減小,進而不利于熱機的工作執(zhí)行.

圖1 (網(wǎng)刊彩色)(a)當(dāng)β=0.1而α取不同值時,約化功率P?與卡諾效率ηC的關(guān)系;(b)當(dāng)α=0.1而β取不同值時,約化功率與卡諾效率ηC的關(guān)系Fig.1.(color on line)(a)Forβ =0.1 and d iff erentα,the reduced powervs the Carnot effi ciency ηC;(b)forα=0.1 and d iff erentβ,the reduced powervs the Carnot effi ciency ηC.

圖2 (網(wǎng)刊彩色)當(dāng)ηC=0.5和k=0時,(a)在改變α情況下,約化效率η?/ηC與β的關(guān)系;(b)在改變β情況下,約化效率η?/ηC與α的關(guān)系Fig.2.(color on line)ForηC=0.5 and k=0,(a)the reduced effi ciency η?/ηCvsβ with the change ofα;(b)the reduced effi ciency η?/ηCvsα with the change ofβ.

為了更好地揭示熱轉(zhuǎn)移過程是如何影響熱機工作的,我們首先基于方程(13)研究了權(quán)衡判據(jù)條件下不含熱漏過程的熱機效率.基于可逆循環(huán)過程的卡諾熱機效率是實際熱機效率的極限,本文用含熱漏的低耗散熱機的效率η?與所對應(yīng)的卡諾效率ηC比值η?/ηC作為物理量來衡量真實熱機的優(yōu)化執(zhí)行,能夠反映出真實熱機的效率與理想化熱機效率的接近程度,這對于設(shè)計和優(yōu)化實際熱機是有幫助的.從圖2(a)可以發(fā)現(xiàn),隨著耗散比β的增加,熱機的效率單調(diào)減小;另外,接觸時間比α的增加導(dǎo)致了熱機效率增加,但約化效率變化的程度較為平緩.圖2(b)中η?/ηC-α的關(guān)系曲線明顯反映出耗散比β的增強減小了熱機的工作區(qū)域;熱機效率隨著α單調(diào)遞增的變化趨勢從非線性型逐漸向線性型過渡.實際熱機在工作中必然伴隨著熱轉(zhuǎn)移過程,這在某種程度上影響了熱機的效率.相比于k=0時的效率曲線(見圖2),存在熱轉(zhuǎn)移過程時的熱機效率的變化非常顯著.

圖3給出了含三種熱轉(zhuǎn)移過程和不同接觸時間比α條件下的η?/ηC與耗散比β的關(guān)系曲線.當(dāng)α較小時,η?/ηC-β呈現(xiàn)出單調(diào)遞減的變化特征,隨著α的增加,η?/ηC-β的單調(diào)變化特征逐漸減弱,最終轉(zhuǎn)變?yōu)閱握{(diào)遞增的行為.值得注意的是,雖然對應(yīng)于不同的熱轉(zhuǎn)移過程,效率曲線的變化行為相似,但是相應(yīng)效率曲線的數(shù)值不同.當(dāng)n=1和m=1.25時,即熱轉(zhuǎn)移過程滿足杜龍-玻替定律,對應(yīng)不同α的效率是最大的,如圖3中的實線所示.當(dāng)熱轉(zhuǎn)移過程滿足牛頓定律(n=m=1)時,效率值有所降低(見圖3中的劃線);進一步,當(dāng)熱轉(zhuǎn)移過程滿足斯特潘-玻爾茲曼定律(n=4,m=1)時,熱機效率的減弱非常顯著,如圖3中的點劃線所示.

圖3 (網(wǎng)刊彩色)當(dāng)ηC=0.5和k0時,在改變α的條件下,約化效率η?/ηC與β的關(guān)系,其中,n=1,m=1.25(實線);m=n=1(劃線);n=4,m=1(點劃線)Fig.3.(color on line)ForηC=0.5 and k/0,the reduced effi ciency η?/ηCvsβ with the change ofα:n=1,m=1.25(solid lines);m=n=1(dashed lines);n=4,m=1(dash-dotted lines).

圖4給出了對應(yīng)于三種典型的熱轉(zhuǎn)移過程以及不同耗散比β時的熱機效率與接觸時間比α的關(guān)系曲線.發(fā)現(xiàn)權(quán)衡判據(jù)下的η?/ηC隨著α變化的呈現(xiàn)出明顯的非線性特征,即隨著α的增加而達到極大值,然后逐漸減弱的變化趨勢.進一步發(fā)現(xiàn)耗散比β的增加導(dǎo)致了熱機可工作區(qū)域的減小,同時熱機效率的極大值右移.另外,比較圖4(a)—(c)可以看出,隨著m的減小和n的增加,相應(yīng)的熱機效率值明顯減弱.上述結(jié)果表明,不同的熱轉(zhuǎn)移過程極大地影響了熱機性能.

圖4 (網(wǎng)刊彩色)當(dāng)ηC=0.5和k0時,在改變β的條件下,約化效率η?/ηC與α的關(guān)系 (a)n=1,m=1.25;(b)m=n=1;(c)n=4,m=1Fig.4.(color on line)ForηC=0.5 and k/0,the reduced effi ciency η?/ηCvsα with the change ofβ:(a)n=1,m=1.25;(b)m=n=1;(c)n=4,m=1.

圖5 (網(wǎng)刊彩色)(a)當(dāng)α=0.3和β=0.1時,對應(yīng)不同的熱轉(zhuǎn)移律時的熱機效率η?與ηC的關(guān)系;(b)當(dāng)α=0.3和β=0.7時,對應(yīng)不同的熱轉(zhuǎn)移律時的熱機效率η?與ηC的關(guān)系Fig.5.(color on line)(a)Forα=0.3 andβ=0.1,the effi ciency of the heat engineη?vsηCwith diff erent heat transfer laws;(b)forα =0.3 andβ =0.7,the effi ciency of the heat engineη?vsηCwith d iff erent heat transfer laws.

為了更好地理解權(quán)衡判據(jù)下熱機效率與系統(tǒng)參數(shù)的關(guān)系,圖5給出了不同耗散比β條件下的優(yōu)化的熱機效率η?與卡諾效率ηC的關(guān)系曲線.發(fā)現(xiàn)隨著ηC的增加,η?呈現(xiàn)出單調(diào)遞增的特性.但不同熱轉(zhuǎn)移過程支配下的熱機效率特征曲線呈現(xiàn)出線性或者非線性行為,n的增加導(dǎo)致η?-ηC曲線具有明顯的非線性特征.在ηC較小和較大時,η?的差別較小.而在中間區(qū)域,η?的差異是非常明顯的.另外,耗散比β增加不僅減小了熱機的工作區(qū)域,而且熱機效率的差異也進一步降低(如圖5(b)所示).最后,圖6給出了受不同熱轉(zhuǎn)移過程支配以及不同接觸時間比條件下η?與ηC的關(guān)系.η?與ηC的關(guān)系也呈現(xiàn)出單調(diào)遞增的特性.但是,當(dāng)β固定不變,α增加時,熱機的工作區(qū)域呈現(xiàn)出與圖5相反的特征.進一步發(fā)現(xiàn),當(dāng)α較大時,熱機的效率明顯減小.因此,從應(yīng)用角度來看,β和α的較小取值有利于熱機以較大的效率進行工作.

圖6 (網(wǎng)刊彩色)(a)當(dāng)β=0.3和α =0.1時,對應(yīng)不同的熱轉(zhuǎn)移律時的熱機效率η?與ηC的關(guān)系;(b)當(dāng)β=0.3和α=0.7時,對應(yīng)不同的熱轉(zhuǎn)移律時的熱機效率η?與ηC的關(guān)系Fig.6.(color on line)(a)Forβ=0.3 andα=0.1,the effi ciency of the heat engineη?vsηCwith d iff erent heat transfer laws;(b)forβ=0.3 andα=0.7,the effi ciency of the heat engineη?vsηCwith d iff erent heat transfer laws.

4 結(jié) 論

本文提出了含普遍性熱轉(zhuǎn)移過程的低耗散熱機模型,基于權(quán)衡判據(jù)原理,獲得了熱機的功率和效率的解析表達式.在此基礎(chǔ)上,我們較為系統(tǒng)地研究了權(quán)衡判據(jù)下的熱機功率及其效率.發(fā)現(xiàn)熱機的功率以及無熱轉(zhuǎn)移過程的效率均不依賴于熱漏項,而與接觸時間、熱耗散以及相應(yīng)的卡諾效率有關(guān).熱機的輸出功率隨著卡諾效率呈現(xiàn)出單調(diào)遞增的趨勢,但是較大的接觸時間比和耗散比均不利于熱機在較大范圍內(nèi)的功率輸出.在無熱轉(zhuǎn)移過程的熱漏項且固定α(β)時,熱機的效率呈現(xiàn)出隨著β(α)的增加而減小(增加)的特征.熱轉(zhuǎn)移過程的出現(xiàn)極大地影響了熱機的性能,受3種熱轉(zhuǎn)移規(guī)律影響的熱機的η?/ηC-β曲線的變化行為相似,隨著α的增加,呈現(xiàn)出從單調(diào)減小到單調(diào)遞增過度的變化特征.η?/ηC-α曲線呈現(xiàn)出先單調(diào)增加然后單調(diào)減少的變化特征,耗散比β的增加導(dǎo)致了熱機效率極大值的右移.另外,隨著m的減小和n的增加,相應(yīng)的熱機效率值明顯減小.受不同熱轉(zhuǎn)移過程支配的熱機的η?-ηC曲線在ηC較小或者較大時,η?趨于一致,而在中間區(qū)域的差異較為明顯.β較大或者α較小,熱機可以正常工作的區(qū)域明顯減小.本文的研究結(jié)果不僅有助于深入理解不同熱轉(zhuǎn)移過程支配的實際熱機的優(yōu)化特征,而且對設(shè)計和制造受控于不同熱轉(zhuǎn)移過程的熱機時如何選擇工作物質(zhì)以及熱源是有價值的.

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PACS:05.70.Ln,05.20.–y,05.70.–aDOI:10.7498/aps.66.030504

Trade-off optimization for low-d issipation heat engine with generic heat transfer process?

Lu Can-Can Bai Long?

(School of Physics,China University ofMining and Technology,Xuzhou 221116,China)(Received 17 August 2016;revised manuscript received 27 September 2016)

The heat transfer process inevitab ly occurs in the operation of real heat engine.In this article,a low-dissipation heat engine with generic heat transfer process is proposed based on the low-dissipation Carnot model.The formu las for the power and the effi ciency of heat engine with generic heat transfer laware derived,and the low-dissipation heat engine performance is alsooptimized by the trade-off optimization method,which off ers a unified scheme tounderstand the behaviors of heat engines with generic heat transfer processes.Furthermore,the characteristics of the power as well as the effi ciencies for thermal engines with the diff erent heat transfer processes are discussed in detail,and it is found that the power and the effi ciency without heat transfer process are independent of heat leak,but are related tocontact time,heat dissipation and Carnot effi ciency.The power output of heat enginemonotonically increases as Carnot effi ciency increases,but the large contact time ratioand the large dissipation ratiomake it diffi cult toprovide the big power output.W hen the heat leak is absent and α(β)is fixed,the effi ciency of heat engine decreases(increases)with the increase ofβ(α).It is noted that the heat transfer process greatly influences the performance of heat engine,and η?/ηCversusβ displays the similar properties under three heat transfer laws.It is clearly shown thatη?/ηCversusβ shows the transition fromthemonotonic decrease tomonotonic increase with α increasing,butη?/ηCversusα is opposite tothe former,and themaximumvalue ofη?/ηCalsoshifts rightwards with the increase ofβ.Additionally,the corresponding effi ciency of heat engine diminishes significantly as mdecreases and n increases.W hen heat engines are dominated by diff erent heat transfer laws,the curves ofη?versusηCare consistent asηCis relatively large or small,but it is observed that there exist the evident diff erences among three characteristic curves in the midd le regime.The relatively largeβ or smallαwill alsolead tothe reduction of the working regime where heat engine can function normally.Our results are very helpful in understanding the design principle and the optimization mechanismfor actual thermal engines and refrigerators.

low-dissipation heat engines,heat transfer laws,trade-off criterion,effi ciency of the heat engine

10.7498/aps.66.030504

?中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金(批準號:2015XKMS082)資助的課題.

?通信作者.E-mail:bailong2200@163.com

*Project supported by the Fundamental Research Funds for the Central Universities(G rant No.2015XKMS082).

?Corresponding author.E-mail:bailong2200@163.com