單樁水平承載力魯棒性設(shè)計與分析

張 峰，王旭東，周 峰，成建陽

(1. 南京工業(yè)大學(xué)交通運(yùn)輸工程學(xué)院，江蘇南京 210009； 2. 中建海峽建設(shè)發(fā)展有限公司，福建福州 350015)

單樁水平承載力魯棒性設(shè)計與分析

張 峰1，2，王旭東1，周 峰1，成建陽1

(1. 南京工業(yè)大學(xué)交通運(yùn)輸工程學(xué)院，江蘇南京 210009； 2. 中建海峽建設(shè)發(fā)展有限公司，福建福州 350015)

針對巖土參數(shù)不確定性對單樁水平承載力的影響，以及水平荷載波動引起的單樁設(shè)計方案水平承載力考慮不足問題，提出基于可靠度理論的單樁水平承載力魯棒性設(shè)計思路。先將巖土參數(shù)和水平荷載作為不確定因素，利用平均值及標(biāo)準(zhǔn)差考慮參數(shù)變異性；其次將樁身幾何尺寸、配筋率及混凝土強(qiáng)度作為設(shè)計參數(shù)，同時考慮樁頂邊界條件，按照抵抗樁頂水平位移的撓度失效模式與抵抗樁身彎矩的強(qiáng)度失效模式作為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行單樁水平承載力設(shè)計。魯棒性設(shè)計避免了傳統(tǒng)設(shè)計忽略巖土參數(shù)不確定的不合理問題，將魯棒性作為安全性評價標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)合經(jīng)濟(jì)性對水平承載樁基進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計。通過與傳統(tǒng)設(shè)計對比分析，證明了魯棒性設(shè)計的合理性與重要性。分析表明：樁徑和配筋率的增加可顯著提高單樁水平承載力，而樁身混凝土強(qiáng)度對抵抗樁頂位移的作用并不明顯且經(jīng)濟(jì)性較差。

水平承載樁； Pasternak雙參數(shù)地基； 不確定性； 魯棒性； 經(jīng)濟(jì)性

傳統(tǒng)樁基設(shè)計一般采用確定性法或者概率法[1-3]：確定性設(shè)計采用整體安全系數(shù)來保證設(shè)計安全，易出現(xiàn)過度設(shè)計；可靠度設(shè)計將參數(shù)變異性考慮在內(nèi)，卻忽略了參數(shù)變異的不確定性，易降低設(shè)計安全度。由于傳統(tǒng)設(shè)計中參數(shù)確定唯一的局限性，不能充分考慮巖土參數(shù)的不確性對單樁水平承載力的影響[4]，以及水平荷載波動引起的水平承載力安全度穩(wěn)定性降低問題。因此，采用確定性法或者概率法得到的設(shè)計方案，或偏保守或偏危險[5-6]。

魯棒性設(shè)計[7]是一種通過調(diào)整“易于控制的設(shè)計參數(shù)”(樁幾何尺寸、配筋率、混凝土強(qiáng)度等)，降低因“難于控制的干擾因素”(巖土參數(shù)、水平荷載等)的不確定性引起的設(shè)計可靠度波動[8]，保證設(shè)計方案安全穩(wěn)定。本文采用魯棒性設(shè)計方法，充分考慮巖土參數(shù)和水平荷載的不確定性，給出了單樁水平承載力魯棒性設(shè)計方法與過程，并證明魯棒性設(shè)計方法在單樁水平承載力設(shè)計中的適用性和合理性?；诳煽慷确椒ǖ聂敯粜栽O(shè)計(RGD) ，作為一種新的設(shè)計方法用于單樁水平承載力設(shè)計，是對傳統(tǒng)設(shè)計方法的補(bǔ)充與完善。

1 單樁水平承載力傳統(tǒng)設(shè)計過程

傳統(tǒng)的單樁水平受力失效模式主要有撓曲失效模式(Deflection failure model, DFM)及強(qiáng)度失效模式(Strength failure model, SFM)兩種[9]，前者由樁頂水平位移過大引起，后者因樁控制截面彎矩過大造成，而樁土相互作用又影響兩種失效模式。因此單樁水平承載力的傳統(tǒng)設(shè)計方法中，需要明確設(shè)計中的目標(biāo)函數(shù)、地基土模型和計算方法。

1.1 目標(biāo)函數(shù)

根據(jù)文獻(xiàn)[9]提供的經(jīng)驗公式，建立關(guān)于水平受力樁的極限狀態(tài)方程：

(1)

式中：ya為樁頂允許水平位移(本文取ya=6 mm);y0為樁頂水平位移；Mmax為樁身計算最大彎矩；MU為樁極限彎矩，根據(jù)文獻(xiàn)[10]得：

(2)

式中：α為對應(yīng)于受壓區(qū)混凝土截面面積的圓心角與2π的比值；fcm為混凝土彎曲抗壓強(qiáng)度設(shè)計值；αt為縱向受拉鋼筋截面面積與全部縱向鋼筋截面面積的比值，當(dāng)α>0.625時，取αt=0；r為圖形截面半徑。為簡化計算，采用徐文平等[10]提出的計算公式，具體見下式：

MU=0.85fyAsrs

(3)

式中：fy為鋼筋屈服強(qiáng)度；As為鋼筋面積；rs為鋼筋所在圓的半徑(取rs=(D-0.1)/2, 單位m)。

圖1 樁土計算模型Fig.1 Model for pile and Pasternak foundation

1.2 地基模型與計算方法

引入Pasternak雙參數(shù)地基模型[11]，充分考慮土彈簧間的剪切作用，同時采用有限差分法分別考慮樁頂樁底邊界條件，見圖1。

雙參數(shù)地基模型的樁身撓曲微分方程：

(4)

(5)

由有限差分法得：

(6)

式中：α=GB(Δx)2/(EpIp),β=K(Δx)4/(EpIp)。

樁頂自由邊界條件：

(7)

樁頂嵌固邊界條件：

(8)

樁底自由邊界條件：

(9)

將以上邊界條件代入差分方程式(5)，消去虛擬節(jié)點(diǎn)(-2, -1,n+1,n+2)得到單樁水平位移方程為：

Y=K-1F

(10)

2 魯棒性設(shè)計方法

魯棒性設(shè)計包括設(shè)計參數(shù)、不確定因素確定及概率設(shè)計方法選取。設(shè)計參數(shù)包括樁幾何參數(shù)、樁身混凝土強(qiáng)度等，干擾因素主要是地基土參數(shù)，而概率性設(shè)計方法較多，常用的有一次可靠度方法和蒙特卡洛法。

2.1 設(shè)計參數(shù)

設(shè)計參數(shù)包括樁的幾何參數(shù)、樁身混凝土強(qiáng)度等，由文獻(xiàn)可知長樁中樁徑的增加對水平承載力貢獻(xiàn)極大，而樁長的作用可以忽略。同時，樁身配筋率及混凝土強(qiáng)度對樁身強(qiáng)度的影響至關(guān)重要。因此，選擇樁徑、樁身配筋率與混凝土強(qiáng)度作為設(shè)計參數(shù)，樁徑D=0.3～1.0 m，樁徑每次增加0.05 m，樁身配筋率取0.8%，1.0%，1.2%，樁身混凝土強(qiáng)度取C30，C40，C50，而樁長固定為20 m。

圖2 某砂土標(biāo)貫概率分布Fig.2 Distribution of sand (SPT)

2.2 干擾因素的不確定性

引起水平單樁承載力變化的不確定參數(shù)主要是土的剪切剛度G及地基反力模量K，而樁承擔(dān)的水平荷載變化會引起設(shè)計承載力不足問題。研究表明土的剪切剛度G及地基反力模量K可由土的彈性模量推算，而土彈性模量可通過標(biāo)準(zhǔn)貫入試驗確定，大量學(xué)者對標(biāo)貫與土彈性模量間的關(guān)系進(jìn)行了研究[14-15]，采用日本建筑行業(yè)規(guī)范[16]中普遍使用的1.4N(N為標(biāo)貫擊數(shù))作為土的彈性模量。圖2給出了某砂土的標(biāo)貫數(shù)據(jù)[17]的概率分布型式。

樁的水平荷載一般由風(fēng)荷載及地震等引起[18]，概率分布一般為極值Ⅰ型分布，其密度函數(shù)：

表1 干擾因素

(11)

積分得其分布函數(shù)：

(12)

式中：α為分位值；μ為隨機(jī)變量x的平均值。

假設(shè)干擾因素見表1。在實際工程中，尤其是巖土的標(biāo)準(zhǔn)貫入度可根據(jù)現(xiàn)場勘察結(jié)果進(jìn)行調(diào)整。

為了解決干擾因素的不確定性問題即變異系數(shù)變化問題，一般情況下，參數(shù)平均值可通過有限樣本數(shù)量測得，而一次取樣測得參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為確定性結(jié)果，這與實際情況不符。Duncan[19-20]建議隨機(jī)變量的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)通過變異系數(shù)(COV)計算或采用3-σ法估算得到。由文獻(xiàn)可知：

(13)

式中：μCOV為變異系數(shù)平均值；σCOV為變異系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差；HCOV為變異系數(shù)上限；LCOV為變異系數(shù)下限。

圖3 不確定參數(shù)變換Fig.3 Uncertain parameters transformation

根據(jù)以上計算式計算得到巖土參數(shù)變異系數(shù)的平均值及標(biāo)準(zhǔn)差。然后采用Zhao等[21-22]提出的7點(diǎn)估計結(jié)合等概率代換，對干擾因素的變異系數(shù)進(jìn)行估計，見圖3。圖中根據(jù)7點(diǎn)估計法，通過等概率代換曲線u將原隨機(jī)變量概率密度函數(shù)f(x) 上7個驗算點(diǎn)xi(i=1,2,3,…,7)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)分布函數(shù)中的7個估計點(diǎn)ui(i=1,2,3,…,7)。

2.3 魯棒性設(shè)計流程

單樁水平承載力魯棒性設(shè)計流程如下：

①選擇設(shè)計參數(shù)、不確定因素和設(shè)計參數(shù)可選空間。為了弱化樁底邊界條件的影響，固定樁長L=20 m，考慮樁徑D(取0.3～1.0 m)，配筋率ρ(在適筋范圍取0.8%，1.0%，1.2%)以及樁身混凝土強(qiáng)度(C30，C40，C50)3個設(shè)計參數(shù)(此處應(yīng)說明，不同的建筑設(shè)計在設(shè)計參數(shù)的選擇范圍并不固定，應(yīng)根據(jù)建筑場地及規(guī)范要求合理選擇)，確定土體的不確定因素，即標(biāo)貫數(shù)據(jù)和水平荷載。

②確定設(shè)計功能函數(shù)并計算設(shè)計方案的失效概率。將式(1)中單樁水平承載力極限狀態(tài)方程作為目標(biāo)函數(shù)，利用可靠度設(shè)計方法計算得水平樁兩種失效模式下的失效概率，同時利用式(7)和(8)考慮樁頂?shù)倪吔鐥l件，循環(huán)套用7點(diǎn)估計法并考慮變異系數(shù)的變化，結(jié)合蒙特卡洛法計算樁基失效概率的均值與標(biāo)準(zhǔn)差。

③建立外循環(huán)，重復(fù)②，計算所有設(shè)計方案失效概率的均值與標(biāo)準(zhǔn)差。

④優(yōu)選設(shè)計結(jié)果。本例考慮將魯棒性與可行性概率作為設(shè)計因素進(jìn)行優(yōu)選。

表2 一次可靠度與蒙特卡洛法計算的設(shè)計失效概率

Tab.2 Failure probabilities of deterministic design by FORM and Monte Carlo simulation

計算方法撓度失效強(qiáng)度失效自由嵌固自由嵌固蒙特卡洛法0.4651.9E-30.9880.028一次可靠度法0.3691.09E-40.9991.765E-4誤差(%)20.694.31.199.4

3 案例設(shè)計分析

3.1 可靠度設(shè)計

可靠度設(shè)計要求干擾因素服從明確的統(tǒng)計規(guī)律，針對單樁水平承載力設(shè)計，假設(shè)干擾因素的變異系數(shù)估計準(zhǔn)確，即采用表1中的參數(shù)平均值及變異系數(shù)平均值，分別采用一次可靠度法和蒙特卡洛法計算某一確定性設(shè)計 (樁徑D=0.4 m，配筋率r=0.08%，C30混凝土)的單樁水平承載力的可靠度，見表2。

由表2可知，一次可靠度法不適用于本例計算，而蒙特卡洛法雖然計算量大(單個參數(shù)模擬達(dá)百萬次)，但計算精度高，隨著計算機(jī)及計算程序的升級優(yōu)化，蒙特卡洛法的優(yōu)勢愈加明顯。因此，對于單樁水平承載力的魯棒性設(shè)計中可靠度計算方法采用蒙特卡洛法。

3.2 魯棒性設(shè)計

基于可靠度方法的魯棒性設(shè)計可以充分考慮巖土參數(shù)等干擾因素的不確定性對巖土設(shè)計性能的影響，即采用目標(biāo)失效概率篩選魯棒性設(shè)計，將設(shè)計方案的失效概率變異性最小化。

根據(jù)魯棒性設(shè)計方法分別求出兩種失效模式下的單樁水平承載力失效概率如圖4所示。首先，樁徑的增加可有效提高樁抵抗水平荷載的能力；其次，配筋率大小僅對強(qiáng)度失效模式下的失效概率影響較大，這是由于樁身彎矩主要由鋼筋承擔(dān)的原因。由于樁頂嵌固的失效概率遠(yuǎn)小于樁頂自由狀態(tài)，說明樁頂嵌固的單樁水平承載能力遠(yuǎn)高于樁頂自由狀態(tài)。

圖4 魯棒性設(shè)計方法計算的水平樁基失效概率Fig.4 Probability of failure of laterally loaded pile obtained by RGD

圖5 樁身位移與彎矩Fig.5 Moment and displacement of laterally loaded pile

由圖4可知，滿足撓度失效模式的最低要求設(shè)計分別為，樁頂自由時(D=0.8 m,ρ=0.08%)，樁頂嵌固時(D=0.4 m,ρ=0.08%)。而確定性設(shè)計應(yīng)根據(jù)下式：

R=RHa/FS

(14)

式中：R為樁頂水平荷載；RHa為樁頂水平承載力；FS為安全系數(shù)(一般取FS=2)。

繪制確定性設(shè)計與魯棒性設(shè)計下滿足最低設(shè)計要求的樁身位移與彎矩，見圖5。滿足目標(biāo)失效概率的魯棒性設(shè)計以較小的樁徑即可滿足設(shè)計要求，避免了確定性設(shè)計可能帶來的不合理“過度設(shè)計”；同時魯棒性設(shè)計基于可靠度方法，采用目標(biāo)失效概率指導(dǎo)設(shè)計，又能保證設(shè)計安全性。

為了考慮混凝土強(qiáng)度對單樁水平承載力的影響，固定配筋率為0.8%，計算撓度失效模式下3種混凝土強(qiáng)度的樁頂撓度失效概率，見圖6。由圖6(a)可知，提高混凝土強(qiáng)度可以減小樁頂水平位移，但是效果并不顯著，在其他設(shè)計因素滿足情況下，單純提高混凝土強(qiáng)度抵抗樁頂水平位移會產(chǎn)生較高費(fèi)用，經(jīng)濟(jì)性較差。

圖6 混凝土強(qiáng)度對水平樁魯棒性設(shè)計的影響Fig.6 Influence of concrete on laterally loaded pile obtained by RGD

3.3 基于多目標(biāo)優(yōu)化的最優(yōu)解設(shè)計

魯棒性設(shè)計的結(jié)果是一個設(shè)計解集，其中涉及建筑基礎(chǔ)造價，為了得到最優(yōu)解，對設(shè)計造價簡化計算，樁基造價按照單位體積樁基混凝土造價cc和單位質(zhì)量的鋼筋造價cb控制。C30, C40, C50混凝土的參考價格分別為335，345，365 元/m3，鋼筋參考價格為2 500 元/t。作為經(jīng)濟(jì)性考慮的標(biāo)準(zhǔn)，具體見下式：

c=cc+cb

(15)

由以上分析可知，混凝土強(qiáng)度控制撓度失效模式，配筋率控制強(qiáng)度失效模式，將滿足目標(biāo)失效概率的設(shè)計解集的標(biāo)準(zhǔn)差作為衡量設(shè)計方案的魯棒性指標(biāo)與造價作為雙目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化分析，建立針對樁頂自由和樁頂嵌固兩種條件下的帕累托前沿(最優(yōu)解的非支配解集)，帕累托前沿上的設(shè)計既可以保證魯棒性，同時具有較好經(jīng)濟(jì)性。關(guān)節(jié)點(diǎn)設(shè)計是同時具有最優(yōu)魯棒性與最優(yōu)經(jīng)濟(jì)性的設(shè)計解，兩者之間達(dá)到最佳平衡，關(guān)節(jié)點(diǎn)設(shè)計由下式計算得到：

(16)

式中：σ為失效概率標(biāo)準(zhǔn)差，σmax，σmin分別為失效概率標(biāo)準(zhǔn)差中的最大值和最小值；c為造價，cmax，cmin分別為造價中的最大值和最小值；λ1,λ2為失效概率標(biāo)準(zhǔn)差和造價的權(quán)重系數(shù)。

由圖7和8可知，失效概率標(biāo)準(zhǔn)差作為魯棒性指標(biāo)隨著造價增加而顯著降低，在帕累托前沿上的設(shè)計解集都是優(yōu)化設(shè)計結(jié)果，設(shè)計1為帕累托前沿上造價最低，魯棒性最高的設(shè)計，而設(shè)計3造價最高，魯棒性最低，此兩種極端設(shè)計，沒有兼顧設(shè)計的其他方面，設(shè)計2(Knee point[23])作為帕累托前沿的關(guān)節(jié)點(diǎn)在造價與魯棒性之間達(dá)到了平衡，被認(rèn)為是最優(yōu)設(shè)計方案。應(yīng)當(dāng)指出，特殊情況下，設(shè)計人員亦可采用權(quán)重系數(shù)法選擇最優(yōu)方案。

圖7 樁頂自由條件多目標(biāo)優(yōu)化Fig.7 Multi-objective optimization of free-head laterally loaded pile

圖8 樁頂嵌固條件多目標(biāo)優(yōu)化Fig.8 Multi-objective optimization of fixed-head laterally loaded pile

由以上分析可知，根據(jù)場地條件及規(guī)范要求合理選擇設(shè)計參數(shù)范圍，樁頂自由條件下，在保證樁頂水平位移安全性前提下，提高混凝土強(qiáng)度僅會增加安全度，而經(jīng)濟(jì)性較差，在適筋范圍內(nèi)適當(dāng)加大樁徑及配筋率可以顯著提高樁身抵抗彎矩的能力；樁頂嵌固條件下較小樁徑即可滿足樁抵抗水平承載力的要求，提高樁身混凝土的經(jīng)濟(jì)性較差，而配筋率的加大可顯著提高樁身抵抗彎矩的能力。

4 結(jié) 語

考慮巖土參數(shù)與水平荷載的不確定性，研究了單樁水平承載力魯棒性設(shè)計方法，并將魯棒性與經(jīng)濟(jì)性作為設(shè)計方案的評價標(biāo)準(zhǔn)對單樁水平承載力設(shè)計方案進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，得出以下幾點(diǎn)結(jié)論：

(1)單樁水平承載力設(shè)計中巖土參數(shù)和水平荷載等干擾因素存在不確定性，其變異系數(shù)的波動往往造成參數(shù)的低估或高估導(dǎo)致設(shè)計結(jié)果偏于危險或偏于保守。魯棒性設(shè)計可以充分考慮干擾因素變化對設(shè)計結(jié)果的影響，并可得到設(shè)計方案的穩(wěn)定水平，是對傳統(tǒng)設(shè)計方法補(bǔ)充與完善。

(2)魯棒性設(shè)計對設(shè)計參數(shù)的作用給出了明確評價，增加樁徑與配筋率可以顯著提高單樁水平承載力，樁身混凝土等級滿足設(shè)計要求即可，否則造成浪費(fèi)，經(jīng)濟(jì)性較差。

(3)最低造價設(shè)計容易降低設(shè)計方案的安全性，過高考慮安全性的設(shè)計亦會增加經(jīng)濟(jì)成本，魯棒性設(shè)計采用指標(biāo)指導(dǎo)設(shè)計方案，結(jié)合多目標(biāo)優(yōu)化可以達(dá)到經(jīng)濟(jì)性與安全性的平衡。

(4)樁頂邊界條件影響樁身抵抗水平荷載能力，本文僅考慮了樁頂自由與樁頂嵌固兩種狀態(tài)，而路梁等樁頂鉸接情況也應(yīng)考慮，以降低因干擾因素不確定性引起的設(shè)計風(fēng)險。

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Robust geotechnical design and analysis of horizontal bearing capacity of laterally loaded pile

ZHANG Feng1, 2， WANG Xudong1， ZHOU Feng1， CHENG Jianyang1

(1.CollegeofTransportationScience&Engineering,NanjingTechUniversity,Nanjing210009,China; 2.CSCECStraitConstructionandDevelopmentCo.,Ltd.,Fuzhou350015,China)

The horizontal bearing capacity of the laterally loaded pile is influenced by the uncertainty of soil parameters and the fluctuation of the horizontal loads will increase the risks of failure of the pile. In order to solve these problems, a robust geotechnical design (RGD) based on the reliability is presented in this study as a new geotechnical design concept. First, the mean and standard deviation of the soil parameters are investigated to clarify the uncertainty of the soil parameters in the RGD method. And then the size of the pile, the reinforcement ratio and the concrete strength are taken into consideration as the design parameters, and the boundary conditions of the pile top are also analyzed. The horizontal deflection failure modes (DFM) and the resistance of bending moment strength failure modes (SFM) of the pile top are used as a target function in the design of the horizontal bearing capacity of a single pile. As a safe evaluation standard, the design robustness is used to evaluate the feasibility of the design scheme for the horizontal bearing capacity of the single pile with the RGD method. By use of the RGD approach, the cost efficiency and robustness are the optimun target to achieve the multi-objective engineering optimization. The design scheme satisfies the bearing capacity requirements. Meanwhile, the cost efficiency and robustness of the design are guaranteed. Comparing with the traditional design methodology, the rationality and importance of the RGD are proved in this study. Analysis results show that the increase of the pile diameter and the reinforcement ratio can significantly improve the horizontal bearing capacity of the single pile, but the effect of the concrete strength of the pile shaft on the resistance to the pile head displacement is not remarkable and its economic benefit is poor.

laterally loaded pile; Pasternak double-parameter foundation; uncertainty; robustness; cost efficiency

10.16198/j.cnki.1009-640X.2017.03.010

2016-04-12

國家自然科學(xué)基金資助項目(51278244)；江蘇省2015年度普通高校研究生科研創(chuàng)新計劃項目(KYLX15_0807)

張 峰(1988—)，男，山東臨沂人，博士研究生，主要從事樁筏基礎(chǔ)優(yōu)化設(shè)計的研究。 E-mail: zimu328@126.com 通信作者：王旭東(E-mail: cewxd@njtech.edu.cn)

TU473

A

1009-640X(2017)03-0071-08

張峰， 王旭東， 周峰， 等. 單樁水平承載力魯棒性設(shè)計與分析[J]. 水利水運(yùn)工程學(xué)報, 2017(3): 71-78. (ZHANG Feng, WANG Xudong, ZHOU Feng, et al. Robust geotechnical design and analysis of horizontal bearing capacity of laterally loaded pile[J]. Hydro-Science and Engineering, 2017(3): 71-78. (in Chinese))