縱談數(shù)e

馬春雨

【摘要】數(shù)e是數(shù)學(xué)中的重要常數(shù)之一.在基礎(chǔ)教育和高等教育的教材中對(duì)e有不同角度的定義.本文主要從由來(lái)和定義兩方面對(duì)e進(jìn)行介紹.

【關(guān)鍵詞】數(shù)e；由來(lái)；定義

歷史上數(shù)e的出現(xiàn)離不開對(duì)數(shù)的研究.17世紀(jì)初，蘇格蘭數(shù)學(xué)家約翰·納皮爾發(fā)明了對(duì)數(shù).1618年，他在出版的著作中附錄了一張自然對(duì)數(shù)表.自然對(duì)數(shù)的出現(xiàn)是歷史上第一件與數(shù)e有關(guān)的事.但遺憾的是，當(dāng)時(shí)人們并不知道自然對(duì)數(shù)的底就是常數(shù)e.

首次發(fā)現(xiàn)數(shù)e的是數(shù)學(xué)家雅各布·貝努力.他在1683年研究復(fù)利時(shí)，證明了當(dāng)n趨近于無(wú)窮時(shí)數(shù)列1+1nn有極限，這個(gè)極限值其實(shí)就是數(shù)e.但貝努力當(dāng)時(shí)并沒有認(rèn)識(shí)到這個(gè)極限與對(duì)數(shù)間的關(guān)系，也沒有把兩者聯(lián)系在一起.

數(shù)e第一次被正式提出是在1690年數(shù)學(xué)家萊布尼茲寫給惠更斯的信中，但他將這個(gè)常數(shù)記為b，而不是e.

最后，是由歐拉確定了用字母e表示這個(gè)常數(shù)，原因有多種說法：一說是因?yàn)閑是“指數(shù)”（exponetial）的首字母；另一說法是a，b，c，d有其他常用表示，e就成了第一個(gè)可用的字母；還有一說是歐拉用自己名字Euler的首字母，不過這更可能是個(gè)巧合，因?yàn)闅W拉是個(gè)謙虛的人.歐拉從1727年就開始對(duì)e進(jìn)行研究.在1748年出版的《無(wú)窮小分析引論》中，他對(duì)自己的發(fā)現(xiàn)作了完整的敘述和總結(jié)：他同樣把數(shù)e定義為極限 limn→∞1+1nn，并證明了e=1+11！+12！+13！+…；他取上述公式的前20項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算給出數(shù)e的前18位：e≈2.718281828459045235；他定義了以e為底的指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（即自然對(duì)數(shù)）；此外他給出了數(shù)e和以e為底的指數(shù)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，以及它們的連分?jǐn)?shù)展開式；最突出的是他借助于e證明了著名公式eiπ+1=0，被稱為歐拉公式.

自此，以e為底的指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)逐漸進(jìn)入數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，成為分析解決問題必不可少的工具.

在基礎(chǔ)教育階段，數(shù)e出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)必修一對(duì)數(shù)那一章節(jié)，教材中簡(jiǎn)略提到：“有一種以無(wú)理數(shù)e=2.71828……為底數(shù)的對(duì)數(shù)，稱為自然對(duì)數(shù).”在維基百科中，數(shù)e的定義為：“把自然對(duì)數(shù)的底稱為數(shù)e.”這構(gòu)成了一個(gè)定義的循環(huán)，我們不禁會(huì)想為什么將數(shù)值如此奇怪的e稱為“自然”？

17世紀(jì)中葉，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)雙曲線下的面積和自然對(duì)數(shù)之間有非常奇妙的關(guān)系∫x0dxx=ln|x|，并逐漸發(fā)現(xiàn)許多重要的函數(shù)、極限、微分和積分都與自然對(duì)數(shù)密切相關(guān).利用微積分的知識(shí)就能解釋出e的“自然性”.對(duì)于一般的對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax（a是不等于1的正數(shù)）求導(dǎo)，得到y(tǒng)′=1xlna，而當(dāng)a=e時(shí)，會(huì)有y′=1x，相比上式而言對(duì)自然對(duì)數(shù)y=lnx求導(dǎo)的結(jié)果要簡(jiǎn)約自然得多.

積分是微分的逆運(yùn)算，由于∫x0dxx=ln|x|+c（c是常數(shù)），且對(duì)于一般的式子求積分∫f′（x）dxf（x）=ln|f（x）|+c（c是常數(shù)）.這說明，當(dāng)對(duì)一個(gè)滿足分子是分母微分的分式求積分時(shí)，得到的就是以e為底的分母絕對(duì)值的對(duì)數(shù).如此看來(lái)，以e為底的對(duì)數(shù)確實(shí)自然.

高等教育的教材中是從極限的角度給出數(shù)e的定義，即e=limn→∞1+1nn.它遵循的是雅各布·貝努力研究復(fù)利的思路：利用二項(xiàng)式定理，證明數(shù)列1+1nn嚴(yán)格遞增，且恒小于3，即數(shù)列1+1nn是有界的，再由單調(diào)有界定理可知 limn→∞1+1nn存在，即為e.其實(shí)，數(shù)e可以通俗地解釋為“增長(zhǎng)的極限”，貝努力研究的復(fù)利實(shí)際上是提供了一個(gè)關(guān)于數(shù)e的具體模型.除此之外，生活中細(xì)菌的增長(zhǎng)等也滿足極限e.

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