實(shí)變函數(shù)理論中的一些錯(cuò)誤

【摘要】作為現(xiàn)行微積分原理的完善，或者作為分析嚴(yán)格化的實(shí)變函數(shù)理論立得住嗎？本文以通俗而簡(jiǎn)明的方式列舉了實(shí)變函數(shù)理論的幾處核心錯(cuò)誤或誤解，從而，讓人們清楚實(shí)變函數(shù)理論作為現(xiàn)行微積分原理的完善的論據(jù)是靠不住的.

【關(guān)鍵詞】實(shí)數(shù)；數(shù)-形模型；康托定理；測(cè)度

一、引言

《淺談現(xiàn)行微積分原理的錯(cuò)誤》[1]一文發(fā)表后，某名校組織包括數(shù)學(xué)院士在內(nèi)的數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院的教授們寫文章批駁，滑稽的是批不了，理由是“一位工科男撿了個(gè)天大的洋便宜”，還有的人說：“我早就知道微積分原理有錯(cuò)誤，可是，這些問題在實(shí)變函數(shù)理論和現(xiàn)代分析那里早已解決了.”事情真的是這樣嗎？

事實(shí)上，“最基本內(nèi)容已經(jīng)成為分析數(shù)學(xué)各個(gè)分支的普遍基礎(chǔ)”[2]的實(shí)變函數(shù)理論也立不住.下面，就“冒著被責(zé)罵的危險(xiǎn)”，[3]與“也要吃飯、穿衣”[4]的數(shù)學(xué)家們探討一下實(shí)變函數(shù)理論中的問題.

二、實(shí)變函數(shù)理論中的種種問題

（一）現(xiàn)行實(shí)數(shù)理論還不能自圓其說

現(xiàn)代主流數(shù)學(xué)家聲稱實(shí)數(shù)理論是嚴(yán)密而完整的，因?yàn)樗钥茖W(xué)的極限理論為依托；極限論的科學(xué)性是不容置疑的，因?yàn)?，它以?yán)密而完整的實(shí)數(shù)理論為前提.事實(shí)上是這樣嗎？在解析幾何視角下，到定點(diǎn)的距離為定長(zhǎng)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓.而在解析幾何的坐標(biāo)中，任意兩點(diǎn)都對(duì)應(yīng)兩個(gè)數(shù)或者兩個(gè)數(shù)組，也就是說，任意兩個(gè)點(diǎn)或兩個(gè)數(shù)之間都可以插入無(wú)限多個(gè)點(diǎn)或者數(shù)（數(shù)組），因此，只有這樣幾何圖形或區(qū)間才有長(zhǎng)度（測(cè)度）可言.基于此，不管邊數(shù)怎樣無(wú)限增多，正多邊形的任意一個(gè)邊的兩個(gè)端點(diǎn)都不會(huì)重合，只有這樣，正多邊形才保有周長(zhǎng).然而，這樣一來，“到定點(diǎn)的距離為定長(zhǎng)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡”反倒不存在了.極限論的來源就是“正多邊形邊數(shù)無(wú)限增多的極限是圓”，而在現(xiàn)行實(shí)數(shù)理論體系之下的解析幾何中，極限論中的極限都不存在了，尤其是瞬時(shí)變化率對(duì)應(yīng)的切線和積分對(duì)應(yīng)的曲邊梯形不存在了，而展現(xiàn)在解析幾何中的只能是切割長(zhǎng)度無(wú)限減小的割線和折數(shù)無(wú)限增多的折線梯形.解析幾何是數(shù)與形的統(tǒng)一，也就是說，現(xiàn)行實(shí)數(shù)系下的解析幾何從數(shù)和形兩個(gè)方面否定了極限論.

Bolzano和Weierstrass，乃至Méray、Heine與Cantor的思想具有一致性，他們都用極限論定義實(shí)數(shù)系.只實(shí)數(shù)依靠極限論這一點(diǎn)，就足以說明實(shí)數(shù)理論的科學(xué)性尚待解決.

Dedekind沒有用極限論構(gòu)造實(shí)數(shù)，但他的方法沒有能力構(gòu)造出實(shí)數(shù)系.他說：“每當(dāng)我們考慮一個(gè)不是由有理數(shù)產(chǎn)生的分割（A1，A2）時(shí)，就得到一個(gè)新數(shù)即無(wú)理數(shù)a，我們認(rèn)為這個(gè)數(shù)是由分割（A1，A2）完全確定的.”[5]“戴德金分割法”的虛偽之處在于只能分割出其性質(zhì)已知的實(shí)數(shù).事實(shí)上，我們對(duì)“代數(shù)數(shù)之外”知之甚少——超越數(shù)又分為多少類？它們的性質(zhì)如何？Dedekind分割法對(duì)性質(zhì)尚未弄清的數(shù)是無(wú)能為力的.

（二）總體與其局部可以一一對(duì)應(yīng)純系囈語(yǔ)

設(shè)A，B，C，D，E為無(wú)限集合，A=B+C+D，再設(shè)C=E，則E為A的真子集.A中的真子集C足以與E一一對(duì)應(yīng)（有公理保證），故而，E中再無(wú)元素可與B和D對(duì)應(yīng).這個(gè)簡(jiǎn)單的證明對(duì)無(wú)限集合和有限集合都適用.光看到A與E中的元素是無(wú)限的，就不區(qū)分增長(zhǎng)速度地舉出某一個(gè)對(duì)應(yīng)方式，很不妥.這種觀點(diǎn)的幼稚在于，因?yàn)镋中具有無(wú)限多元素，所以，E就可以與（B+C+D）中的元素一一對(duì)應(yīng)下去，可是，他們忘記了C與E是同步的無(wú)窮多，從而，B和D在E中找不到對(duì)應(yīng)項(xiàng).相反，誰(shuí)舉出某一個(gè)對(duì)應(yīng)方式，誰(shuí)就得給出可以這樣列舉的證明.有人說：“通過具體列舉就可以證明一一對(duì)應(yīng).”我們說，這是無(wú)限集合，誰(shuí)列舉得完？他們還可以說：“給出列舉方式就可以了.”我們說，忽視兩個(gè)集合的增長(zhǎng)速度（即關(guān)聯(lián)關(guān)系）的列舉方式是胡扯.當(dāng)我們說E是A的真子集時(shí)，這就已經(jīng)是關(guān)聯(lián)關(guān)系了.

就自然數(shù)可以與其子集奇數(shù)一一對(duì)應(yīng)的說法而言，一個(gè)是1，2，3，，…，n；另一個(gè)是1，3，…，2n-1.即使到了∞，n也是同步的，因此，自然數(shù)集合是奇數(shù)集合的2倍.當(dāng)然，有人又會(huì)說：“這是有限集合的邏輯.”可是，主張無(wú)限集合具有上述特征的人給出過令人信服的證明嗎？他們不也承認(rèn)全體自然數(shù)不能與全體實(shí)數(shù)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎？難道這不是兩個(gè)無(wú)限集嗎？

誠(chéng)然，任意一個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間里的實(shí)數(shù)是可以與自然數(shù)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的，這也就是通常所說的數(shù)數(shù)（這與1890年Cantor證明他的定理也是截然相反的）[6]，因?yàn)檫@兩個(gè)無(wú)限集合沒有關(guān)聯(lián)關(guān)系.有人說：“不！自然數(shù)是實(shí)數(shù)的真子集.”我們說：“自然數(shù)集是實(shí)數(shù)集的真子集，自然數(shù)集可不是實(shí)數(shù)集子區(qū)間的真子集.”

（三）Cantor定理的證明的前提不成立

Cantor定理的基本論點(diǎn)散見于似是而非的題為《論全體代數(shù)數(shù)的性質(zhì)》的文章中，這篇文章發(fā)表于1874年克雷爾主編的《純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》雜志上.Cantor自己滿意的證明發(fā)表于1890年，這個(gè)證明的要點(diǎn)是：

“假定（0，1]是可數(shù)集，則必然存在（0，1]中所有實(shí)數(shù)的一個(gè)序列a1a2a3…an…，然后將每個(gè)這樣的實(shí)數(shù)寫成十進(jìn)制小數(shù)形式，并約定將有理數(shù)寫成無(wú)窮小數(shù)，如，12=04999…，于是有

再構(gòu)造b=0.b1b2b3…bk…，并規(guī)定Pkk=1，則bk=9，若Pkk≠1，則bk=1，因此，b是（0，1]中的一個(gè)實(shí)數(shù)，但卻不同于如上序列中的任何一個(gè)實(shí)數(shù)，這就與假設(shè)矛盾，因此，（0，1]是不可數(shù)的，同理，任何實(shí)數(shù)區(qū)間均不可數(shù).”[7]

如上證明有前提性錯(cuò)誤——實(shí)數(shù)不可以寫作無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因?yàn)檫@里是純數(shù)學(xué)而不是應(yīng)用數(shù)學(xué).有理數(shù)當(dāng)然不是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，無(wú)理數(shù)也只是他自己，絕不是無(wú)限不循環(huán)小數(shù).無(wú)限小數(shù)是動(dòng)態(tài)的、不確定的數(shù)，而無(wú)理數(shù)是靜態(tài)的、確定的數(shù).如果用序列講，無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)序列的極限，而不是它自身，也不是這個(gè)動(dòng)態(tài)過程.Cantor的錯(cuò)誤在于把無(wú)理數(shù)等同于該無(wú)理數(shù)對(duì)應(yīng)的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)序列的動(dòng)態(tài)過程.也就是說，Cantor把無(wú)限不循環(huán)小數(shù)序列的極限與無(wú)限不循環(huán)小數(shù)序列的動(dòng)態(tài)延續(xù)混為一談.

康托定理還有一種直觀的證明方式，當(dāng)然也是反證法.設(shè)（0，1]的所有點(diǎn)（數(shù)）可以排成

人們還須注意一個(gè)事實(shí)，康托定理，除所謂的反證法之外，“即使在原則上也不可能給出直接的構(gòu)造性證明.”[9]像H.Poincaré（1854—1912）、L.E.Brouwer（1881—1966）、H.Weyl（1885—1955）這類非假大空數(shù)學(xué)家是不承認(rèn)從康托到希爾伯特的不嚴(yán)肅的東西的.

（四）現(xiàn)行實(shí)數(shù)系沒有測(cè)度

“μ可以唯一地?cái)U(kuò)張成為B（Rn）上的σ的有限測(cè)度（稱之為L(zhǎng)ebesgue測(cè)度）.令 B（Rn）為B（Rn）的完備化，稱B（Rn）中元為L(zhǎng)ebesgue可測(cè)集，而B（Rn）中元為Borel可測(cè)集.”[10]與此相類似，還有C[0，T]上的Wiener測(cè)度[11].對(duì)此，人們要問測(cè)度的數(shù)學(xué)承擔(dān)者是誰(shuí)？Lebesgue一行人回答是超越數(shù).在Cantor、Baire乃至Lebesgue等人看來，實(shí)數(shù)已經(jīng)填滿了數(shù)軸，無(wú)理數(shù)（或者超越數(shù)）就是測(cè)度的數(shù)學(xué)承擔(dān)者，這就是測(cè)度理論的核心思想[12].Lebesgue的原話是這樣說的：“我希望首先對(duì)集合賦予數(shù)的屬性，這種數(shù)類似于它們的長(zhǎng)度.”[13]這種理論是使用排除法完成的，其證明的邏輯脈絡(luò)為：區(qū)間及其對(duì)應(yīng)的線段是有測(cè)度的，而代數(shù)數(shù)及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的測(cè)度為0.可是，區(qū)間及其對(duì)應(yīng)線段是由代數(shù)數(shù)及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)和超越數(shù)及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)構(gòu)成的，所以，超越數(shù)及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)是測(cè)度的數(shù)學(xué)承擔(dān)者.事實(shí)上，區(qū)間及其對(duì)應(yīng)的線段不是由二者，而是由三者——代數(shù)數(shù)與超越數(shù)以及數(shù)與數(shù)的間隙共同構(gòu)成，因此，只排除代數(shù)數(shù)是測(cè)度的數(shù)學(xué)承擔(dān)者，但卻不知道與實(shí)數(shù)一樣多的間隙存在，就武斷地說超越數(shù)及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)是測(cè)度的數(shù)學(xué)承擔(dān)者，這種邏輯是可笑的.事實(shí)上，現(xiàn)行實(shí)數(shù)從來就沒填滿過數(shù)軸，因?yàn)楝F(xiàn)行數(shù)和點(diǎn)都是無(wú)度量的，而數(shù)軸是有度量的，無(wú)度量的數(shù)或點(diǎn)不管多到何種程度，數(shù)軸都是有空隙的，從這種空想出發(fā)的任何證明都是立不住的.數(shù)是不能有測(cè)度的，只有量才可以有測(cè)度，量是數(shù)的差.解析幾何告訴人們，超越數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與代數(shù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在解析幾何意義上沒有任何不同，代數(shù)數(shù)承擔(dān)不了測(cè)度，超越數(shù)怎么就能承擔(dān)測(cè)度呢？

再?gòu)牧硪粋€(gè)角度看測(cè)度論：一個(gè)超越（數(shù)）點(diǎn)的測(cè)度是0，可數(shù)無(wú)窮多個(gè)超越（數(shù)）點(diǎn)的測(cè)度也是0，而不可數(shù)無(wú)窮多個(gè)超越（數(shù)）點(diǎn)的測(cè)度就是非0的一個(gè)具體數(shù)值了.誰(shuí)的大腦可以接受這樣的邏輯？

除非是全體實(shí)數(shù)，否則，就不存在不可數(shù)、無(wú)窮多.自然數(shù)集是實(shí)數(shù)集的真子集，因此，自然數(shù)不能與全體實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)；而自然數(shù)不是實(shí)數(shù)集子區(qū)間的真子集，因而，它們之間沒有關(guān)聯(lián)關(guān)系，自然數(shù)可以與任意實(shí)數(shù)區(qū)間建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.正是這個(gè)道理，任意實(shí)數(shù)區(qū)間里的數(shù)都是可數(shù)的.

（五）實(shí)變函數(shù)論對(duì)劉維爾不等式的解釋有錯(cuò)誤

三、結(jié)語(yǔ)

分析數(shù)學(xué)，尤其是近代分析，從來就不像對(duì)數(shù)學(xué)史知之甚少的數(shù)學(xué)工作者所理解的那個(gè)樣子，也從來不像當(dāng)代數(shù)學(xué)教科書所寫的那個(gè)樣子.以S.D.Poisson（1781—1840）為代表的數(shù)學(xué)家從來就不同意以柯西為代表的微積分原理，以H.Poincaré、F.Klein（1849—1925）等為代表的數(shù)學(xué)家從來就不同意實(shí)變函數(shù)理論.人們似乎忘記，“龐加萊、克萊因和希爾伯特，是在19世紀(jì)和20世紀(jì)數(shù)學(xué)交界線上聳立著的三個(gè)巨大身影”.[19]“三個(gè)巨大身影”中的兩個(gè)都反對(duì)的東西，竟然會(huì)向希爾伯特一邊倒，個(gè)中就不是數(shù)學(xué)之外的原因在起作用嗎？

總而言之，這里不求如上論證各個(gè)四平八穩(wěn)，只要其中有一個(gè)立得住，就足以說明作為現(xiàn)行微積分原理的完善的實(shí)變函數(shù)理論是立不住的.

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