點(diǎn)差法在圓錐曲線中的應(yīng)用和局限性

張明

點(diǎn)差就是在求解圓錐曲線并且題目中交代直線與圓錐曲線相交被截的線段中點(diǎn)坐標(biāo)的時(shí)候，利用直線和圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，把交點(diǎn)代入圓錐曲線的方程，并作差，求出直線的斜率，然后利用中點(diǎn)求出直線方程.

“點(diǎn)差法”常見(jiàn)題型有：求中點(diǎn)弦方程、求（過(guò)定點(diǎn)、平行弦）弦中點(diǎn)軌跡、垂直平分線、定值問(wèn)題.利用點(diǎn)差法可以減少很多的計(jì)算，所以在解有關(guān)的問(wèn)題時(shí)用這種方法比較好.

一、以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程

因?yàn)棣?lt;0，所以直線與雙曲線無(wú)公共點(diǎn).

所以滿足條件的直線不存在.

怎么回事？用“點(diǎn)差法”好像出問(wèn)題了，為什么會(huì)這樣呢？

分析：我們之前就這么兩邊減了一下，只能說(shuō)明，如果那條直線存在，那么斜率就是它.注意這里是“如果”，它不能保證直線一定存在.“點(diǎn)差法”不能保證存在性.其實(shí)我們高中數(shù)學(xué)中用的韋達(dá)定理也是一樣.韋達(dá)定理描述的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，用它是同樣不能保證原方程有實(shí)根.所以，我們?cè)谟谩包c(diǎn)差法”和韋達(dá)定理解題時(shí)，一定別忘記檢驗(yàn).