基于多分布響應(yīng)面算法的火炮方向機齒輪傳動誤差可靠性分析

白亞莉 張 毅 冀 敏 劉文強

1.西京學院機械工程學院，西安，710123 2.西京學院機電技術(shù)系，西安，7101233.西京學院數(shù)學系，西安，710123

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基于多分布響應(yīng)面算法的火炮方向機齒輪傳動誤差可靠性分析

白亞莉1張 毅1冀 敏2劉文強3

1.西京學院機械工程學院，西安，710123 2.西京學院機電技術(shù)系，西安，7101233.西京學院數(shù)學系，西安，710123

為了提高火炮方向機齒輪傳動誤差(GTESMG)的分析效率并考慮工程設(shè)計可行性，提出了一種改進的多分布協(xié)作響應(yīng)面算法(MDCRSA)。該算法從概率的角度出發(fā)，綜合考慮靜態(tài)影響因素和動態(tài)影響因素，結(jié)合響應(yīng)面法和蒙特卡羅法,評估系統(tǒng)可靠性。將該算法應(yīng)用到實際項目中估算GTESMG的可靠性，結(jié)果顯示：當GTESMG的設(shè)計值為10′時，估算的可靠度為0.990，基本上滿足GTESMG的設(shè)計和工程需要。同時通過與傳統(tǒng)估計可靠性方法的比較，可以看出MDCRSA算法具有較高的計算效率及精度，并且這種優(yōu)勢隨著計算次數(shù)的增加而更加明顯。MDCRSA算法不僅可以評估GTESMG可靠性，還可預(yù)測火炮其他部件的可靠性。

火炮方向機；傳動誤差；可靠性；多對象多因素；多分布協(xié)作響應(yīng)面算法

0 引言

火炮方向機齒輪傳動誤差(gear transmission errors of the steering mechanism of the gun,GTESMG)直接影響火炮方向機(steering mechanism of the gun, SMG)的工作性能、效率、精度和壽命[1-2]。目前，關(guān)于火炮轉(zhuǎn)向裝置傳動誤差的可靠性理論與實驗研究還鮮有報道?；鹋诜较驒C的結(jié)構(gòu)設(shè)計與工作環(huán)境非常復雜[3-5]，文獻[6-10]對火炮方向機設(shè)計過程中的確定性設(shè)計進行了研究，但沒有考慮SMG的其他重要影響因素以及部分因素的隨機性。實際上，由于GTESMG所涉及的大多數(shù)影響因素是時變的，故上述研究在工程使用方面局限性很大。由此可見，只有在設(shè)計過程中考慮各種確定性因素以及隨機性因素，才可以客觀和準確地描述GTESMG的可靠性。本文所討論的GTESMG由確定性因素確定的靜態(tài)誤差和隨機因素確定的動態(tài)誤差決定，因此，本文從這兩個方面分析研究GTESMG的可靠性。

概率分析法被廣泛應(yīng)用在許多領(lǐng)域的可靠性分析中，文獻[11]在水利、材料領(lǐng)域的誤差分析中利用概率分析法得出了更加精確的結(jié)果；文獻[12]應(yīng)用概率方法分析飛行誤差；文獻[13]應(yīng)用概率法分析機械靈敏度動態(tài)誤差。響應(yīng)面法(RSM)通過一系列確定性實驗，用多項式函數(shù)來近似表示隱式極限狀態(tài)函數(shù)。蒙特卡羅法(MCM)以概率和統(tǒng)計為基礎(chǔ)，將所求解的問題同一定的概率模型相聯(lián)系，實現(xiàn)統(tǒng)計模擬或抽樣，從而獲得問題的近似解。

由于GTESMG很復雜，故僅使用一種方法分析難以實現(xiàn)，并且直接使用RSM或MCM，因計算過程繁瑣，估算結(jié)果的精度難以保證，也難以實際應(yīng)用。為了解決上述問題，本文針對GTESMG提出了基于RSM和MCM的多分布式協(xié)作響應(yīng)面算法(MDCRSA)。這種算法不僅解決了傳統(tǒng)算法耗時長、結(jié)果不精確等問題，而且將火炮這種復雜部件依性質(zhì)分類，由繁化簡，符合實際設(shè)計與分析流程。本文基于實際項目，綜合分析影響GTESMG可靠性的確定性因素和隨機因素，并以此結(jié)果來驗證MDCRSA算法的有效性。

1 基于MDCRSA算法的可靠性分析

1.1 MDCRSA算法的原理

假設(shè)系統(tǒng)輸出響應(yīng)為Y，輸入變量為X，則二次響應(yīng)面函數(shù)[13]為

Y(X)=ao+BX+XTCX

(1)

其中，ao、B和C分別為常數(shù)項、線性系數(shù)矩陣和二次系數(shù)矩陣。為了有效預(yù)測GTESMG的可靠性，通過對SMG結(jié)構(gòu)可靠性的研究，本文基于RSM和MCM提出了MDCRSA算法。MDCRSA算法可用于預(yù)測由多個零件(本文中稱為對象)組成的部件的可靠性。MDCRSA算法基本理論如下：

(1)基于結(jié)構(gòu)和功能把復雜的多對象多因素模型分成幾個單對象單因素部分，并根據(jù)每個對象因素的特性和實際情況以適當方式對單對象單因素部分進行RSM分析，應(yīng)用式(1)，獲得相應(yīng)的輸出響應(yīng)。

(2) 使用MDCRSA算法分析可靠性。將獲得的單對象單因素的輸出響應(yīng)作為下一步分析的輸入變量，再次使用響應(yīng)面公式，得到輸出響應(yīng)。再將此輸出響應(yīng)作為總體的輸入變量進行總輸出，得出這個部件的可靠性模型。

通過分解、合并的分析方式將復雜問題簡單化，以適應(yīng)實際工程項目的設(shè)計流程，這樣更易于操作且更加精確。相對于傳統(tǒng)GTESMG中的可靠性估算方法，MDCRSA方法在思路上有了進一步的創(chuàng)新，不是簡單的材料剛強度校驗，而是從結(jié)果出發(fā)，以精確的影響因素數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)計算可靠度，結(jié)果更加直觀。

1.2 MDCRSA算法的數(shù)學模型

基于式(1)的二次響應(yīng)面方程建立MDCRSA的基本數(shù)學模型，假設(shè)GTESMG包括m(m∈Z)個對象，每個對象與n(n∈Z)個因素相關(guān)，令輸入變量為Xij(Xij指第i個對象的第j個因素)，對應(yīng)的輸出響應(yīng)是Yij，則得到響應(yīng)面函數(shù)以及它們之間的關(guān)系：

Yij=f(Xij)i=1,2,…,m；j=1,2,…,n

(2)

(3)

Bij=B1,ijB2,ij…Bk,ij

(4)

(5)

Xij=[x1,ijx2,ij…xk,ij]T

(6)

其中，ao、B和C都是未知參數(shù)，k是變量的個數(shù)。單對象多因素Xi作為響應(yīng)面的輸入變量，則輸出響應(yīng)Yij公式如下:

(7)

Yij中i是單對象多因素Xi的輸出響應(yīng)，具體表示如下:

(8)

由此可知，當所有對象的輸出響應(yīng)被看作輸入變量，表達式如下:

(9)

則總的輸出響應(yīng)

(10)

式(10)就是多分布協(xié)作響應(yīng)面公式。ao、B和C是響應(yīng)面公式的常系數(shù)。式(3)、式(8)、式(10)三個公式原理相同，將總的響應(yīng)面模型分解為多個單對象單因素響應(yīng)面模型后，依次以前一次得到的輸出響應(yīng)作為輸入變量得出下一步的輸出響應(yīng)，重復此步驟，直到得出整體的響應(yīng)面結(jié)果，進而得出可靠性結(jié)果。

2 基于MDCRSA的GTESMG可靠性分

析步驟

由圖1可以看出，方向機由3對齒輪副和4個齒輪軸組成(忽略軸承等小標準件)，每個對象涉及多個影響因素，需依次分析各因素對整個系統(tǒng)的影響。結(jié)合前文所述的MDCRSA可靠性分析原理可得GTESMG的MDCRSA可靠性分析流程，如圖2所示。

(a)SMG結(jié)構(gòu)三維圖

(b)SMG傳動系統(tǒng)圖圖1 SMG結(jié)構(gòu)及其傳動系統(tǒng)Fig.1 Structure and transmission system of SMG

圖2 GTESMG的MDCRSA可靠性設(shè)計的流程圖Fig.2 Flow chart of GTESMG reliability analysis based on DCRSM

(1)將誤差分為靜態(tài)誤差和動態(tài)誤差兩類,用適當?shù)姆椒ǚ治霾煌愋驼`差。當炮塔的角加速度從0°/s2變到70°/s2時(此過程作為一個任務(wù)剖面)，8個臨界點的動態(tài)負載載荷譜如圖3所示。

圖3 齒輪所受法向力與載荷譜Fig.3 Normal force on gears and the load spectrum of shafts

(2)根據(jù)載荷變化分析誤差。畫出不同角加速度下誤差的擬合曲線，找出誤差最大值點(危險點)，以此作為可靠性分析的參考。

(3)以上述危險點作為參考點，列極限方程求解，估算該系統(tǒng)的可靠度，從而確定系統(tǒng)可靠性。

(4)對MDCRSA分析結(jié)果的有效性進行驗證。

上述前兩個步驟與第1節(jié)所述相似，有效性驗證主要通過與傳統(tǒng)計算方法相比較來實現(xiàn)。下文闡述第三步中極限方程的確定方法。

假設(shè)SMG的系統(tǒng)誤差為δΣ，靜態(tài)誤差為δΣ1，動態(tài)誤差為δΣ2，由主動軸的扭曲變形造成的傳動誤差為γΣ，由驅(qū)動軸的彎曲變形引起的誤差為χΣ，由齒輪扭曲變形造成的傳動誤差為φΣ，它們之間的關(guān)系式為[13]

δΣ2=γΣ+χΣ+φΣ

(11)

δΣ=δΣ1+δΣ2=δΣ1+γΣ+χΣ+φΣ

(12)

根據(jù)《火炮設(shè)計手冊》，SMG的可靠性隨負荷(轉(zhuǎn)子速度)而變化的極限狀態(tài)函數(shù)為Y(ω)[14]，當SMG的允許誤差為δ時，有

Y(ω)=δΣ(ω)+χΣ(ω)+φΣ(ω)-δ

(13)

GTESMG達到可靠要求的邊界條件為Y(ω)<0。假設(shè)每個變量之間是相互獨立的，那么它們的均值和方差矩陣分別為

μ=[μδΣ1μγΣμχΣμφΣ]
σ=[σδΣ1σγΣσχΣσφΣ]

由文獻[12]可得誤差Y的均值與方差：

E(Y)=

μY(μδΣ1，μγΣ，μχΣ，μφΣ，μδΣ1，μγΣ，μχΣ，μφΣ)

(14)

D(Y)=

DY(μδΣ1，μγΣ，μχΣ，μφΣ，μδΣ1，μγΣ，μχΣ，μφΣ)

(15)

式中，μY(·)為均值函數(shù)；DY(·)為方差函數(shù)。

整個GTESMG的可靠性指標β以及可靠度R分別為[15]

(16)

3 GTESMG可靠性分析

3.1 GTESMG分析

齒輪傳動誤差分解為靜態(tài)誤差和動態(tài)誤差。靜態(tài)誤差的重要來源是制造誤差和安裝誤差。制造誤差主要由幾何離心率、運動偏心、齒形誤差以及齒寬偏差引起；安裝誤差由實際旋轉(zhuǎn)中心和理論旋轉(zhuǎn)中心的偏差引起，主要是軸和齒輪的配合間隙、軸承的徑向間隙以及中心距偏差導致。動態(tài)誤差是由扭矩的變化、材料本身的缺陷導致的彈性變形引起的，主要包括傳動軸扭曲變形、傳動軸彎曲變形以及齒輪扭轉(zhuǎn)變形引起的傳動誤差。

根據(jù)誤差計算原則[10]，得到角加速度為70°/s2時兩種類型的傳動誤差[10]。靜態(tài)誤差結(jié)果如表1所示，動態(tài)誤差結(jié)果如表2～表4所示。表中，Z2/Z1表示Z2、Z1齒輪傳動副，其他類推；Jt表示圓周側(cè)隙；d2為從動輪分度圓直徑；Ψ為單向傳動誤差角；φ為空回誤差角；χa為齒頂圓位移；χf為齒根圓位移；η為分度圓位移；φ為扭轉(zhuǎn)變形角。

表1 SMG的靜態(tài)誤差

表2 傳動軸扭曲變形引起的傳動誤差

表3 傳動軸彎曲變形引起的傳動誤差

表4 齒輪扭轉(zhuǎn)變形引起的傳動誤差

3.2 隨機變量的選擇

為了驗證SMG的MDCRSA可靠性分析效果，根據(jù)實際情況，設(shè)定SMG中某些重要參數(shù)(參考工程經(jīng)驗，選擇角加速度為70°/s2時的參數(shù))為隨機變量,如齒輪模數(shù)m、材料密度ρ、齒面法向力Fn、壓力角α、扭矩T，如表5所示。這些參數(shù)相互獨立且分別服從正態(tài)分布。

表5 GTESMG (角加速度70°/s2)的隨機變量選擇

3.3 齒輪傳動誤差危險點的確定

角加速度隨負載的變化而變化，所以火炮方向機的傳動誤差隨負載改變。在一個任務(wù)剖面內(nèi)，不同的傳動誤差可以通過相同的方法計算。假設(shè)靜態(tài)誤差是3.18 mm(數(shù)據(jù)來源于《火炮設(shè)計手冊》)，可以模擬得出隨角加速度不同，火炮方向機傳動誤差的變化曲線，如圖4所示。

圖4 SMG不同角加速度下的傳動誤差的曲線擬合Fig.4 Fitting curves of transmission errors of SMG with different rotor speed

由圖4可以看出，在一個任務(wù)剖面內(nèi)，火炮方向機齒輪傳動誤差Y幾乎是呈線性增加的，因此，可靠性危險點將在最大負載時獲得，即角加速為70°/s2時得到。該點的誤差應(yīng)該被視為GTESMG可靠性分析的計算點，當此點的安全性可以保證時，整體的可靠性即可保證。

3.4 可靠性分析

3.4.1 單個對象的可靠性分析

對于單個對象，根據(jù)隨機因素(表5)的隨機取值變化來模擬響應(yīng)面模型10 000次,得出單個對象在隨機變化下隨機誤差的輸出響應(yīng)值的直方圖。所有輸出響應(yīng)均服從正態(tài)分布[10]，得出SMG的動態(tài)誤差。傳動軸扭曲變形、傳動軸彎曲變形、齒輪扭轉(zhuǎn)變形引起的三種動態(tài)誤差的平均值分別為3.1725′、5.2891′、0.1539′，標準差分別為0.0135′、0.0022′、0.1002′，服從正態(tài)分布。根據(jù)表5中所列齒輪變量的均值和方差，將齒輪隨機變量的統(tǒng)計特性分別輸入各自的有限元模型，并分別進行有限元分析(20、38)，(22、45)，(25、40)次，各齒輪的有限元分析如圖5～圖10所示。由Box-Behnken矩陣法獲得測試樣本，并用6個齒輪的響應(yīng)面模型代替各自的有限元分析模型，再應(yīng)用MCM法對每個響應(yīng)面模型進行10000次的抽樣實驗，對得到的數(shù)據(jù)進行分析，得到各齒輪的輸出響應(yīng)直方圖，如圖11～圖16所示。顯而易見，所有的輸出響應(yīng)服從正態(tài)分布，且各自的平均值分別為0.247′、0.009′、0.408′、0.268′、 0.896′、0.430′，標準偏差分別為0.0205′、0.0211′、0.0182′、0.0185′、0.0211′、0.0128′。

圖5 齒輪Z1受力變形有限元分析Fig.5 Load-deformation diagrams of gears Z1

圖6 齒輪Z2受力變形有限元分析Fig.6 Load-deformation diagrams of gears Z2

圖7 齒輪Z3受力變形有限元分析Fig.7 Load-deformation diagrams of gears Z3

圖8 齒輪Z4受力變形有限元分析Fig.8 Load-deformation diagrams of gears Z4

圖9 齒輪Z5受力變形有限元分析Fig.9 Load-deformation diagrams of gears Z5

圖10 齒輪Z6受力變形有限元分析Fig.10 Load-deformation diagrams of gears Z6

圖11 齒輪Z1的誤差分布直方圖Fig.11 Total error maps of each gear Z1

圖12 齒輪Z2的誤差分布直方圖Fig.12 Total error maps of each gear Z2

圖13 齒輪Z3的誤差分布直方圖Fig.13 Total error maps of each gear Z3

圖14 齒輪Z4的誤差分布直方圖Fig.14 Total error maps of each gear Z4

圖15 齒輪Z5的誤差分布直方圖Fig.15 Total error maps of each gear Z5

圖16 齒輪Z6的誤差分布直方圖Fig.16 Total error maps of each gear Z6

3.4.2 基于MDCRSA的GTESMG可靠性分析

根據(jù)MDCRSA的基本原理，以式(12)和式(13)作為火炮方向機可靠性分析的響應(yīng)面分析模型。利用蒙特卡羅法對該響應(yīng)面模型模擬分析10 000次，得到火炮方向機齒輪傳動誤差的分布特征。模擬過程和分布的直方圖見圖17，結(jié)果表明傳動誤差Y服從正態(tài)分布，均值為9.653′，方差為0.0134′。Y的故障數(shù)量是110，失效概率為0.011，可靠度是0.990，滿足設(shè)計要求。

(a)誤差Y的一個模擬歷史

(b)誤差Y的分布圖圖17 GTESMG可靠性分析輸出響應(yīng)的結(jié)果 Fig.17 Output response results of GTESMG reliability analysis

3.4.3 MDCRSA有效性驗證

通過與傳統(tǒng)方法的對比來驗證MDCRSA的有效性和可行性。絕對值法(AVM)和概率法(PM)是火炮方向機可靠度計算的傳統(tǒng)方法，經(jīng)常被用于實際項目的校驗與安全性評價。本文用蒙特卡羅法、響應(yīng)面法以及MDCRSA法進行火炮可靠性分析。在分析過程中，這三種方法在相同的條件下運行。MDCRSA采用7臺計算機并行計算，一臺計算機計算一個齒輪的相關(guān)數(shù)據(jù)，另一臺計算機計算文中提到的其他誤差。然后將分析結(jié)果作為輸入響應(yīng)對火炮方向機齒輪傳動誤差進行整體的可靠性分析。三種方法計算所用時間如表6所示?？煽啃苑治鼋Y(jié)果如表7所示(忽略40 h以上的系數(shù)項)。

由表6可知，MDCRSA響應(yīng)面函數(shù)的擬合時間相當于RSM法擬合時間的4.16%，遠短于RSM法和MCM法的擬合時間；從仿真時間比較，MDCRSA算法計算速度是另外兩種方法的十萬倍至百萬倍。表7表明，MDCRSA算法的計算精度相對于另外兩種方法也有大幅提高，尤其是對于采樣數(shù)超過106的模擬，MDCRSA算法可以實現(xiàn)，而RSM法和MCM法幾乎是不可能實現(xiàn)的，更不用說其他傳統(tǒng)方法。隨著模擬次數(shù)的增加，上述優(yōu)勢(計算速度和精度)將更加明顯。上面的理論分析和案例分析驗證了MDCRSA算法的有效性和可行性。

4 結(jié)論

本文介紹了MDCRSA算法的基本原理和數(shù)學模型，并通過實驗驗證了該算法的有效性和精確性。計算結(jié)果表明，當GTESMG的參考值為10′時，0.990的可靠度基本滿足工程要求。MDCRSA不僅能克服傳統(tǒng)方法難以解決復雜組件可靠性估算的問題，還極大地節(jié)省了計算時間，提高了計算效率。這種算法為GTESMG設(shè)計和可靠性分析提供了一種新的研究方法，有助于開發(fā)高性能和高可靠性的SMG，值得進一步研究。目前MDCRSA只被用于項目的結(jié)果驗證，并未在真正的設(shè)計過程中使用，如果可以在設(shè)計中使用，并最終用來評估設(shè)計，將會更進一步驗證該算法的有效性。

表6 三種方法可靠性分析的計算時間

表7 GTESMG可靠性分析三種方法的計算結(jié)果

Tab.7 GTESMG reliability analysis results by three methods

采樣數(shù)方法MCMRSMMDCRA1020.97110.95740.99051030.97750.97420.99591040.97960.98510.97881050.98560.99891060.9999

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(編輯 袁興玲)

Reliability Analyses of Gear Transmission Errors of Steering Mechanism of Gun Using MDCRSA

BAI Yali1ZHANG Yi1JI Min2LIU Wenqiang3

1.Department of Mechanical Engineering，Xijing University，Xi’an，710123 2.Department of Mechanical and Electrical Technology，Xijing University，Xi’an，710123 3.Department of Mathematics, Xijing University，Xi’an，710123

To more accurately show the gear transmission errors of the steering mechanism of the gun (GTESMG)，reliability analysis of the GTESMG was carried out from a probabilistic perspective by considering multiple factors and dynamic loads. According to GTESMG’s practical applications and theoretical researches，MDCRSA were proposed and the mathematical model of this algorithm was established based on a quadratic function， the detail description of the algorithm was given herein. Then an illustrative real project was used to validate the algorithm in some aspects. The simulation results show that when the design value of GTESMG is as 10′，the reliability is as 0.990，it may meet the requirements of a steering mechanism of gun. Through the comparisons with traditional five analysis methods which were used to evaluate the reliability of gun， the results show that MDCRSA has higher precision and higher efficiency in the reliability analysis of GTESMG. These strengths are likely to become more prominent with increasing simulation times. This research provides an effective and excellent method for the reliability analysis of GTESMG，moreover，the MDCRSA offers a useful insight for designing the reliability of complex gun assemblies.

steering mechanism of the gun；transmission error；reliability；multiple objects multiple factors；multiply distributed collaborative response surface algorithm (MDCRSA)

2016-05-15

2017-04-26

陜西省自然科學基礎(chǔ)研究計劃資助項目(2013JM8040)；陜西省教育廳科研計劃資助項目(2013JK1204)

TJ33

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.13.013

白亞莉，女，1983年生。西京學院機械工程學院講師。主要研究方向為機械系統(tǒng)設(shè)計與應(yīng)用。發(fā)表論文5篇。E-mail：baileiwdd@163.com。張 毅，男，1969年生。西京學院機械工程學院院長、副教授。冀 敏，女，1975年生。西京學院機電技術(shù)系講師。劉文強，男，1973年生。西京學院數(shù)學系講師。