一個(gè)推廣的積分中值定理

肖勁森，林全文

（廣東石油化工學(xué)院數(shù)學(xué)系，廣東茂名525000）

一個(gè)推廣的積分中值定理

肖勁森，林全文*

（廣東石油化工學(xué)院數(shù)學(xué)系，廣東茂名525000）

積分中值定理是數(shù)學(xué)分析的基本定理，它在極限和積分的計(jì)算中有著廣泛的應(yīng)用.利用確界定義及介值定理，改進(jìn)了混合積分中值定理.由該定理，可推導(dǎo)出可積函數(shù)具有介值性條件下的積分第一中值定理．

積分第一中值定理；積分第二中值定理；混合積分中值定理

積分第一、二中值定理是數(shù)學(xué)分析的基本定理，它給出了簡化定積分的方法，在求極限、判定某些性質(zhì)點(diǎn)、估計(jì)積分值等方面有著廣泛的應(yīng)用［1-4］.大部分?jǐn)?shù)學(xué)分析教材中對(duì)兩種類型定理表述為兩個(gè)中值定理.

積分第一中值定理［1］設(shè)f（x）在[a，b]上連續(xù)，g（x）在[a，b]上可積且不變號(hào)，則至少存在一點(diǎn)ζ∈[a，b]，使得：

積分第二中值定理［1］設(shè)f（x）在[a，b]上單調(diào)，g（x）在[a，b]上可積，則存在ζ∈[a，b]，使得：

張新元給出了積分第一中值定理?xiàng)l件下類似于第二中值定理的混合積分中值定理［5］．

混合積分中值定理［5］設(shè)f（x），g（x）在[a，b]上可積，M，m分別為f（x）在[a，b]的上、下確界，g（x）在[a，b]上不變號(hào)，則存在ζ∈[a，b]，使得：

由鄧波一文可知，積分第一、二中值定理中函數(shù)f（x）和混合積分中值定理中函數(shù)g（x）在[a，b]上連續(xù)時(shí)，點(diǎn)ζ可以在開區(qū)間[a，b]中取得［6］．

值得注意的是，積分第二中值定理與混合中值定理在條件為“f（x）在[a，b]上單調(diào)，g（x）在[a，b]上可積且不變號(hào)”時(shí)一致.一個(gè)很自然的問題是：積分第一中值定理和第二中值定理之間又有什么關(guān)系呢？本文將給出比（2）式更加類似于（1）的表達(dá)式.由該表達(dá)式，可以推導(dǎo)第一中值定理在函數(shù)f（x）在[a，b]上“連續(xù)”改為“具有介值性且可積”條件下成立.

定理1設(shè)f（x），g（x）在[a，b]上可積，g（x）在[a，b]上不變號(hào)，則存在x1,x2∈[a，b]以及至少存在一點(diǎn)ζ∈[a，b]，使得：

證因?yàn)閒（x），g（x）在[a，b]上可積，所以f（x）g（x）在[a，b]上可積.不防設(shè)g（x）≥0（x∈[a，b]）,M,m分別為f（x）在[a，b]的上下確界，則有：

因此由積分的保不等式性可得：

因而存在λ∈（0,1），使得：

情形2：若（4）式至少一個(gè)等號(hào)成立，假設(shè)：

可知f（x）=M a.e.[c，d].因而存在x1,x2∈[c，d]?[a，b]使f（x1）=f（x2）=M，及任意ζ∈[a，b]，使得：

由定理1的證明容易得到，當(dāng)函數(shù)f（x）在[a，b]上單調(diào)時(shí)，若定理1中f（x）在[a，b]上具有介值性且可積，則由（3）式（或（5）式）容易得到以下當(dāng)ζ屬于開區(qū)間（a，b）上的積分第一中值定理．

推論1［7］設(shè)函數(shù)f（x）在[a，b]上具有介值性且可積，函數(shù)g（x）在[a，b]上可積且不變號(hào)，則至少存在一點(diǎn)ζ∈[a，b]，使得：

注：由達(dá)布（Darboux）導(dǎo)函數(shù)介值定理［1］可知，一個(gè)閉區(qū)間上處處可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)與閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有著一個(gè)共同性質(zhì)——介值性，因此“具有介值性且可積”條件下的推論1，要比“連續(xù)”條件下的結(jié)論，以及“具有原函數(shù)且可積”條件下的結(jié)論更為廣泛［8-12］．

［1］劉名生,馮偉貞,韓彥昌.數(shù)學(xué)分析（一）[M].北京：科學(xué)出版社,2009.

［2］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上）[M].北京：高等教育出版社,2012.

［3］李澤民.關(guān)于積分第二中值定理的改進(jìn)[J].河南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）,1996，26（1）:14-14.

［4］劉紅超.關(guān)于積分第二中值定理的研究[D].武漢：湖北大學(xué),2010.

［5］張新元.積分中值定理的較一般情況的幾何意義及其推廣形式[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2010,26（3）:161-165.

［6］鄧波.關(guān)于積分第一中值定理的補(bǔ)充說明[J].數(shù)學(xué)通報(bào),1998（2）:47-47.

［7］李衍禧.積分第一中值定理的推廣[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2007,37（9）:203-206.

［8］關(guān)若峰.積分中值定理的推廣[J].廣州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）,2004,3（6）:499-500.

［9］陳玉.基于微分中值定理的積分中值定理[J].高等數(shù)學(xué)研究,2013（6）:42-45.

［10］文傳軍,姚俊.推廣的積分第一中值定理的再改進(jìn)[J].高等數(shù)學(xué)研究,2011,14（1）:42-44.

［11］劉日成,宋國亮.用介值定理證明積分第二中值定理[J].東北石油大學(xué)學(xué)報(bào),2008,32（6）:112-114.

［12］李衍禧.關(guān)于多重積分中值定理的改進(jìn)[J].濰坊學(xué)院學(xué)報(bào),2009,9（2）:75-76.

A Generalized Mean Value Theorem for Integrals

XIAO Jin-sen,LIN Quan-wen*
（Department of Mathematics,Guangdong University of Petrochemical Technology,Maoming 525000, Guangdong,China）

As a fundamental theorem of mathematics analysis,the mean value theorem for integrals is widely applied in calculation of limits and integrals.This paper,by using the definitions of supremum and infimum together with the intermediate value theorem,perfects the mixed mean value theorem for integrals.Based on this theorem,the first mean value theorem for integrable functions with the intermediate value property can be deduced.

First mean value theorem for integrals;Second mean value theorem for integrals;mixed mean value theorem for integrals

O172.2

A

1007-5348（2017）06-0001-03

（責(zé)任編輯：邵曉軍）

2017-02-02

國家自然科學(xué)基金青年基金項(xiàng)目(11501131)；廣東省高等學(xué)校優(yōu)秀青年教師培養(yǎng)計(jì)劃項(xiàng)目（YQ2015117）；茂名市科技局軟科學(xué)項(xiàng)目（20140340）.

肖勁森(1984-)，男，廣東高州人，廣東石油化工學(xué)院數(shù)學(xué)系副教授，博士；研究方向：函數(shù)論.*通訊作者.