中學(xué)數(shù)學(xué)建模問(wèn)題探究

夏仲禹

摘 要：數(shù)學(xué)及其應(yīng)用曾是我國(guó)古代最發(fā)達(dá)的傳統(tǒng)科學(xué)之一，其實(shí)用性領(lǐng)先世界上千年。所謂數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)模型來(lái)解決生活中實(shí)際問(wèn)題的一種方法，把抽象的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型問(wèn)題來(lái)解決，并經(jīng)過(guò)驗(yàn)證來(lái)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題。該文探討的數(shù)學(xué)模型不但能夠解決抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而且對(duì)我們掌握其他學(xué)科知識(shí)、探討邊緣學(xué)科都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué) 建模 探究

中圖分類號(hào)：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2017）06（c）-0190-02

作為一名高中生，筆者比較喜歡數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根本目的是要應(yīng)用到國(guó)家的建設(shè)中去，為國(guó)家的強(qiáng)大服務(wù)。學(xué)習(xí)過(guò)程中，要使數(shù)學(xué)課程中應(yīng)用意識(shí)落到實(shí)處，一個(gè)重要的舉措就是對(duì)數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)建模就是用建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的方法，也就是把實(shí)際的抽象問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)建立模型，然后求解該數(shù)學(xué)問(wèn)題，并檢驗(yàn)修正。在中學(xué)主要有下面幾類常見的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題，現(xiàn)分析如下。

1 從離散的點(diǎn)狀數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)函數(shù)模型（即函數(shù)圖像擬合法）

這類問(wèn)題以統(tǒng)計(jì)為前提 ，特別是隨著時(shí)間或其他因素而漸變的量，從分散的數(shù)據(jù)中，建立帶有參數(shù)的函數(shù)模型，并進(jìn)行參數(shù)求解，可以對(duì)未知的（國(guó)民生產(chǎn)總值等）進(jìn)行預(yù)測(cè)。例1：某新建成的服裝廠的產(chǎn)量。該廠從去年九月份開始投產(chǎn)，并且前4個(gè)月的產(chǎn)量分別為3.5萬(wàn)件，3.7萬(wàn)件，3.8萬(wàn)件，3.88萬(wàn)件。由于產(chǎn)品質(zhì)量好款式新穎，因此前幾個(gè)月的銷售情況良好。該廠廠長(zhǎng)碰到了一個(gè)難題：為了制定企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃，需要估測(cè)今后幾個(gè)月的產(chǎn)量。從函數(shù)關(guān)系角度去研究，把月份看作橫坐標(biāo)，產(chǎn)量看作縱坐標(biāo)，建立坐標(biāo)系，將以上數(shù)據(jù)抽象為數(shù)對(duì)（1，3.5）（2，3.7）（3，3.8）（4，3.88），并在平面直角坐標(biāo)系中表示出來(lái)。

用幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)找出與之相近的模擬函數(shù)，利用函數(shù)模型來(lái)解決該實(shí)際問(wèn)題，如圖1所示。

設(shè)開始生產(chǎn)后的第x個(gè)月份服裝廠的產(chǎn)量為y萬(wàn)件。

方案1：建立模型：（直線型擬合法）。選用一次函數(shù)，因?yàn)橐淮魏瘮?shù)最簡(jiǎn)單，它是直線型的。我們的模擬函數(shù)是：y=kx+b（k≠0）。求解參數(shù)：代入（1，3.5），（2，3.7）得到方程組

k+b=3.5 （1）

2k+b=3.7 （2）

求得k=0.2，b=3.3，此時(shí)y=0.2x+3.3。驗(yàn)證：代入 （3，3.8），（4，3.88），發(fā)現(xiàn)該函數(shù)模型與實(shí)際情況擬合度過(guò)低，因此應(yīng)舍棄該模型。

方案2：建立模型：（拋物線型擬合法）。選用二次函數(shù)，因?yàn)檎劬€顯然不是直線，二次函數(shù)是我們熟悉的常見的曲線函數(shù)。我們的模擬函數(shù)是：y=ax2+bx+c（a≠0）。求解參數(shù)：代入（1，3.5），（2，3.7），（3，3.8）得到方程組：

a+b+c=3.5 （3）

4a+2b+c=3.7 （4）

9a+3b+c=3.8 （5）

解方程組得： a=﹣0.05， b=0.35，c=3.2。生產(chǎn)月份與產(chǎn)量之間的關(guān)系為：y=﹣0.05 x2+0.35x+3.2。驗(yàn)證：當(dāng)x=2時(shí)，y=﹣0.05 x2+0.35x+3.2=3.8 與實(shí)際情況（x=2時(shí)，y=3.88）有所偏差，而且根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，其對(duì)稱軸為x=3.5，當(dāng)x（代表生產(chǎn)月份）>3.5時(shí)y（代表該月產(chǎn)量）為減函數(shù)，y值不斷減小，直至y=0，顯然這與”產(chǎn)品質(zhì)量好，服裝款式新穎，因此前幾個(gè)月的產(chǎn)品銷售情況良好”的實(shí)際情況不相符合，無(wú)法正確預(yù)測(cè)后面幾個(gè)月的服裝產(chǎn)量，因此應(yīng)舍棄該模型。

2 從等量關(guān)系出發(fā)建立方程模型或不等式模型

對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中廣泛存在的等量關(guān)系，如增長(zhǎng)率、儲(chǔ)蓄利息、濃度配比、工程施工及人員調(diào)配、行程、核定價(jià)格范圍、盈虧平衡分析等問(wèn)題，則可挖掘?qū)嶋H問(wèn)題所隱含的數(shù)量關(guān)系可列出方程（組）轉(zhuǎn)換為，轉(zhuǎn)化為不等式（組）的求解或目標(biāo)函數(shù)在閉區(qū)間的最值問(wèn)題。

2 從圖形問(wèn)題中建立數(shù)學(xué)模型

這類數(shù)學(xué)建模問(wèn)題在實(shí)際生活中較常見，比如求周長(zhǎng)、面積、體積等的最大值、最小值問(wèn)題。我們可以結(jié)合相關(guān)的幾何公式，建立相應(yīng)的函數(shù)模型。在實(shí)際工作中，諸如遇到工程定位、邊角余料加工、拱橋計(jì)算、皮帶傳動(dòng)、修復(fù)破殘輪片、跑道的設(shè)計(jì)與計(jì)算等應(yīng)用問(wèn)題，涉及一定圖形的性質(zhì)常需建立幾何模型，轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題求解，見圖2。

例2：半徑為r的圓木鋸成橫截面為矩形的木料，怎樣鋸法才能使橫截面的面積最大？

當(dāng)且僅當(dāng)x2=4r2-x2即x=r時(shí)。即受截面矩形為正方形的面積最大。考慮到現(xiàn)時(shí)所學(xué)的三角函數(shù)的角 ，可以用角作變量。此題就有利用三角函數(shù)建立的數(shù)學(xué)模型.設(shè)對(duì)角線與一條邊的夾角為θ。

總之，數(shù)學(xué)和我們的生活息息相關(guān)，是我們學(xué)習(xí)和工作的一種工具，不但可以幫助我們解決現(xiàn)實(shí)生活中的好多問(wèn)題，還可以加深我們對(duì)其它學(xué)科的理解。數(shù)學(xué)模型不但能夠解決抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)我們掌握其他學(xué)科知識(shí)、探討邊緣學(xué)科都會(huì)產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。

參考文獻(xiàn)

[1] 沈小青.數(shù)學(xué)建模教學(xué)模式論[D].福建師范大學(xué)，2003.

[2] 趙冬歌.關(guān)于“高中學(xué)生數(shù)學(xué)建?！钡脑u(píng)價(jià)[D].首都師范大學(xué)，2005.

[3] 梁邦屏.數(shù)學(xué)建模在中學(xué)研究性學(xué)習(xí)中的應(yīng)用研究[D].華中師范大學(xué)，2006.

[4] 許二龍.高中生數(shù)學(xué)建模能力水平研究[D].華中師范大學(xué)，2013.