張思明

碩士研究生畢業(yè)后，我選擇了回學(xué)校工作。我希望自己做一個(gè)基礎(chǔ)教育崗位上平凡但不平庸的老師。

我曾在自己的班里做過(guò)一項(xiàng)調(diào)查，題目是“在你們心目中數(shù)學(xué)是什么？”，一個(gè)學(xué)生寫(xiě)道：“數(shù)學(xué)是一些居心叵測(cè)的成年人為學(xué)生挖的陷阱！”另一個(gè)學(xué)生也有同感：“數(shù)學(xué)是一些僅僅出現(xiàn)在課本和試卷上的，讓某些老師看著學(xué)生崴腳而感到竊喜的東西?！睂W(xué)生的“黑色幽默”令我感到震驚、悲哀，原來(lái)我們這些盡心力教學(xué)的老師在學(xué)生心目中，無(wú)非是一些挖坑布雷的高手，而數(shù)學(xué)竟被視為老師懲治學(xué)生的工具。從那時(shí)起，我開(kāi)始重新審視自己的數(shù)學(xué)教學(xué)，不再滿足于自己數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)的嫻熟，也不再滿足于學(xué)生能安靜地聽(tīng)數(shù)學(xué)課，而是需要思考我們要給學(xué)生怎樣的數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育？

跟我學(xué)數(shù)學(xué)，孩子們覺(jué)得數(shù)學(xué)“好玩兒”

我國(guó)的數(shù)學(xué)教育具有基礎(chǔ)扎實(shí)、訓(xùn)練嚴(yán)格的傳統(tǒng)優(yōu)勢(shì)。但知識(shí)面窄、形式刻板、重理論輕應(yīng)用的傾向也是現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。很多數(shù)學(xué)教師常常把主要精力放在知識(shí)點(diǎn)的傳授上，然后讓學(xué)生進(jìn)行大量的反復(fù)訓(xùn)練，以為這樣就能讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)。但忽視了告訴學(xué)生這些數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)源、應(yīng)用，知識(shí)點(diǎn)沒(méi)有了“源”和“流”，沒(méi)有了生命力。實(shí)際上，數(shù)學(xué)不僅僅是“思維的體操、皇冠上的明珠、理工科的基礎(chǔ)”，還是表達(dá)和交流的語(yǔ)言，它承載著思想和文化，是現(xiàn)代文明的重要組成部分，是文明人的標(biāo)志性素養(yǎng)，成為人才必備的核心競(jìng)爭(zhēng)力。

作為數(shù)學(xué)教師，如何讓學(xué)生通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)聯(lián)；用數(shù)學(xué)思維分析世界，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題，積累數(shù)學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)；用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界，學(xué)會(huì)交流與合作，加深對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解，提升應(yīng)用能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神？這是我們的努力方向。只有讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，讓他們學(xué)會(huì)自己提出問(wèn)題，逐步學(xué)會(huì)解決問(wèn)題，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的源和流，要讓學(xué)生感覺(jué)數(shù)學(xué)可親、可用，才能產(chǎn)生學(xué)習(xí)的興趣，這才是學(xué)習(xí)的內(nèi)動(dòng)力。

在課堂上，我讓學(xué)生接觸并解決一些有真實(shí)感的應(yīng)用問(wèn)題，使學(xué)生覺(jué)得數(shù)學(xué)有用。比如：結(jié)合函數(shù)的學(xué)習(xí)，調(diào)查銀行現(xiàn)行利率，計(jì)算若干年后可能的存款收益；等差數(shù)列求和與實(shí)物堆垛；排列組合與自行車(chē)變速原理；購(gòu)買(mǎi)“平安保險(xiǎn)”到底是虧還是賺？電視塔的高度與覆蓋面的問(wèn)題，足球射門(mén)問(wèn)題，等等。在課外，我經(jīng)常組織學(xué)生到大自然中去“玩”。我把學(xué)生帶到北京近郊的關(guān)溝山谷，讓他們測(cè)量一塊叫“仙枕”的大石頭的體積；每人采集一味中草藥；判斷一棵銀杏樹(shù)的雌雄并找到它的配偶，以此推算銀杏樹(shù)的傳粉半徑；用相機(jī)拍下古跡并判斷它們的年代；用曾經(jīng)講過(guò)的分形知識(shí)，找出具有“生物全息現(xiàn)象”的植物學(xué)生們體驗(yàn)了游玩的快樂(lè)，也培養(yǎng)了解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

在我的引領(lǐng)下，學(xué)生們?cè)凇巴妗敝懈惺芰藦纳钪邪l(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的樂(lè)趣，開(kāi)始在學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)方面表現(xiàn)出空前的主動(dòng)性與熱情，嘗試著提出和解決生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。一個(gè)學(xué)生說(shuō)：當(dāng)我們憑自己的知識(shí)和智慧成功地解決了一個(gè)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，我們的喜悅心情絕對(duì)不亞于得第一、拿滿分。張老師讓我們體會(huì)到數(shù)學(xué)的魅力與學(xué)以致用的樂(lè)趣。

“數(shù)學(xué)好玩”，這是國(guó)際數(shù)學(xué)大師陳省身老先生致中國(guó)少年數(shù)學(xué)論壇開(kāi)幕的題詞。筒單的四個(gè)字折射出他的數(shù)學(xué)情懷。不愧是大師，望百之人，在參悟了人生百味后，又回復(fù)了童心童語(yǔ)——好玩兒；與科學(xué)相伴終身的他老人家，竟把最復(fù)雜、應(yīng)用最廣泛的科學(xué)，用最筒單的語(yǔ)言向垂髫幼童介紹——好玩兒！

玩也是我們的“問(wèn)題源”，“實(shí)驗(yàn)”也是我們的研究手段，比如用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方法探索計(jì)算器的“不動(dòng)點(diǎn)”，學(xué)生的好奇心被充分調(diào)動(dòng)起來(lái)。其實(shí)這里面蘊(yùn)含著“極限”的思想。因此，這是介紹極限知識(shí)時(shí)很適合的引入材料。在我的鼓勵(lì)下，所教的兩個(gè)班中，有四位學(xué)生經(jīng)過(guò)自己的探索寫(xiě)出了“不動(dòng)之?dāng)?shù)”等多篇數(shù)學(xué)小論文。實(shí)際上，學(xué)生的這些發(fā)現(xiàn)還可以在學(xué)習(xí)極限、用遞推關(guān)系求解超越方程、了解不動(dòng)點(diǎn)和混沌理論時(shí)發(fā)揮很好的作用。這些發(fā)現(xiàn)有很好的數(shù)學(xué)背景，教師可以利用它們引導(dǎo)學(xué)生更快地走近現(xiàn)代數(shù)學(xué)。

跟著我學(xué)數(shù)學(xué)，學(xué)生們真的感受到了數(shù)學(xué)的“好玩”。其實(shí)，只要學(xué)生覺(jué)得數(shù)學(xué)好玩，他們就會(huì)玩好數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)也在期望著，在它的宮殿里，不要只是愁眉不展的苦修者，更多的應(yīng)該是快樂(lè)的、幸福的，覺(jué)得數(shù)學(xué)真正好玩的研究者。為了讓我和學(xué)生把數(shù)學(xué)“玩”得更深刻、更有味兒。

尊重每一個(gè)學(xué)生，是我做建模教學(xué)的核心理念

從1992年起，我又開(kāi)始嘗試在中學(xué)開(kāi)展數(shù)學(xué)建模的教學(xué)實(shí)踐與探索。

我在中學(xué)開(kāi)展數(shù)學(xué)建模，起步階段是從國(guó)外引入了一些數(shù)學(xué)建模的教材，把它們翻譯過(guò)來(lái)，加工后逐步引入中學(xué)數(shù)學(xué)教育。有了應(yīng)用國(guó)外建模案例的經(jīng)驗(yàn)，我對(duì)數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識(shí)不斷提高，同時(shí)也深深感到，在我們的數(shù)學(xué)教育中應(yīng)開(kāi)發(fā)出適合學(xué)生使用的本土化建模問(wèn)題。20多年來(lái)，我與我的研究團(tuán)隊(duì)一起，與我的學(xué)生一起，花費(fèi)大量的時(shí)間和精力，尋求、開(kāi)發(fā)了應(yīng)用數(shù)學(xué)問(wèn)題，積累了幾十萬(wàn)字的資料和求解報(bào)告，其中多項(xiàng)案例被國(guó)家《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》和高中數(shù)學(xué)教材選用。我把數(shù)學(xué)建模引入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的做法，在全國(guó)數(shù)學(xué)教育界產(chǎn)生了廣泛影響，我的學(xué)生200多人次在美國(guó)西屋“Inter”大賽、全國(guó)創(chuàng)新大賽，北京市數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽中獲獎(jiǎng)。

做建?！皢?wèn)題意識(shí)”是關(guān)鍵。課堂上，都是老師給問(wèn)題，學(xué)生被動(dòng)地做教師提供的問(wèn)題。而我特別在意把學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)、權(quán)利和責(zé)任還給學(xué)生。做建模的開(kāi)始，老師和學(xué)生都提不出可做的問(wèn)題，我就采取現(xiàn)場(chǎng)激發(fā)的辦法。一組組問(wèn)題在相互激發(fā)的狀態(tài)下，很快就被提出來(lái)了，不少問(wèn)題成為學(xué)生實(shí)際進(jìn)行數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)的素材。

小李同學(xué)通過(guò)觀察分析發(fā)現(xiàn)：人在一個(gè)規(guī)則的鋪滿地板磚的地面上，蒙上眼睛行走，踩線（地磚縫）的可能性大小，與行人所穿鞋的幾何尺寸以及地磚相對(duì)尺寸有關(guān)，通過(guò)幾何概率模型他找到了兩者之間的關(guān)系。論文的第一稿已經(jīng)不錯(cuò)了，但我還是希望他進(jìn)一步挖掘造成理論計(jì)算和實(shí)際統(tǒng)計(jì)結(jié)果之間誤差的原因，小李同學(xué)經(jīng)過(guò)進(jìn)一步細(xì)致觀察和查閱文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)“人在全盲狀態(tài)，在一塊開(kāi)闊地上，在朝一個(gè)方向走的意念下，實(shí)際行走的軌跡不是直線，而是一個(gè)大圓”，從而較好地解釋了論文中誤差產(chǎn)生的原因，論文的第二稿又進(jìn)了一步。但我還是對(duì)他說(shuō)，你的工作做得不錯(cuò)，但到現(xiàn)在還停留在“解釋世界”的層面，能不能提高到“改造世界”的層面呢？小李同學(xué)帶著這樣的要求又繼續(xù)觀察，他在動(dòng)物園的兒童樂(lè)園里，看孩子們玩碰碰車(chē)，車(chē)帶著一個(gè)像無(wú)軌電車(chē)一樣的長(zhǎng)導(dǎo)電桿與頂棚相觸，車(chē)的動(dòng)力電源靠全金屬的頂棚供應(yīng)。這時(shí)小李同學(xué)聯(lián)想到自己的研究結(jié)果，如果把頂棚換成金屬網(wǎng)格，導(dǎo)電桿與頂棚接觸部分的尺度超過(guò)網(wǎng)格的寬度，就像一只大鞋踩在小的地板磚上，不管碰碰車(chē)在什么位置，導(dǎo)電桿都會(huì)與金屬網(wǎng)格接觸，從而導(dǎo)電，這樣既節(jié)省金屬材料，降低造價(jià)，還能改善采光、通透和視覺(jué)效果。他把這種想法寫(xiě)進(jìn)了小論文，這個(gè)結(jié)果在北京市當(dāng)年的某項(xiàng)論文競(jìng)賽中獲一等獎(jiǎng)。

尊重每一個(gè)學(xué)生，給他們提供更多的發(fā)展機(jī)會(huì)，是我做建模教學(xué)的核心理念，特別是一些學(xué)業(yè)成績(jī)不出色的學(xué)生。學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中由于各種原因，如基礎(chǔ)知識(shí)、個(gè)人興趣、教師水平、家庭環(huán)境等，造成了他們的成績(jī)分化。但考試成績(jī)中有不少是“應(yīng)試能力”的表現(xiàn)，不一定是學(xué)生能力的全面體現(xiàn)。有的人“急中生智”，有的人“慢功出細(xì)活”，建模學(xué)習(xí)常?？梢詾椴煌芰Y(jié)構(gòu)的學(xué)生提供展示才能的機(jī)會(huì)。建模學(xué)習(xí)中適當(dāng)分組，將有各種特長(zhǎng)（或短處）的學(xué)生放在一起，有時(shí)常常會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生意外的收獲。在數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)中，提倡兩三位學(xué)生一起做一個(gè)課題，一位學(xué)生可能擅長(zhǎng)計(jì)算機(jī)，另一位學(xué)生擅長(zhǎng)實(shí)驗(yàn)，還有一位學(xué)生可能擅長(zhǎng)與人打交道，這樣在做調(diào)查時(shí)就可以承擔(dān)“公關(guān)”的任務(wù)。

記得有一次，3位初一的學(xué)生組成一個(gè)課題小組完成了一篇小論文，在發(fā)表前找到了我，問(wèn)應(yīng)該署誰(shuí)的名字做第一作者，這種問(wèn)題在以前的學(xué)生中不太會(huì)遇到。一是很少有這樣的機(jī)會(huì)，二是很少去考慮這樣的問(wèn)題。面對(duì)這個(gè)“與時(shí)倶進(jìn)”的問(wèn)題，我先和學(xué)生們座談，請(qǐng)大家談一談各自在論文中的貢獻(xiàn)，自己的發(fā)現(xiàn)及別人的長(zhǎng)處。然后給學(xué)生們提議，誰(shuí)對(duì)這項(xiàng)研究的貢獻(xiàn)大，起主要作用，做出關(guān)鍵結(jié)果，誰(shuí)就可以署第一作者，這篇文章誰(shuí)做第一作者，相信你們能統(tǒng)一認(rèn)識(shí)。作為老師，我的建議是，你們這個(gè)研究小組是一個(gè)非常好的研究集體，希望你們?cè)倮^續(xù)做第二個(gè)、第三個(gè)小課題，我想你們每一個(gè)人都可以做一次“第一作者”。一年過(guò)去了，“三人小組”已經(jīng)做完了三個(gè)小課題，在正式出版物上發(fā)表了兩篇文章，“第一作者”流動(dòng)著。

小光同學(xué)是我班的體育特長(zhǎng)生，學(xué)習(xí)上有些吃力，在我們的探究發(fā)現(xiàn)交流課上，頗不自信地介紹自己的“發(fā)現(xiàn)”：“我假期觀察的各種年歷，發(fā)現(xiàn)平年時(shí)，1、10月；2、3、11月；4、7月；9、12月的月歷表一致；而閏年時(shí)，1、4、7月；2、8月；3、11月；9、12月的月歷表一致。”

同學(xué)們聽(tīng)到小光的介紹，表情頗有幾分不屑。我馬上心里一動(dòng)，一個(gè)體育特長(zhǎng)生能抓住身邊的小事，觀察發(fā)現(xiàn)，還會(huì)分類討論，實(shí)屬不易，應(yīng)該鼓勵(lì)。我接過(guò)小光同學(xué)的話茬兒，說(shuō)：你們就沒(méi)體會(huì)小光同學(xué)發(fā)現(xiàn)的“偉大的現(xiàn)實(shí)意義”和“深遠(yuǎn)的歷史意義”。比如，有一種計(jì)算機(jī)病毒叫“黑色的星期五”，它的發(fā)作條件是計(jì)算機(jī)的日期如果是某月的13日是星期五，它就發(fā)作。請(qǐng)你找出距今天較近的3個(gè)使“黑色的星期五”發(fā)作的年、月、日。

再如，有人說(shuō)：“最好的‘辦喜事的日子應(yīng)該是‘6月6日，又是星期六，可這樣的日子是千載難逢的”，你同意這種說(shuō)法嗎？你能找出幾個(gè)“6月6日，又是星期六”的具體年、月、日。

還有，印刷廠為了印刷每年的整張年歷，需要制作“年歷模板”。如果標(biāo)題的年號(hào)和農(nóng)歷不寫(xiě)的年歷稱為年歷模板，不同的年歷模版只要有多少種？2016年的年歷模板，下一次哪年能用？

說(shuō)到這里，小光眼里放光，露出得意的笑容。同學(xué)們被帶進(jìn)了新的思考和討論。同學(xué)們用計(jì)算機(jī)發(fā)現(xiàn)“6月6日是星期六”的日子有2009年、2015年、2020年。因此“千載難逢”的說(shuō)法不對(duì)。經(jīng)過(guò)建模學(xué)習(xí)的學(xué)生們還發(fā)現(xiàn)了更筒單的規(guī)律。之后的討論被小光“順理成章”了。半年后，小光成為班里數(shù)學(xué)建模的骨干，他的論文“澳門(mén)網(wǎng)球單打公開(kāi)賽獎(jiǎng)金分配的分析和揭秘”，在北京市獲獎(jiǎng)。我真為他高興，重拾自信對(duì)于一個(gè)成長(zhǎng)中的孩子多么重要！

去年假期，在學(xué)校值班。一位19年前畢業(yè)的學(xué)生專程來(lái)看我，進(jìn)門(mén)后她就贈(zèng)給我一本680頁(yè)厚的心理學(xué)經(jīng)典的中文譯著，這是她完成的作品。這我不吃驚，因?yàn)樗俏医踢^(guò)的班級(jí)英語(yǔ)課代表，后來(lái)她選擇了文科，高考上了北京外國(guó)語(yǔ)大學(xué)。她和我談了19年來(lái)的成長(zhǎng)和變化，特別感謝我?guī)袑W(xué)做的數(shù)學(xué)建模，使她在后來(lái)的英國(guó)華威大學(xué)做博士、德國(guó)馬克斯·普朗克研究所以及美國(guó)哥倫比亞大學(xué)做博士后工作時(shí)，能夠有勇氣選擇研究了有關(guān)心理測(cè)量和評(píng)估的數(shù)學(xué)模型，并取得了成就。這次回國(guó)創(chuàng)業(yè)，她成功地被清華大學(xué)聘為教授。我想，她的成就是她的努力和正確選擇的結(jié)果，我們的作用非常有限，唯一欣慰的是，我的學(xué)生們走出我的課堂時(shí)知道了，數(shù)學(xué)可用、有用、能用，從而他們自己進(jìn)一步完成了想用、會(huì)用、善用數(shù)學(xué)的旅程。

我并不期盼每個(gè)學(xué)生都成為數(shù)學(xué)家，但如果通過(guò)我的教學(xué)，能使學(xué)生有一種在生活和學(xué)習(xí)中應(yīng)用數(shù)學(xué)的思維觀念和習(xí)慣，使他們有追求卓越、不斷探索的創(chuàng)新精神和追求真理、勤奮求實(shí)、一絲不茍的理性精神，他們自身和我們的國(guó)家都將受益無(wú)窮。