基本初等函數(shù)的一致連續(xù)性

王金花,樊永艷,李志曉

(滄州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河北滄州061001)

基本初等函數(shù)的一致連續(xù)性

王金花,樊永艷,李志曉

(滄州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河北滄州061001)

基本初等函數(shù)：常值函數(shù)y=c，冪函數(shù)y=xa，對數(shù)函數(shù)y=logax(0

連續(xù)；一致連續(xù)；基本初等函數(shù)；函數(shù)可導(dǎo)

函數(shù)的一致連續(xù)性是數(shù)學(xué)分析課程的重要理論，數(shù)學(xué)分析課程中的很多重要結(jié)論的證明都要用到函數(shù)的一致連續(xù)性.目前很多數(shù)學(xué)工作者對函數(shù)的一致連續(xù)性進(jìn)行研究，并得到重要結(jié)論.數(shù)學(xué)分析的研究對象是函數(shù)，初等函數(shù)的分析性質(zhì)是數(shù)學(xué)分析的重要研究內(nèi)容，而初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算與有限次復(fù)合所得到的函數(shù)[1](P14-15)，所以研究基本初等函數(shù)的分析性質(zhì)尤為重要，下面探討基本初等函數(shù)的一致連續(xù)性．

1 預(yù)備知識

定義1 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，若任意ε>0，存在δ=δ(ε)>0，使得對任意的x1,x2∈I，只要|x1-x2|<δ時，就有|f(x1)-f(x2)|<ε，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù)[1](P79)．

定理1 設(shè)f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，且f′(x)有界,則f(x)在I上一致連續(xù)[2][3]．

定理2 若f(x)在有限閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上一致連續(xù)[1](P80)．

所以f(x)在(a,+∞)上不一致連續(xù)．

類似可證下面的定理4：

證明從略．

利用函數(shù)一致連續(xù)的定義，容易推得下面的定理5成立．

定理5 若f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù)，區(qū)間I1?I，則f(x)在I1上一致連續(xù)．

證明從略．

定理7 一切基本初等函數(shù)都是其定義域上的連續(xù)函數(shù)[1](P84)．

定理8 若函數(shù)f(x)在區(qū)間I1和I2上一致連續(xù)，且I1與I2有公共點，則f(x)在I1∪I2上一致連續(xù)[1](P80)．

2 主要結(jié)論

下面討論基本初等函數(shù)的一致連續(xù)性．

2.1 常值函數(shù)y=c

由于y′=0在(-∞,+∞)上有界，由定理1知道，常值函數(shù)y=c在(-∞,+∞)上一致連續(xù)．

2.2 反三角函數(shù)

函數(shù)y=arcsinx與y=arccosx是[-1，1]上的連續(xù)函數(shù)．由定理2知道，y=arcsinx與y=arccosx在[-1,1]上一致連續(xù)．

2.3 三角函數(shù)

對于正弦和余弦函數(shù)y=sinx、y=cosx，由于|(sinx)′|=|cosx|≤1，|(cosx)′|=|-sinx|≤1．由定理1知道，y=sinx與y=cosx在(-∞,+∞)上一致連續(xù)．

2.4 冪函數(shù)

隨著實數(shù)α的不同，冪函數(shù)y=xα的定義域不同．

當(dāng)α為正無理數(shù)時，y=xα的定義域是[0,+∞)；當(dāng)α為負(fù)無理數(shù)時，y=xα的定義域是(0,+∞)．

(1)當(dāng)0<α≤1時，y=xα的定義域為(-∞,+∞)或[0,+∞)．由于(xα)′=αxα-1在[1,+∞)上有界，由定理1知道，y=xα在[1,+∞)上一致連續(xù)，又由定理2、定理7和定理8知道，y=xα在[0,+∞)上一致連續(xù)．當(dāng)y=xα的定義域為(-∞,+∞)時，α為有理數(shù)，y=xα為奇函數(shù)或偶函數(shù)，在(-∞,1]∪[1,+∞)上，(xα)′=αxα-1有界，由定理1知道，y=xα在(-∞,1]和[1,+∞)上一致連續(xù)，又由定理2、定理7和定理8知道，y=xα在(-∞,+∞)上一致連續(xù)．

(2)當(dāng)α=0時，y=xα=1為常值函數(shù)，在(-∞,+∞)上一致連續(xù)．

2.5 指數(shù)函數(shù)

2.6 對數(shù)函數(shù)

綜上所述，對于六類基本初等函數(shù)，其中常值函數(shù)、反三角函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、冪函數(shù)y=xα(0≤α≤1)在其定義域上一致連續(xù)，其它的基本初等函數(shù)在其定義域區(qū)間上非一致連續(xù)．

[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(第四版)[M].北京：高等教育出版社，2001．

[2] 甘宗懷，李秋林．關(guān)于可導(dǎo)函數(shù)一致連續(xù)性的判定定理[J]．高師理科學(xué)刊，2009，29(5)：38-39．

[3] 王文華，曹懷信．一元函數(shù)一致連續(xù)性的性質(zhì)[J]．榆林學(xué)院學(xué)報，2016,26(4)：31-34．

[4] 錢吉林.數(shù)學(xué)分析題解精粹(第二版)[M]．武漢：湖北長江出版集團(tuán)崇文書局，2011．

[責(zé)任編輯：劉秀敏]

Uniform Continuity of Basic Elementary Functions

WANG Jin-hua, FAN Yong-yan, LI Zhi-xiao

(College of Mathematics and Statistics, Cangzhou Normal University, Cangzhou, Hebei 061001, China)

The concept of uniformly continuous function, some sufficient conditions and necessary conditions are introduced. Sequentially, the uniform continuity of basic elementary functions is discussed.

continuity; uniform continuity; basic elementary functions; derived function

2016-11-28

王金花(1963-)，女，河北河間人，滄州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院副教授，研究方向：非線性泛函分析； 樊永艷(1982-)，女，河北孟村人，滄州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院講師，研究方向：微分方程及邊值問題； 李志曉(1990-)，女，山東樂陵人，滄州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院助教，研究方向：統(tǒng)計分析.

O171

A

2095-2910(2017)02-0001-03