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    Ma-Minda型雙向單葉螺旋函數(shù)類的Fekete-Szeg?不等式

    2017-07-12 14:57:04湯獲李文娟張海燕周海燕
    關(guān)鍵詞:星象單葉赤峰

    湯獲, 李文娟, 張海燕, 周海燕

    (1.赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,內(nèi)蒙古赤峰 024000;2.赤峰學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所,內(nèi)蒙古赤峰 024000)

    Ma-Minda型雙向單葉螺旋函數(shù)類的Fekete-Szeg?不等式

    湯獲1,2, 李文娟1,2, 張海燕1,2, 周海燕1,2

    (1.赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,內(nèi)蒙古赤峰 024000;2.赤峰學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所,內(nèi)蒙古赤峰 024000)

    引入單位圓盤(pán) D={z∈C:|z|<1}內(nèi) Ma-Minda型雙向單葉螺旋函數(shù)類(λ,β,φ),利用從屬關(guān)系討論了該類中函數(shù)的Fekete-Szeg¨o不等式,所得結(jié)果推廣了一些作者的相關(guān)工作.

    解析函數(shù);Ma-Minda型雙向單葉螺旋函數(shù);從屬關(guān)系;Fekete-Szeg¨o不等式

    1 引言

    設(shè) R是實(shí)數(shù)集,C是復(fù)數(shù)集,N={1,2,3,···}=N0{0}是正整數(shù)集,A表示在單位圓盤(pán)D={z∈C:|z|<1}內(nèi)具有如下形式:

    的解析函數(shù)族.用S表示在D內(nèi)單葉且滿足A的所有子類.對(duì)于任意函數(shù)f∈S,它是可逆的且其逆函數(shù)f?1滿足:

    這里

    如果函數(shù)f和f?1在D內(nèi)單葉,則稱函數(shù)f∈A在D內(nèi)雙向單葉[1].用σ表示D內(nèi)雙向單葉函數(shù)類.

    設(shè)函數(shù)f(z)和g(z)在D內(nèi)解析,若存在一個(gè)Schwarz函數(shù)w(z),使得

    滿足

    則稱函數(shù)g(z)從屬于f(z),記為g(z)?f(z)(見(jiàn)文獻(xiàn)[2]).

    利用從屬定義,在文獻(xiàn)[3]中引入如下的Ma-Minda型星象函數(shù)和Ma-Minda型凸象函數(shù):

    其中 φ(z)是在D 內(nèi)實(shí)部為正的解析函數(shù),且滿足 φ(0)=1,φ′(0)>0,φ(z)將D 映射到關(guān)于1星象和實(shí)軸對(duì)稱的一個(gè)區(qū)域.

    若 f和 f?1是 Ma-Minda型星象函數(shù),則稱 f是 Ma-Minda型雙向星象函數(shù),記為(見(jiàn)文獻(xiàn)[3]);若f和f?1是Ma-Minda型凸象函數(shù),則稱f是Ma-Minda型雙向凸象函數(shù),記為 Kσ(φ)(見(jiàn)文獻(xiàn)[3]).

    近年來(lái),許多學(xué)者引入并研究了雙向單葉函數(shù)的各種子類[4-6],并得到了該類中函數(shù)系數(shù)|a2|和|a3|的估計(jì).最近,文獻(xiàn)[7-10]借助從屬關(guān)系討論了某些廣義雙向單葉函數(shù)類中函數(shù)系數(shù)|a2|和|a3|的估計(jì).受上述工作的啟發(fā),本文引進(jìn)并研究一類Ma-Minda型雙向單葉螺旋函數(shù)類,利用從屬關(guān)系討論該類中函數(shù)的Fekete-Szeg¨o不等式,所得結(jié)果推廣一些已知結(jié)果.

    2 主要結(jié)果

    假設(shè) φ(z)是在 D 內(nèi)的正實(shí)部單葉解析函數(shù),且 φ(0)=1,φ′(0)>0,φ(z)映射單位圓盤(pán)D到D內(nèi)的星形區(qū)域是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的星象域,其泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式具有如下形式:

    其中 Bj∈ R(j=1,2,···),B1>0.

    下面引入Ma-Minda型雙向單葉螺旋函數(shù)類.

    定義 2.1設(shè)函數(shù)f(z)∈σ由(1.1)式給出,如果函數(shù)f(z)滿足下列條件:

    注 2.1在定義2.1中,若適當(dāng)選取參數(shù)λ,β和φ,可得下列函數(shù)子類:

    為了得出本文主要結(jié)果,需要以下引理.

    引理2.1[2]設(shè)函數(shù)

    為 D 內(nèi)正實(shí)部解析函數(shù),則 |pj|≤2(j=1,2,···).

    定理2.1設(shè)δ∈R,函數(shù)f由(1)式給出,若則有

    定義兩個(gè)函數(shù)p和q如下:

    定理2.1得證.證畢.

    在定理2.1中,若取β=0,則有下列推論2.1.

    推論2.1設(shè)δ∈R,函數(shù)f由(1)式給出,若則有

    在定理2.1中,若取μ=1,則有下列推論2.2.

    推論 2.2設(shè) δ∈R,函數(shù) f由 (1)式給出,若 f∈Hσ(λ,β,φ),則有

    在定理2.1中,若取λ=1,則有下列推論2.3.

    推論2.3設(shè) δ∈R,函數(shù)f由(1)式給出,若f∈(β,φ),則有

    在定理2.1中,若取μ=λ=1,則有下列推論2.4.

    推論 2.4設(shè) δ∈R,函數(shù) f由 (1)式給出,若 f∈Hσ(β,φ),則有

    在定理2.1中,若取δ=1,則有下列推論2.5.

    推論2.5設(shè)函數(shù)f由(1)式給出,若f∈(λ,β,φ),則有

    [1]Lewin M.On a coefficient problem for bi-univalent functions[J].Proc.Am.Math.Soc.,1967,18:63-68.

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    [4]Srivastava H M,Mishra A K,Gochhayat P.Certain subclasses of analytic and bi-univalent functions[J].Appl.Math.Lett.,2010,23:1188-1192.

    [5]Frasin B A,Aouf M K.New subclasses of bi-univalent functions[J].Appl.Math.Lett.,2011,24:1569-1573.

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    [9]Xu Q H,Gui Y C,Srivastava H M.Coefficient estimates for a certain subclass of analytic and bi-univalent functions[J].Appl.Math.Lett.,2012,25:990-994.

    [10]Tang Huo,Deng Guantie,Li Shuhai.Coefficient estimates for new subclass of Ma-Minda bi-univalent functions[J].J.Ineq.Appl.,2013,317:1-10.

    Fekete-Szeg? inequalities for the class of Ma-Minda bi-univalent spirlike functions

    Tang Huo1,2,Li Wenjuan1,2,Zhang Haiyan1,2,Zhou Haiyan1,2
    (1.School of Mathematics and Statistics,Chifeng University,Chifeng 024000,China;2.Institute of Applied Mathematics,Chifeng University,Chifeng 024000,China)

    In this paper,we introduce the class Hμσ(λ,β,φ)of Ma-Minda bi-univalent spirlike functions in the open unit disk D={z ∈ C:|z|<1}.By using the subordination relationship,we investigate Fekete-Szeg¨o inequalities for functions belonging to the above class.The results obtained generalize some known works.

    Ma-Minda bi-univalent spirlike function,subordination relationship,Fekete-Szeg¨o inequality

    O174.51

    A

    1008-5513(2017)03-0241-07

    10.3969/j.issn.1008-5513.2017.03.003

    2017-03-13.

    國(guó)家自然科學(xué)基金(11561001);內(nèi)蒙古自然科學(xué)基金(2014MS0101);內(nèi)蒙古高??蒲谢?NJZY16251).

    湯獲(1979-),博士,副教授,研究方向:復(fù)分析及其應(yīng)用.

    2010 MSC:16D13

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