對(duì)稱六相PMSM與三相PMSM串聯(lián)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模

劉陵順，王銳，閆紅廣，李永恒

（1.海軍航空工程學(xué)院控制工程系，山東煙臺(tái)264001；2.海軍政治工作部辦公室，北京100841）

對(duì)稱六相PMSM與三相PMSM串聯(lián)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模

劉陵順1，王銳2，閆紅廣1，李永恒1

（1.海軍航空工程學(xué)院控制工程系，山東煙臺(tái)264001；2.海軍政治工作部辦公室，北京100841）

針對(duì)表貼型轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的對(duì)稱六相PMSM與三相PMSM串聯(lián)系統(tǒng)，建立了自然坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型，并利用解耦變換矩陣將電壓矢量方程變換到3個(gè)相互正交的αβ-xy-o1o2子空間中去，分別進(jìn)行了同步旋轉(zhuǎn)變換，推導(dǎo)出兩相同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型；最后，利用id=0的矢量控制策略進(jìn)行了變速解耦運(yùn)行的仿真驗(yàn)證。

對(duì)稱六相PMSM；三相PMSM；串聯(lián)系統(tǒng)；數(shù)學(xué)模型

在艦船、飛機(jī)、機(jī)車牽引等領(lǐng)域?qū)?dòng)力系統(tǒng)電氣化要求越來(lái)越高的背景下，多電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)成為重要的研究?jī)?nèi)容，同一逆變器（VSI）驅(qū)動(dòng)多電機(jī)獨(dú)立控制的模式由于經(jīng)濟(jì)性強(qiáng)、節(jié)省空間、可靠性高成為當(dāng)前研究的熱點(diǎn)問(wèn)題[1-3]。近年來(lái)提出的單逆變器驅(qū)動(dòng)對(duì)稱六相PMSM串聯(lián)三相PMSM系統(tǒng)是一種新型的多電機(jī)系統(tǒng)[4-5]。目前，國(guó)外對(duì)于多電機(jī)串聯(lián)系統(tǒng)的研究還處于理論探索為主，而且大多是以多相感應(yīng)電機(jī)的串聯(lián)作為研究對(duì)象，而對(duì)多相永磁同步電機(jī)（PMSM）串聯(lián)系統(tǒng)的研究還較少[6-8]。文獻(xiàn)[6-7]的研究結(jié)果表明夾角為60°電角度的對(duì)稱六相感應(yīng)電機(jī)，必須串聯(lián)三相電機(jī)才能實(shí)現(xiàn)二者的獨(dú)立運(yùn)行，文獻(xiàn)[8]證明國(guó)內(nèi)該系統(tǒng)中對(duì)稱六相PMSM的運(yùn)行對(duì)三相PMSM沒(méi)有影響，而三相PMSM的每相電流有一半流經(jīng)六相PMSM中的各相中去。文獻(xiàn)[9]研究了一臺(tái)單逆變器驅(qū)動(dòng)對(duì)稱六相感應(yīng)電機(jī)和一臺(tái)三相永磁同步電機(jī)的串聯(lián)系統(tǒng)，證明了這種串聯(lián)系統(tǒng)與電機(jī)的類型無(wú)關(guān)。文獻(xiàn)[10]對(duì)這種新型系統(tǒng)的國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀進(jìn)行了綜述，明確了需要進(jìn)一步研究的內(nèi)容。文獻(xiàn)[11]研究了夾角為0的2種不同結(jié)構(gòu)的新型六相PMSM電機(jī)串聯(lián)系統(tǒng)。

這種串聯(lián)系統(tǒng)解耦運(yùn)行的理論基礎(chǔ)是磁動(dòng)勢(shì)（MMF）必須為正弦波分布。為此，文獻(xiàn)[12-15]分別研究了非正弦MMF的多電機(jī)串聯(lián)系統(tǒng)中諧波對(duì)解耦運(yùn)行的影響規(guī)律，提出了幾種不同的諧波補(bǔ)償解耦控制策略。

本文針對(duì)表貼型轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的對(duì)稱六相PMSM與三相PMSM串聯(lián)系統(tǒng)，首先建立起自然坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型，為實(shí)現(xiàn)解耦控制的仿真模型需要，進(jìn)一步對(duì)該模型進(jìn)行了解耦變換和同步旋轉(zhuǎn)變換，分別推導(dǎo)出兩相靜止坐標(biāo)系下和兩相同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型，為后續(xù)的分析和設(shè)計(jì)奠定基礎(chǔ)，最后進(jìn)行了相關(guān)的仿真驗(yàn)證。

1 串聯(lián)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模

單逆變器驅(qū)動(dòng)對(duì)稱六相PMSM和三相PMSM串聯(lián)系統(tǒng)聯(lián)接關(guān)系如圖1所示[3-4]。

1.1 自然坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型

1）磁鏈關(guān)系。設(shè)轉(zhuǎn)子磁鋼形成的勵(lì)磁磁場(chǎng)為正弦波，Ns1、Ns2、?fm1、?fm2、θr1、θr2分別表示對(duì)稱六相PMSM和三相PMSM的定子繞組匝數(shù)、轉(zhuǎn)子磁鋼主磁通、轉(zhuǎn)子磁場(chǎng)與定子繞組A相軸線之間的電角度，Lsm1、Lsσ1、Lsm2、Lsσ2分別表示對(duì)稱六相和三相PMSM每相繞組的主電感和漏感，則有：

式（1）、（2）中：θ1=60°；θ2=120°。

如果設(shè)六相VSI輸出電流表達(dá)式為：

則六相PMSM定子繞組總磁鏈表示為：

這里，

為了匹配VSI的六相輸出電壓，對(duì)式（2）適當(dāng)擴(kuò)展為：

式（5）中：E2為三階單位矩陣；M2為三相PMSM的互感矩陣，且

三相PMSM定子繞組總磁鏈表示為：

分別設(shè)六階陣Rs1=diag(rs1)，三階陣Rs2=diag(rs2)，并對(duì)Rs2進(jìn)行擴(kuò)展：

2）電壓矢量方程。對(duì)稱六相PMSM和三相PMSM的電壓方程表達(dá)式分別表示為：

按照?qǐng)D1的串聯(lián)連接關(guān)系，串聯(lián)系統(tǒng)VSI的輸出電壓表達(dá)式：

3）轉(zhuǎn)矩及運(yùn)動(dòng)方程。設(shè)p1表示對(duì)稱六相PMSM的極對(duì)數(shù)、p2表示三相PMSM的極對(duì)數(shù)，它們的磁能表達(dá)式為[5]：

推導(dǎo)轉(zhuǎn)矩表達(dá)式為：

假設(shè)對(duì)稱六相PMSM和三相PMSM的摩擦系數(shù)分別表示為F1和F2，負(fù)載分別表示為Tl1和Tl2，轉(zhuǎn)速分別表示為ωr1和ωr2，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別表示為J1和J2。那么它們的運(yùn)動(dòng)方程式分別為：

綜上所述，電機(jī)串聯(lián)系統(tǒng)中對(duì)稱六相PMSM和三相PMSM的數(shù)學(xué)模型不可避免地存在耦合關(guān)系，要達(dá)到解耦控制的目標(biāo)，需要進(jìn)行坐標(biāo)變換。

1.2 兩相靜止坐標(biāo)系下的模型

根據(jù)實(shí)變換基本理論，采用文獻(xiàn)[3]提供的空間矢量變換矩陣Τ將自然坐標(biāo)系下逆變器輸出電壓變換到3個(gè)相互正交的αβ-xy-o1o2子空間。

αβ子空間的電壓方程為：

xy子空間內(nèi)的電壓方程：

在o1o2子空間的電壓方程為：

從上述方程可以看出，對(duì)稱六相PMSM的θr1、ωr1等運(yùn)動(dòng)物理量表現(xiàn)在αβ子空間的方程式內(nèi)，三相PMSM的θr2、ωr2等運(yùn)動(dòng)物理量表現(xiàn)在xy子空間的方程式內(nèi)，o1o2子空間方程式不存在任何表征機(jī)械運(yùn)動(dòng)的變量。因而實(shí)現(xiàn)了在αβ子空間對(duì)對(duì)稱六相PMSM的控制，在xy子空間對(duì)三相PMSM的控制，并通過(guò)（21）方程設(shè)法降低o1o2子空間的電流，從而減小能耗。

經(jīng)推導(dǎo)可以得出對(duì)稱六相PMSM和三相PMSM的轉(zhuǎn)矩方程分別為：

從轉(zhuǎn)矩方程中可以看出，αβ子空間內(nèi)的iα、iβ控制對(duì)稱六相PMSM的轉(zhuǎn)矩Te1，xy子空間內(nèi)的ix、iy控制三相PMSM的轉(zhuǎn)矩Te2。通過(guò)坐標(biāo)變換的方法，實(shí)現(xiàn)了串聯(lián)系統(tǒng)中2臺(tái)串聯(lián)PMSM的電壓方程、電磁力矩方程在2個(gè)相互正交子空間內(nèi)的獨(dú)立運(yùn)行。從電壓方程和電磁力矩方程的結(jié)構(gòu)上看，其組成項(xiàng)中依然存在θr1、θr2等表征轉(zhuǎn)子位置角的參數(shù)，需進(jìn)一步變換，變換到同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下，去除這些參數(shù)的影響。

1.3 同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的模型

根據(jù)兩相靜止坐標(biāo)于同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)之間的變換關(guān)系，不難推出該串聯(lián)系統(tǒng)在同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型。

對(duì)于六相PMSM，令：

則有dq坐標(biāo)下的電壓方程分別為：

對(duì)于三相PMSM，令：

則有：

從式（24）、（25）可見(jiàn)，對(duì)稱六相PMSM和三相PMSM的電壓方程只和自身對(duì)應(yīng)同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的d1q1和d2q2分量有關(guān)系，不再含有轉(zhuǎn)子位置信息θr1和θr2。

電磁轉(zhuǎn)矩方程為：

通過(guò)式（26）、（27）可見(jiàn)，對(duì)稱六相PMSM和三相PMSM的電磁轉(zhuǎn)矩分別由iq1、iq2控制，iq1、iq2又分別處于2個(gè)相互正交的子空間內(nèi)，因而可以分別獨(dú)立控制。

2 串聯(lián)系統(tǒng)的控制系統(tǒng)仿真

為形象描述電機(jī)串聯(lián)系統(tǒng)的兩級(jí)坐標(biāo)變換過(guò)程，圖2給出了相關(guān)參數(shù)的變化流圖。

如圖2所示，對(duì)稱六相串聯(lián)三相PMSM系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型通過(guò)2次坐標(biāo)變換，最終將自然坐標(biāo)系下的各個(gè)變量轉(zhuǎn)換到同步旋轉(zhuǎn)兩相dq坐標(biāo)系下，達(dá)到了2臺(tái)PMSM各自獨(dú)立控制運(yùn)行的目標(biāo)，采用id=0的矢量控制以及PWM電流滯環(huán)控制技術(shù)。

對(duì)稱六相PMSM變速仿真：對(duì)稱六相PMSM負(fù)載，轉(zhuǎn)矩為3 N?m，轉(zhuǎn)速為150 r/min，三相PMSM空載轉(zhuǎn)速為100 r/min，在t=0.5 s對(duì)稱六相PMSM減速到50 r/min，在t=1 s對(duì)稱六相PMSM加速到150 r/min。2臺(tái)電機(jī)的工作狀態(tài)如圖3所示。

三相PMSM變速仿真：三相PMSM空載轉(zhuǎn)速為100 r/min，對(duì)稱六相PMSM負(fù)載轉(zhuǎn)矩為3 N?m，轉(zhuǎn)速為150 r/min，在t=0.6 s三相PMSM加速到200 r/min，在t=1 s三相PMSM減速到50 r/min，2臺(tái)電機(jī)的工作狀況如圖4所示。

通過(guò)仿真波形可知：串聯(lián)系統(tǒng)中一臺(tái)電機(jī)轉(zhuǎn)速的變化不會(huì)對(duì)另一臺(tái)電機(jī)的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生任何影響。

3 結(jié)論

本文針對(duì)表貼型轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的對(duì)稱六相PMSM與三相PMSM雙電機(jī)串聯(lián)系統(tǒng)定子繞組的串聯(lián)連結(jié)關(guān)系，分別建立了自然坐標(biāo)系下的磁鏈關(guān)系、電壓矢量方程、轉(zhuǎn)矩與運(yùn)動(dòng)方程關(guān)系，根據(jù)解耦控制的需要，利用空間矢量變換矩陣將電壓方程轉(zhuǎn)換到3個(gè)相互正交的αβ-xy-o1o2子空間中，并進(jìn)一步推導(dǎo)了兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型，給出了控制系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換過(guò)程，最后建立了該串聯(lián)系統(tǒng)基于電流滯環(huán)PWM矢量控制的仿真系統(tǒng)，進(jìn)行了變速解耦運(yùn)行的仿真驗(yàn)證。

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Mathematics Model of Symmetrical Six-Phase and Three-Phase PMSM Series-Connected System

LIU Lingshun1,WANG Rui2,YAN Hongguang1,LI Yongheng1
（1.Department of Control Engineering,NAAU,Yantai Shandong 264001,China; 2.The Political Department of the PRC Navy Force,Beijing 100841,China）

The mathematics models of surface rotor symmetrical six-phase and three-phase PMSM series-connected sys?tem under natural coordinate were setup.The voltage vector equations were converted to three orthogonalαβ-xy-o1o2subspaces each other by decouple matrix.Then the mathematics model of synchronized rotating coordinate were deduced. The simulation results of variable speed withid=0vector control strategy were proved the decouple operation.

symmetrical six-phase PMSM;three-phase PMSM;series-connected system;mathematics model

TM32

A

1673-1522（2017）02-0209-06

10.7682/j.issn.1673-1522.2017.02.006

2017-02-22；

2017-03-07

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51377168）

劉陵順（1969-），男，教授，博士，博導(dǎo)。