引力場和靜電場中幾個重要定理的嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明

沈進中， 鄧留保

(1.安徽理工大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，安徽 淮南 232001；2.安徽財經(jīng)大學(xué) 金融學(xué)院,安徽 蚌埠233030)

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引力場和靜電場中幾個重要定理的嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明

沈進中1， 鄧留保2

(1.安徽理工大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，安徽 淮南 232001；2.安徽財經(jīng)大學(xué) 金融學(xué)院,安徽 蚌埠233030)

物理學(xué)是理解各類實際模型的基礎(chǔ)，深刻理解物理中的重要定理十分重要。從基本定義出發(fā)，采用多元積分的方法給出文獻[1]中球殼定理的嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明。進一步考慮均勻?qū)嵭那蝮w和兩類帶空腔球體的萬有引力場分布，給出對應(yīng)的嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明。根據(jù)引力場與靜電場的表達形式的相似之處，給出均勻帶電球殼、實心球體和兩類帶空腔球體電場分布的數(shù)學(xué)表達式。

球殼定理；引力場；第二類曲面積分；靜電場

筆者在研讀專著[1]的過程中，遇到的第一個重要定理是引力的球殼定理(P320)，但它沒有給出證明過程。陸續(xù)發(fā)現(xiàn)還有一些重要定理也沒有給出數(shù)學(xué)證明，諸如球體引力場分布、電場中的球殼定理和球體定理，這對于物理定理的理解是不深刻的。許多文獻往往是敘述而不證明，甚至都不陳述[2-3]。利用對稱性和環(huán)帶微元上的電場分布，文獻[4-5]給出了球殼表面處的電場分布的證明。文獻[6]采用對電容采用虛功原理求出球殼表面處的電場分布。本文從基本引力的定律和力的疊加原理出發(fā)，采用多重積分嚴(yán)格證明球殼、實心球體、帶空腔球體的引力場分布公式。根據(jù)引力與靜電力的數(shù)學(xué)表達式結(jié)構(gòu)的相似性，可以很自然的給出電場中的球殼定理，進一步給出帶空腔球體的電場分布，事實上，實心球體是空腔球體的特殊情形。相對于已存在的證明，本文給出證明從基本定義出發(fā)，因此更具“基礎(chǔ)性、自然性”和嚴(yán)格性，對于理解球狀幾何體的引力場分布、電場分布、體會電場分布的對稱性是大有益處的。

1 數(shù)學(xué)證明

證明：如圖1，建立空間直角坐標(biāo)系，球心在原點O處。點p在z軸上。

圖1 空心球殼

利用球的對稱性，也可以直觀得到gx=gy=0。

②當(dāng)d=R，即點P在球殼上，

顯然，這與所要證明的結(jié)論的含義是相同的。注意：這里的結(jié)論①③就是球殼定理的內(nèi)容。

圖2 實心球體

那么，

同理，可得

利用球的對稱性，也可以直觀得到gx=gy=0 。再來計算gz，

那么，可得gz為:

顯然，這就是本定理的結(jié)論。注：專著[1]僅僅給出球殼定理(定理1)，并未給出涉及球體的相關(guān)結(jié)論。雖然在有關(guān)問題的處理上使用了定理2的結(jié)論，但僅僅是作為球殼定理的應(yīng)用。嚴(yán)格地說這是不對的，因為球殼的質(zhì)量分布是面分布，而不是體分布，二者不能類似看待。說的更嚴(yán)格一點，球殼是二維幾何體，球體是三維幾何體，可見球殼和球體是不同的。如果定理2中的球體帶有空腔，那么它在空間中任意一點處的引力場又如何分布呢？對這個問題，我們給出以下兩個定理。

證明：

填滿后的球形空腔部分在P處的引力場為：

顯然，這就是定理3所表達的物理含義，證畢。

證明：將空腔中填滿與原來球體相同的物質(zhì)，使之成為一個實心球體。如圖3，應(yīng)用定理2的結(jié)論，采用證明定理3的處理方法，可以很容易得到定理4。這里僅對③做一點說明，由于

圖3 含有空腔的球體

我們知道，一個質(zhì)量為M的質(zhì)點O在空間中任意一點P處產(chǎn)生的引力場為

注：一個帶電量為+q的質(zhì)點O在空間中任意一點P處產(chǎn)生的靜電場為

改寫一下，可得

因此，無需重新推導(dǎo)，只需將質(zhì)量符號改成電荷符號，采用完全相同的證明過程就可得到均勻帶電球殼和帶空腔的均勻帶電球體的電場分布，下面以定理的形式給出相應(yīng)的結(jié)論。

定理5 有一帶電量為+q，半徑為R、球心為O的均勻球殼，對空間中一點P，點P到O的距離為d。那么此帶電球殼在P處產(chǎn)生的靜電場為:

定理6 有一帶電量為+q，半徑為R、球心為O1的均勻(電荷體密度為σ)球體，其內(nèi)部含有一個球心為O2球形空腔，空間中一點P，點P到O的距離為d。那么此帶電球殼在P處產(chǎn)生的靜電場為：

2 結(jié)語

主要考慮球殼和球體的引力場分布，作為類比，也給出了均勻帶電球殼和球體的靜電場分布。目的主要是補充文獻[1]中球殼定理的完整的嚴(yán)格證明。進一步，還給出球體的引力場、帶空腔的球體的引力場的空間分布數(shù)學(xué)表達式，并給出相應(yīng)的完整數(shù)學(xué)證明。由于靜電場的庫侖定律與萬有引力在形式上相同，因而可以不費筆墨很容易得到對應(yīng)的結(jié)論。至于證明，只需將相應(yīng)的符號替換，其證明過程完全相同。

[1]HALLIDAYD,RESNICKR,WALKERJ.物理學(xué)基礎(chǔ)[M].6版.張三慧,李椿，滕小瑛，譯.北京:機械工業(yè)出版社,2005:320-325.

[2] 鄭永令,賈起民,方小敏.力學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2002:65-68.

[3] 賈起民,鄭永令,陳暨耀.電磁學(xué)[M].2版.北京:高等教育出版社,2001:11-21.

[4] 彭海鷹.均勻帶電球面的電場強度分布再討論[J].物理與工程,2003,13(1):60-61.

[5] 牛慶林,王曉麗.均勻帶電球面電場強度的再討論[J].臨沂大學(xué)學(xué)報,2016,38(1)：142-144.

[6] 劉景世.“均勻帶電球面上的電場強度如何計算”的再討論[J].河南教育學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2011,20(1)：32-33.

Mathematical Proof of Several Important Theorems in Gravitational Field and Electric Field

SHEN Jinzhong1, DENG Liubao2

(1.College of Electrical and Information Engineering,Anhui University of Science and Technology,Huainan Anhui 232001,China；2. School of Finance,Anhui University of Financial and Economics,Bengbu Anhui 233030,China)

Physics is the basis of understanding all kinds of practical models, therefore, a deep understanding of important theorems in physics is very important. The strict mathematical proof of Shell theorem in literature [1] is gave by applying the multiple integral method and basic definitions. Further,consider gravitational field distribution of the uniform solid sphere and two kinds of hollow spheres, and give the corresponding strict mathematical proof. Based on that the expression forms of gravitational field and electrostatic field are similar, mathematical expressions of electric field distribution are given for the uniformly charged spherical shell, a solid sphere and two kinds of hollow spheres.

Shell theorem; gravitational field; second-type surface integral; electric field

2016-10-17

安徽理工大學(xué)碩博基金(ZY022)；安徽高校自然科學(xué)研究重點項目(KJ2015A076)

沈進中(1985-)，男，講師，博士，主要從事電力控制，場論和非線性系統(tǒng)教學(xué)與研究。E-mail:jzshen009@163.com

O412.3

A

1004-2237(2017)03-0058-07

10.3969/j.issn.1004-2237.2017.03.012