簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的定量分析
——談一道競(jìng)賽題的周期求解方法

許 龍 辛淑媛

(1.安徽省太和一中,安徽 阜陽(yáng) 236600；2.安徽省太和中學(xué),安徽 阜陽(yáng) 236600)

·試題研究·

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的定量分析
——談一道競(jìng)賽題的周期求解方法

許 龍 辛淑媛

(1.安徽省太和一中,安徽 阜陽(yáng) 236600；2.安徽省太和中學(xué),安徽 阜陽(yáng) 236600)

本文定量分析了兩種典型的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用不同方法求解一道彈簧振子和單擺相結(jié)合的復(fù)合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期，以期對(duì)中學(xué)生參加自主招生或物理競(jìng)賽有所幫助.

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；彈簧振子；單擺；周期

1 兩種簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

普通物理對(duì)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)有這樣的定義：質(zhì)點(diǎn)在線性回復(fù)力的作用下圍繞平衡位置的運(yùn)動(dòng)叫做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).常見(jiàn)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)形式有兩種：彈簧振子和單擺.

1.1 彈簧振子

彈簧振子的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是一種理想化模型，要求彈簧質(zhì)量遠(yuǎn)小于滑塊質(zhì)量，無(wú)阻力和摩擦，滑塊被視為質(zhì)點(diǎn),以滑塊的平衡位置作為原點(diǎn)O，并建立坐標(biāo)軸，x為坐標(biāo)，等于其位移大小(如圖1).其回復(fù)力F與x成線性關(guān)系，即:F=-kx,其中k為勁度系數(shù).

圖1

1.2 單擺

單擺的運(yùn)動(dòng)是將小球看作質(zhì)點(diǎn)，在重力和懸線拉力的共同作用下在豎直平面內(nèi)沿圓弧擺動(dòng)，此時(shí)受到的合力F=mgsinθ，如圖2所示，在討論單擺做簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，懸線與豎直位置的偏角θ很小，其位置與最低點(diǎn)的弧長(zhǎng)近似于弦長(zhǎng)x，即x=θl，其中l(wèi)為單擺擺長(zhǎng)。

圖2

2 彈簧和單擺復(fù)合運(yùn)動(dòng)

求解簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期在自主招生及中學(xué)物理競(jìng)賽中經(jīng)常遇到，也是學(xué)生感到比較困難的地方，下面筆者就一道自主招生的試題進(jìn)行分析。

圖3

如圖3所示，有一彈簧擺，在擺長(zhǎng)為l的單擺兩側(cè)各加一個(gè)勁度系數(shù)均為k0的輕質(zhì)彈簧。設(shè)擺球靜止時(shí)兩彈簧均處于靜止?fàn)顟B(tài)，求其小幅度振動(dòng)的周期。

2.1 公式歸納法

這種解法較為巧妙，只要滿足F=-kx的條件，將相應(yīng)的k帶入公式，即得物體簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期。這是求解振動(dòng)周期最基本、最常用的方法，不過(guò)該解法一般只能應(yīng)用于簡(jiǎn)單的模型，局限性大。

2.2 機(jī)械能守恒法

2.3 機(jī)械能對(duì)時(shí)間求導(dǎo)法

運(yùn)用以上計(jì)算振動(dòng)周期的方法都有一個(gè)前提：必須找出簡(jiǎn)諧振動(dòng)的回復(fù)力公式，則可得到振動(dòng)周期甚至是運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，在碰到類似題目時(shí)，學(xué)生可靈活選擇解題方法。

[1] 柯堯.賞析一道求振動(dòng)周期的競(jìng)賽題的多種解法[J].物理教師，2016，37(10)：92-93.

[2] 楊榕楠.更高更妙的物理[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2016：146-149.

[3] 漆安慎，杜嬋英.普通物理學(xué)力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2008：284-286.