基于雙回路擴(kuò)展卡爾曼濾波的慣性平臺(tái)連續(xù)自標(biāo)定

王 琪，汪立新，秦偉偉，沈 強(qiáng)

(火箭軍工程大學(xué)，西安710025)

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基于雙回路擴(kuò)展卡爾曼濾波的慣性平臺(tái)連續(xù)自標(biāo)定

王 琪，汪立新，秦偉偉，沈 強(qiáng)

(火箭軍工程大學(xué)，西安710025)

為解決傳統(tǒng)的慣性平臺(tái)連續(xù)自標(biāo)定中，由于系統(tǒng)非線性強(qiáng)、狀態(tài)向量維數(shù)大引起的濾波收斂速度慢、對(duì)濾波初始條件敏感等問(wèn)題，研究了一種雙回路擴(kuò)展卡爾曼濾波方法。首先給出了平臺(tái)連續(xù)自標(biāo)定的誤差模型；然后根據(jù)加速度計(jì)誤差與導(dǎo)航誤差之間的關(guān)系，對(duì)加速度計(jì)輸出進(jìn)行預(yù)濾波得到加速度計(jì)輸出誤差；同時(shí)通過(guò)分析陀螺儀誤差在平臺(tái)連續(xù)自標(biāo)定過(guò)程中的傳播特性，將耦合在加速度計(jì)輸出誤差中的陀螺儀誤差解耦；最后以陀螺儀誤差和加速度計(jì)輸出為觀測(cè)量，建立了陀螺儀和加速度計(jì)的擴(kuò)展卡爾曼濾波方程，分別對(duì)陀螺儀和加速度計(jì)誤差系數(shù)進(jìn)行標(biāo)定，實(shí)現(xiàn)雙回路擴(kuò)展卡爾曼濾波。仿真結(jié)果表明，該方法能夠在900 s內(nèi)以低于0.05%的相對(duì)誤差標(biāo)定出所有的平臺(tái)誤差系數(shù)，并且對(duì)濾波初始條件不敏感，可以有效地?cái)U(kuò)展連續(xù)自標(biāo)定方法的實(shí)際應(yīng)用。

連續(xù)自標(biāo)定；擴(kuò)展卡爾曼濾波；慣性平臺(tái)；誤差模型；誤差解耦

0 引 言

制導(dǎo)工具誤差是影響制導(dǎo)武器命中精度的主要因素，而慣性儀表的誤差是制導(dǎo)工具誤差中的主要成分，因此在使用時(shí)必須進(jìn)行補(bǔ)償。根據(jù)陀螺儀和加速度計(jì)在長(zhǎng)期穩(wěn)定性測(cè)試中一次啟動(dòng)隨機(jī)誤差遠(yuǎn)小于多次啟動(dòng)誤差的特性，提出了平臺(tái)射前自標(biāo)定[1]。傳統(tǒng)的多位置自標(biāo)定方法是一種“靜態(tài)”的標(biāo)定方法，由于其誤差模型相對(duì)簡(jiǎn)單，特別是激勵(lì)安裝誤差的地球自轉(zhuǎn)角速度相對(duì)較小，導(dǎo)致多位置自標(biāo)定中對(duì)于安裝誤差的激勵(lì)不夠充分，標(biāo)定精度較低[2-3]。

針對(duì)多位置自標(biāo)定的缺點(diǎn)，Jackson[4]提出了連續(xù)自標(biāo)定方法。慣性平臺(tái)連續(xù)自標(biāo)定方法的基本原理如下：慣性平臺(tái)在外力矩的作用下以角速度ωc(稱為加矩角速度)轉(zhuǎn)動(dòng)，在地球自轉(zhuǎn)角速度、加矩角速度以及重力加速度的激勵(lì)下，加速度計(jì)輸出中包含有陀螺儀誤差、加速度計(jì)誤差、安裝誤差和平臺(tái)對(duì)準(zhǔn)誤差等全部誤差信息。以加速度計(jì)輸出為觀測(cè)量，以平臺(tái)對(duì)準(zhǔn)誤差方程為動(dòng)力學(xué)模型，采用最優(yōu)濾波算法估計(jì)平臺(tái)誤差系數(shù)和對(duì)準(zhǔn)誤差[5]。文獻(xiàn)[6]系統(tǒng)地介紹了平臺(tái)連續(xù)自標(biāo)定的誤差建模、可觀測(cè)性分析、參數(shù)辨識(shí)等內(nèi)容；文獻(xiàn)[7-8]針對(duì)大失準(zhǔn)角情況下傳統(tǒng)的失準(zhǔn)角誤差模型會(huì)產(chǎn)生較大誤差的問(wèn)題，建立了框架角誤差模型；文獻(xiàn)[9-10]分別建立了以加速度計(jì)輸入軸和陀螺儀輸入軸為基準(zhǔn)的平臺(tái)坐標(biāo)系，使所有的安裝誤差變得可觀，提高了標(biāo)定精度。

但是由于平臺(tái)連續(xù)自標(biāo)定的誤差模型復(fù)雜、誤差系數(shù)較多[11]，因此在建立濾波模型時(shí)，會(huì)存在狀態(tài)向量維數(shù)大、系統(tǒng)非線性強(qiáng)等特點(diǎn)，這會(huì)導(dǎo)致在濾波過(guò)程中收斂速度慢、對(duì)濾波初始條件比較敏感等問(wèn)題，從而限制了連續(xù)自標(biāo)定方法的實(shí)際應(yīng)用。針對(duì)以上問(wèn)題，本文研究了一種基于雙回路擴(kuò)展卡爾曼濾波的慣性平臺(tái)連續(xù)自標(biāo)定方法，以提高連續(xù)自標(biāo)定方法的適用性。

1 坐標(biāo)系定義

首先給出平臺(tái)中的坐標(biāo)系定義，假設(shè)平臺(tái)由三個(gè)單自由度積分陀螺儀與三個(gè)擺式加速度計(jì)組成，如圖1所示。

圖1 平臺(tái)陀螺儀和加速度計(jì)安裝示意圖Fig.1 Installation diagram of gyros and accelerometers in platform

設(shè)陀螺儀I軸繞其O、S軸的安裝誤差為Δoi、Δsi(i=x,y,z)，如圖2所示。則平臺(tái)坐標(biāo)系(p)到陀螺儀敏感軸坐標(biāo)系(g)的轉(zhuǎn)換矩陣為[12]

(1)

圖2 陀螺儀安裝誤差Fig.2 Gyro-platform geometry

如圖3所示，設(shè)加速度計(jì)I軸繞其P、O軸的安裝誤差為θpi、θoi(i=x,y,z)，則p系到加速度計(jì)敏感軸坐標(biāo)系(a)的轉(zhuǎn)換矩陣為[12]

(2)

圖3 加速度計(jì)安裝誤差Fig.3 Accelerometer-platform geometry

此外，定義一個(gè)理想計(jì)算坐標(biāo)系(c)：計(jì)算坐標(biāo)系是一個(gè)理想的正交坐標(biāo)系，作為平臺(tái)連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)的參考。在不考慮任何漂移的情況下，計(jì)算坐標(biāo)系與平臺(tái)坐標(biāo)系重合。

2 連續(xù)自標(biāo)定誤差模型

2.1 姿態(tài)誤差方程

(3)

(4)

將式(4)代入式(3)，有

(5)

(6)

對(duì)式(6)左乘Φn，有

(7)

利用列向量φ、ω與其反對(duì)稱矩陣Φ、Ω之間的性質(zhì)Ωφ+Φω=0，式(7)可變換為

(8)

對(duì)式(5)右乘φn，并將式(8)代入可得

(9)

對(duì)式(9)左乘(Φn)-1并省略高階項(xiàng)，整理可得失準(zhǔn)角誤差方程為

(10)

綜上所述，p系相對(duì)I系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為

(11)

將式(11)代入式(10)可得平臺(tái)連續(xù)自標(biāo)定的姿態(tài)誤差方程為

(12)

2.2 陀螺儀誤差模型

陀螺儀的誤差與其三軸上的比力有關(guān)，其誤差模型為[15]

i = x,y,z

(13)

陀螺儀三軸上的比力如下式所示

(14)

將式(14)代入式(13)可得陀螺儀誤差模型為

(15)

式中：

2.3 加速度計(jì)輸出模型

加速度計(jì)的輸出與加速度計(jì)三軸敏感到的比力有關(guān)，加速度計(jì)三軸上的比力為

(16)

加速度計(jì)輸出模型為[15]

(17)

式中：ka0i為加速度計(jì)的零偏；ka1i為加速度計(jì)一次項(xiàng)誤差系數(shù)；同理，未考慮加速度計(jì)二次項(xiàng)誤差系數(shù)；εai為測(cè)量隨機(jī)誤差。

將式(16)代入式(17)并忽略加速度計(jì)誤差系數(shù)相乘形成的二階項(xiàng)，可得加速度計(jì)輸出模型為

Za=Cφ+D1ka+D2θ+h(ka,φ)+gc+εa

(18)

式中：

3 誤差解耦

為實(shí)現(xiàn)雙回路濾波，本文選擇陀螺儀誤差和加速度計(jì)輸出兩個(gè)觀測(cè)量來(lái)分別對(duì)陀螺儀和加速度計(jì)誤差系數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。因此需要將耦合在加速度計(jì)誤差中的陀螺儀誤差進(jìn)行解耦。為此首先分析陀螺儀誤差在平臺(tái)連續(xù)自標(biāo)定中對(duì)加速度計(jì)輸出的影響。

3.1 陀螺儀誤差傳播分析

圖4 陀螺儀誤差對(duì)加速度計(jì)輸出的影響Fig.4 Effect on accelerometers’ output of gyros’ error

由此可知，只有沿Xp和Zp軸方向(即水平方向)的陀螺儀誤差會(huì)引起加速度計(jì)誤差，而沿Yp軸方向(即天向)的陀螺儀誤差不會(huì)對(duì)加速度計(jì)誤差產(chǎn)生影響。

3.2 誤差解耦

根據(jù)第3.1節(jié)得到的結(jié)論，可以采取如下的解耦方法從加速度計(jì)誤差中得到陀螺儀誤差：

(19)

yL的東向和北向分量即為陀螺儀濾波回路的量測(cè)更新，即有

(20)

式中：e和n分別為東向和北向的3×1的單位向量，由n系到c系的方向余弦組成。

(21)

4 加速度計(jì)輸出預(yù)濾波

在平臺(tái)連續(xù)自標(biāo)定中，加速度計(jì)輸出是唯一的輸出量，因此需要對(duì)加速度計(jì)輸出進(jìn)行預(yù)濾波來(lái)得到加速度計(jì)誤差。加速度計(jì)誤差ΔZa與導(dǎo)航速度誤差Δv有如下關(guān)系[18]

(22)

式中：Δv0為初始誤差。

速度誤差可由加速度計(jì)輸出減去理論輸出得到。理論上加速度計(jì)測(cè)量的是重力加速度在p系的投影，而在不考慮誤差的情況下，p系與c系重合，因此加速度計(jì)理論輸出為重力加速度在c系的投影，由此可得速度誤差為[18]

Δv=Za-gc

(23)

需要注意的是，式(23)中的Za是加速度計(jì)輸出轉(zhuǎn)換成的比力值。

設(shè)濾波周期為T(mén)，加速度計(jì)輸出離散周期為ΔT，則式(22)的離散形式可以寫(xiě)為

(24)

式中：j∈[-N,N]，N=T/ΔT。

根據(jù)最小二乘法可解得加速度計(jì)誤差分量為

(25)

5 雙回路擴(kuò)展卡爾曼濾波

通過(guò)第3節(jié)的誤差解耦和第4節(jié)的加速度計(jì)輸出預(yù)濾波，得到的陀螺儀誤差可以作為陀螺儀濾波回路的量測(cè)更新，同時(shí)將加速度計(jì)輸出作為加速度計(jì)濾波回路的量測(cè)更新，就可以實(shí)現(xiàn)雙回路卡爾曼濾波，從而極大地減小濾波過(guò)程中的計(jì)算量和加快濾波收斂速度。

5.1 陀螺儀濾波方程

(26)

式中：T為濾波周期，k表示第k個(gè)濾波周期。

(27)

5.2 加速度計(jì)濾波方程

(28)

對(duì)式(18)進(jìn)行離散化可得觀測(cè)方程為

Cφk+1+D1kak+1+D2θk+1+

h(ka,k+1,φk+1)+gc,k+1+εa,k+1

(29)

在得到陀螺儀和加速度計(jì)的濾波方程后，就可以利用擴(kuò)展卡爾曼濾波分別對(duì)陀螺儀和加速度計(jì)的誤差系數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，從而實(shí)現(xiàn)基于雙回路擴(kuò)展卡爾曼濾波的慣性平臺(tái)連續(xù)自標(biāo)定。

擴(kuò)展卡爾曼濾波的基本方程如式(30)所示，式中：Qk是系統(tǒng)噪聲協(xié)方差矩陣，Rk為量測(cè)噪聲協(xié)方差矩陣，F(xiàn)和H分別為fe(X)和he(X)對(duì)X的偏導(dǎo)數(shù)。

(30)

6 仿真分析

根據(jù)前文推導(dǎo)的濾波方程，對(duì)本文方法進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。首先設(shè)置仿真初始條件如下：

1)在連續(xù)自標(biāo)定開(kāi)始之前，平臺(tái)處于空間穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即始終跟蹤當(dāng)?shù)厮矫妫?/p>

2)濾波周期為T(mén)=0.25 s；

3)加速度計(jì)量測(cè)噪聲為1×10-6m/s2；

4)濾波初值設(shè)置為0。

由于平臺(tái)誤差系數(shù)的量值相對(duì)較小，因此定義如下的相對(duì)誤差來(lái)表示誤差系數(shù)的標(biāo)定精度。

(31)

陀螺儀誤差系數(shù)標(biāo)定結(jié)果如圖5所示，加速度計(jì)誤差系數(shù)標(biāo)定結(jié)果如圖6所示。從圖中可以看出，本文方法可以在900s內(nèi)標(biāo)定出所有的陀螺儀和加速度計(jì)誤差系數(shù)，而且相對(duì)誤差都小于0.05%，驗(yàn)證了方法的有效性。同時(shí)可以注意到，部分誤差系數(shù)，特別是安裝誤差的濾波值在濾波穩(wěn)定后會(huì)出現(xiàn)周期性的波動(dòng)，在圖中表現(xiàn)為一些周期性的“尖刺”，這是因?yàn)楫?dāng)加速度計(jì)接近水平位置時(shí)，加速度計(jì)輸出中噪聲比很大，從而會(huì)造成濾波結(jié)果偏離真值，在實(shí)際操作中甚至有可能導(dǎo)致濾波結(jié)果發(fā)散，這種情況是需要避免的。具體做法是：當(dāng)加速度計(jì)接近水平位置時(shí)，斷開(kāi)陀螺儀和加速度計(jì)濾波回路的量測(cè)更新，待加速度計(jì)離開(kāi)水平位置一定角度后，再重新獲取量測(cè)更新值，繼續(xù)進(jìn)行濾波。

圖5 陀螺儀誤差系數(shù)標(biāo)定結(jié)果Fig.5 Calibration results of gyros’ error coefficients

為驗(yàn)證本文方法濾波收斂速度快、對(duì)初始條件不敏感的優(yōu)點(diǎn)，將本文方法與文獻(xiàn)[6]中的方法進(jìn)行了仿真對(duì)比。設(shè)置了如下不同的濾波初始條件：

(1)加速度計(jì)量測(cè)噪聲設(shè)置為1×10-6m/s2，濾波初值設(shè)置為0；

(2)加速度計(jì)量測(cè)噪聲設(shè)置為1×10-6m/s2，濾波初值設(shè)置為X0/2(X0為仿真真值)；

(3)加速度計(jì)量測(cè)噪聲設(shè)置為1×10-6m/s2，濾波初值設(shè)置為X0+N(0,1)·X0(N(0,1)為服從均值為0、方差為1的正態(tài)隨機(jī)數(shù))；

(4)加速度計(jì)量測(cè)噪聲設(shè)置為1×10-4m/s2，濾波初值設(shè)置為0。

圖6 加速度計(jì)誤差系數(shù)標(biāo)定結(jié)果Fig.6 Calibration results of accelerometers’ error coefficients

不同初始條件下各參數(shù)的濾波收斂速度見(jiàn)表1，由于標(biāo)定參數(shù)較多，表中只給出了所有參數(shù)收斂的最終時(shí)間。

表1 不同初始條件下的濾波收斂時(shí)間Table 1 Convergence time of different filter initial condition

從表1可以看出，本文方法在初始條件(1)、(2)、(3)下的濾波收斂速度明顯快于文獻(xiàn)[6]方法。在標(biāo)定精度方面，本文方法在三種初始條件下的標(biāo)定相對(duì)誤差都低于0.05%，而文獻(xiàn)[6]方法的相對(duì)誤差都在0.1%～1%之間。在初始條件(4)下，隨著量測(cè)噪聲的增大，文獻(xiàn)[6]方法中的陀螺儀安裝誤差系數(shù)Δsy、Δsz、Δox和Δoz不能有效的收斂到真值，而本文方法的標(biāo)定結(jié)果基本不受影響。驗(yàn)證了本文方法濾波收斂速度快、對(duì)初始條件不敏感的優(yōu)點(diǎn)。

7 結(jié) 論

針對(duì)傳統(tǒng)的連續(xù)自標(biāo)定方法中，由于系統(tǒng)非線性強(qiáng)、狀態(tài)向量維數(shù)大，會(huì)引起濾波收斂速度慢、對(duì)初始條件敏感等問(wèn)題，本文研究了一種基于雙回路擴(kuò)展卡爾曼濾波的慣性平臺(tái)連續(xù)自標(biāo)定方法，以陀螺儀誤差和加速度計(jì)輸出為觀測(cè)量，將陀螺儀和加速度計(jì)分為兩個(gè)回路進(jìn)行濾波，從而降低濾波方程中的狀態(tài)向量維數(shù)和系統(tǒng)的非線性。仿真結(jié)果表明，該方法可以加快連續(xù)自標(biāo)定的濾波收斂速度和降低對(duì)濾波初始條件的敏感度，有效地提高連續(xù)自標(biāo)定方法的適用性。

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[18] 秦永元．慣性導(dǎo)航[M]．科學(xué)出版社，2006：249-253．

通信地址：陜西省西安市灞橋區(qū)同心路2號(hào)3304分隊(duì)(710025)

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秦偉偉(1982-)，男，講師，主要從事高超聲速飛行器研究。本文通信作者。

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Continuous Self-Calibration of Inertial Platform Based on Dual Extended Kalman Filter

WANG Qi, WANG Li-xin, QIN Wei-wei, SHEN Qiang

(Rocket Force University of Engineering, Xi’an 710025, China)

In view of the problems of slow convergence and sensitivity to initial conditions in the traditional continuous self-calibration of an inertial platform because of the nonlinearity of the system and the large number of dimensions of the state vector, the dual extended Kalman filter is researched in this paper. Firstly, the error models of the continuous self-calibration are given. Then the output error of the accelerometer is pre-filtered according to the relationship between the accelerometer error and the navigation velocity error. At the same time, the gyro error is decoupled from the output error of the accelerometer by analyzing its propagation characteristics in the continuous self-calibration. At last, the dual extended Kalman filter is carried out by using the gyro error and the accelerometer output as the observations respectively to establish the filter equations of the gyro and the accelerometer, which can reduce the nonlinearity of the system and the number of the dimensions of the state vector. Simulation results indicate that the continuous self-calibration method based on the dual extended Kalman filter can calibrate all the error coefficients of the inertial platform with relative error lower than 0.05% within 900s and is not sensitive to the initial conditions, which is beneficial to the application of the continuous self-calibration of the inertial platform.

Continuous self-calibration; Extended Kalman filter; Inertial platform; Error model; Error decoupling

2017-03-13;

2017-04-19

國(guó)家自然科學(xué)基金青年基金(61503390，61503392);陜西省自然科學(xué)基金(2015JQ6213);航空科學(xué)基金(201501U8001)

U666.12

A

1000-1328(2017)06-0621-09

10.3873/j.issn.1000-1328.2017.06.009

王 琪(1991-)，男，博士生，主要從事慣性系統(tǒng)及儀器研究。