一類Diophantine方程在實二次Euclid域上的整數(shù)解

趙西卿,董曉明,張 昕,楊 芝,洪 霞,王偉偉

(延安大學 數(shù)學與計算機科學學院, 陜西 延安 716000)

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一類Diophantine方程在實二次Euclid域上的整數(shù)解

趙西卿,董曉明,張 昕,楊 芝,洪 霞,王偉偉

(延安大學 數(shù)學與計算機科學學院, 陜西 延安 716000)

研究了一類典型的Diophantine方程在實二次Euclid域中的整數(shù)解問題。主要利用二次域中的理論和二次代數(shù)整數(shù)環(huán)中算術(shù)基本定理,證明了此類Diophantine方程在特殊情形下無整數(shù)解的相關(guān)結(jié)論。

Diophantine方程; 實二次域; 整數(shù)解

1 預(yù)備知識

引理2[10]設(shè)D滿足引理1的條件,即

那么, α是二次代數(shù)整數(shù)的充要條件,可表示為

α=m+nω,m,n∈Z,n≠0

(1)

2 定理及證明

x2-D=4y5

(2)

均無整數(shù)解。

(3)

(4)

即

故有

(5)

由式(5)可得b=±1或±2k,其中k=1,2,3,4。

③ 若b=±2k時,右邊b(5a4+10Da2b2+D2b4)≡0(mod25),左邊24≡24(mod25),矛盾。從而Diophantine方程(2)在形如式(4)的分解下無整數(shù)解。

由引理4,Diophantine方程(2)另可分解形式為

k=±1,±2,…

當k=1時,即可化簡為

故有

因為24≡24(mod25),而

5αa4b+10Dαa2b3+D2αb5+βa5+

10Dβa3b2+5D2βa2b4≡0(mod25)

矛盾,所有該種情形下方程(2)也不存在整數(shù)解,證畢。

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[11]鄔毅,楊懿,龍?zhí)m,等.關(guān)于二次域理論求解一類Diophantus方程的整數(shù)解[J].數(shù)學雜志,2015,35(5):1197-1200.

[12]許宏鑫,趙西卿.實二次Euclid域中不定方程的整數(shù)解[J].重慶理工大學學報(自然科學),2016,30(9):151-155.

(責任編輯 何杰玲)

Solving the Integer Solutions of a Class of Diophantine Equations on Real Quadratic Euclid Fields

ZHAO Xi-qing, DONG Xiao-ming, ZHANG Xin, YANG Zhi, HONG Xia, WANG Wei-wei

(School of Mathematics and Computer Science, Yan’an University, Yan’an 716000, China.)

We studied the integer solutions of class typical Diophantine equations on real quadratic Euclid fields. By using some theories on quadratic fields and fundamental theorem of arithmetic on the ring of quadratic algebraic integer, we proved that the equations didn’t have integer solution.

Diophantine equation; real quadratic euclid fields; integer solution

2017-01-05

陜西省教育廳科研計劃資助項目(2013JK0557);2015年陜西省大學生創(chuàng)新訓練計劃項目(1445)

趙西卿(1965—),男,河南偃師人,碩士,副教授,主要從事解析數(shù)論研究，E-mail: yazhaoxiqing@126.com。

趙西卿,董曉明,張昕,等.[J].重慶理工大學學報(自然科學)，2017(6):188-190.

format：ZHAO Xi-qing, DONG Xiao-ming, ZHANG Xin, et al.Solving the Integer Solutions of a Class of Diophantine Equations on Real Quadratic Euclid Fields[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(6):188-190.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.06.029

O156.4

A

1674-8425(2017)06-0188-03