麥克斯韋方程組超定問(wèn)題的解釋

劉長(zhǎng)禮

(北京應(yīng)用物理與計(jì)算數(shù)學(xué)研究所，北京 100094)

?

麥克斯韋方程組超定問(wèn)題的解釋

劉長(zhǎng)禮

(北京應(yīng)用物理與計(jì)算數(shù)學(xué)研究所，北京 100094)

麥克斯韋方程組有6個(gè)未知量，8個(gè)方程，是超定方程組.對(duì)于超定問(wèn)題一般這樣解釋?zhuān)赫J(rèn)為兩個(gè)散度方程是不獨(dú)立的，只需初始時(shí)刻滿足即可，之后自動(dòng)滿足。所以計(jì)算電磁學(xué)中只求解旋度方程，而不求解散度方程。文中指出這種解釋有一個(gè)循環(huán)邏輯缺陷，從而導(dǎo)致此種解釋不正確；在計(jì)算電磁學(xué)中兩個(gè)散度方程必須求解。推廣的線性相關(guān)概念用以解釋偏微分方程超定問(wèn)題。在這個(gè)推廣的線性相關(guān)定義下，原來(lái)眾多“表面”超定方程都變成了適定方程，避免了一些歧義。

麥克斯韋方程組；超定；散度

真空中麥克斯韋方程組[1]如下式：

其中，B是磁感應(yīng)強(qiáng)度；E是電場(chǎng)強(qiáng)度，這兩個(gè)量是未知量；J是電流強(qiáng)度密度，ρ是電荷密度，這兩個(gè)量是已知量；μ0,ε0是電磁系數(shù)；引入常數(shù)λ是為了下面討論使用，同時(shí)平衡等號(hào)兩邊量綱。本文中如無(wú)特別聲明λ≡0。很顯然這個(gè)方程組有6個(gè)未知量，8個(gè)方程，方程超定。

(2)

貌似有如下結(jié)論：如果某初始時(shí)刻t0，方程(1c),(1d)成立；那由式(2)可知在此后任意時(shí)刻t>t0，方程(1c),(1d)都成立。也就是可以把式(1c),(1d)看成式(1a),(1b)的初始條件[1]，從而兩個(gè)散度方程是不獨(dú)立的。在這種解釋中把式(2)看成是旋度方程的推論。眾多文獻(xiàn)[1]中都有這個(gè)解釋?zhuān)P者能查到最早的文獻(xiàn)就是Stratton于1941年著Electromagnetic Theory，所以稱(chēng)之為Stratton解釋。但這個(gè)解釋內(nèi)部邏輯關(guān)系有些缺陷，如下文所指。

1 循環(huán)邏輯缺陷

麥克斯韋方程組是雙旋度散度體系。先討論單旋度散度體系，然后可以很自然地推廣到麥?zhǔn)戏匠探M。

(3)

其中，u是未知量；ρ,S是已知源函數(shù)；要求divS=0，這是相容性條件。需要注意：divS=0不是式(3b)的推論，是需要額外滿足的條件；divS=0中的等號(hào)不是自動(dòng)成立的，比如取S=αr(非零常數(shù)α是為了平衡等號(hào)兩邊量綱而引入)，則divS=αdivr=3α≠0；只不過(guò)此時(shí)式(3)無(wú)解罷了。如果認(rèn)為相容性條件(divS=0)是旋度方程(3b)的推論且自動(dòng)成立，則其中必有循環(huán)邏輯；就是旋度方程(3b)解存在性要求相容性條件(divS=0)事先成立，如果再由式(3b)推導(dǎo)出0≡div(curlu)=divS?divS=0，自然是循環(huán)邏輯。所以相容性條件(divS=0)不是式(3b)的推論，是需要額外滿足的條件。下面將用到這個(gè)結(jié)論。

現(xiàn)在看Stratton解釋的內(nèi)在循環(huán)邏輯缺陷。需要注意到麥?zhǔn)戏匠探獯嬖诘臈l件之一是要求相容性條件(2)中的等號(hào)“=”成立。Stratton假設(shè)麥?zhǔn)闲确匠探獯嬖?即已假設(shè)相容性條件(2)成立)，然后他又由兩個(gè)旋度方程推導(dǎo)出相容性條件(2)；也就是說(shuō)Stratton事先用了與相容性條件(2)等價(jià)的假設(shè)，然后再次推導(dǎo)出相容性條件(2)，并且認(rèn)為相容性條件(2)是旋度方程的推論。這樣的循環(huán)邏輯顯然是錯(cuò)誤的。與單旋度散度體系類(lèi)似，相容性條件(2)不是自動(dòng)成立的。然而Stratton忽略了旋度方程解存在性條件，并認(rèn)為相容性條件(2)是旋度方程(1a),(1b)的推論而自動(dòng)成立，這是循環(huán)邏輯錯(cuò)誤。正確的邏輯是：兩個(gè)散度方程(1c),(1d)在任意t≥t0時(shí)刻(不能只是初始時(shí)刻t0)成立和電荷連續(xù)性方程成立是確保相容性條件(2)成立的條件，進(jìn)而確保了兩個(gè)旋度方程(1a),(1b)解的存在性。既然麥?zhǔn)戏匠探M解存在性要求兩散度方程全時(shí)域(t≥t0)成立，那么Stratton解釋的結(jié)論(只要兩散度方程初始時(shí)刻t0成立，則以后任意時(shí)刻t>t0都成立)就不對(duì)了。因此計(jì)算電磁學(xué)中不求解兩個(gè)散度方程的做法是沒(méi)有理論基礎(chǔ)的，兩個(gè)散度方程不能省略不解。

2 超定問(wèn)題解釋

然而麥?zhǔn)戏匠探M是超定的，這也是一個(gè)事實(shí)。如何解釋這種超定性是一個(gè)需要考慮的問(wèn)題。Jiang[2]在他的文章中引入啞元來(lái)說(shuō)明麥?zhǔn)戏匠探M是適定的，而非超定。在Jiang[2]的文章中，他引入一個(gè)啞元?來(lái)說(shuō)明式(3)是適定的(在這里只是簡(jiǎn)略敘述他的論證，詳細(xì)過(guò)程請(qǐng)參考他的論文)。

(4)

方程組(4)中已引入啞元，很容易得到這個(gè)啞元的控制方程是2?=0，在零值邊條件下，這個(gè)方程只有零解，從而引入啞元?對(duì)方程(3)未做任何改變。然而方程組(4)有4個(gè)未知量，4個(gè)方程是適定的。由于方程組(3)和(4)是等價(jià)的，所以Jiang認(rèn)為方程組(3)是適定的。

他認(rèn)為方程組(3)和(4)是等價(jià)的，進(jìn)而認(rèn)為可以式(4)的“適定”性質(zhì)傳遞到式(3)，從而認(rèn)為方程組(3)也是“適定”的。然而這有一個(gè)缺陷：我也可以認(rèn)為這個(gè)等價(jià)性將式(3)的“超定”性質(zhì)傳遞給式(4)，從而認(rèn)為式(4)是超定的。這顯然是個(gè)悖論。

由于存在缺陷，雖然Jiang的結(jié)論是對(duì)的，但解釋不可靠?？梢杂孟旅娴霓k法來(lái)解釋之。

現(xiàn)有一階線性偏微分方程組

(5)

3 計(jì)算電磁學(xué)討論

計(jì)算電磁學(xué)中有些格式，比如時(shí)域有限差分(FDTD)，只求解兩個(gè)旋度方程，而不求解散度方程。根據(jù)上面的討論，這種做法是沒(méi)有任何理論根據(jù)的。所以麥?zhǔn)戏匠探M的4個(gè)方程都應(yīng)該求解(或者等價(jià)求解：是指不依靠Stratton解釋?zhuān)揽坑?jì)算方法的特別設(shè)計(jì)使散度方程自動(dòng)滿足)。下面根據(jù)這個(gè)原則做些原則性討論。

1) 不能夠自動(dòng)滿足divB=0, divD=0并且只求解旋度方程的格式。應(yīng)棄用。

2) 能夠自動(dòng)滿足divB=0, divD=0并且只求解旋度方程的格式。這類(lèi)格式只適用于沒(méi)有電荷源的電磁波傳播，且須在均勻各向同性介質(zhì)中。通過(guò)電磁場(chǎng)縱、橫分解可以適用于非零電荷密度情形。

3) 求解全部麥?zhǔn)戏匠探M的格式，比如Jiang的格式[2]。適用于各種情形。

4) 還有一類(lèi)方法就是將麥?zhǔn)戏匠探M升級(jí)到二階，比如文獻(xiàn)[3]，這類(lèi)方法也不解兩個(gè)散度方程；這也是不對(duì)的，證明過(guò)程存在與上面類(lèi)似的邏輯缺陷。在文獻(xiàn)[3]中，將式(Ricci-18)代入(Ricci-8)而得到(Ricci-19)，作者忽略了在這一步他已經(jīng)使用了divD=ρ對(duì)全時(shí)空都成立這一條件；最后還說(shuō)(Ricci-25)中只需要高斯定律初始時(shí)刻滿足即可。既然證明過(guò)程中用了divD=ρ對(duì)全時(shí)空都成立，那么就不可能得到高斯定律只需要初始時(shí)刻滿足即可之類(lèi)的結(jié)論。

4 結(jié)論與討論

本文首先指出了Stratton解釋存在循環(huán)邏輯錯(cuò)誤：他事先假設(shè)相容性條件(2)成立(麥?zhǔn)戏匠探M解存在要求，其實(shí)兩個(gè)散度方程(1c),(1d)在任意時(shí)刻成立和電荷連續(xù)性方程成立是確保麥?zhǔn)闲确匠探獯嬖诘臈l件)；然后他又推導(dǎo)出相容性條件(2)，并把它當(dāng)成旋度方程的推論；這是循環(huán)邏輯錯(cuò)誤。因此計(jì)算電磁學(xué)中忽略?xún)蓚€(gè)散度方程的做法就失去了理論基礎(chǔ)。兩散度方程應(yīng)該算是基本方程，需要求解。那種認(rèn)為電荷連續(xù)性方程可以由麥?zhǔn)戏匠探M導(dǎo)出的看法很顯然也是錯(cuò)的。

推廣的線性相關(guān)定義Ⅱ用來(lái)解釋超定問(wèn)題。解存在且唯一的、定義Ⅰ下超定方程組(比如單旋度散度方程，麥克斯韋方程，應(yīng)力應(yīng)變形式彈性力學(xué)平衡方程，帶坐標(biāo)條件的愛(ài)因斯坦引力場(chǎng)方程，帶規(guī)范條件的Yang-Mills方程)，在定義Ⅱ下均成為適定的。

下面3個(gè)待證命題表面上顯然正確，但證明卻十分麻煩。如果它們是正確的，那在偏微分方程領(lǐng)域，定義Ⅱ比定義Ⅰ更合適。

①假設(shè)線性偏微分方程組(5)的解存在、唯一，且在定義Ⅰ意義下超定；那么方程組(5)必在定義Ⅱ意義下適定。

②假設(shè)線性偏微分方程組(5)的解存在，且在定義Ⅱ意義下欠定，在定義Ⅰ下適定；那么方程組(5)的解必定不唯一。

③假設(shè)線性偏微分方程組(5)在定義Ⅱ意義下超定，則其無(wú)解。

[1] Stratton J A. Electromagnetic Theory[M]. New York: McGraw-Hill Book Company, 1941:1-6. 除了上述最原始的文獻(xiàn)外，還有很多文獻(xiàn)提及了Stratton解釋?zhuān)热纾篢aflove A, Umashankar K. Review of FDTD numerical modeling of electromagnetic wave scattering and radar cross-section[J]. Proc. IEEE, 1989, 77: 682-699. Chew W. Waves and fields in inhomogeneous media[M]. New York: Van Nostrand-Reinhold, 1990: 4-6.

[2] Jiang B N, Wu J, Povinelli L A. The origin of spurious solutions in computational electromagnetics[J]. Journal of Computational Physics, 1996, 125: 104-123.

[3] Ricci P, Lapenta G, Brackbill J U. A simplified implicit Maxwell Solver[J]. Journal of Computational Physics, 2002, 183: 117-141.

■

COMMENTS ON OVER-DETERMINATION OF MAXWELL’S EQUATIONS

Liu Changli

(Institute of Applied Physics and Computational Mathematics, Beijing 100094)

Maxwell’s equations seem over determined, which have six unknowns and eight equations. It is generally believed that Maxwell’s divergence equations are redundant, and both equations are thought as initial conditions of curl ones. Because of this explanation, two divergence equations usually are not solved in computational electromagnetics. A circular logical fallacy of this explanation is found, and two divergence equations cannot be ignored in computational electromagnetics, which are not redundant, but fundamental. The definition of differential linear dependence is employed to explain over-determination of Maxwell’s equations. In the generalized definition, several overdetermined equations become well-determined ones, which avoid some ambiguity. This paper in English can be referred to arXiv: 1002.0892.

Maxwell’s equations; over-determination; divergence

2016-03-23

劉長(zhǎng)禮，男，助理研究員，從事物理研究工作，研究方向?yàn)榈入x子體物理，LIUCL78@pku.org.cn。

劉長(zhǎng)禮. 麥克斯韋方程組超定問(wèn)題的解釋[J]. 物理與工程，2017，27(3)：7-9,21.