線段圖不應(yīng)被視為“雞肋”

徐映+鄭惠慶

人教版《數(shù)學(xué)》教材十分注重對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，編者介紹了許多解決數(shù)學(xué)問題的輔助手段，而畫圖則是其中十分重要的一種。在三年級(jí)上冊(cè)《解決問題》的兩個(gè)例題中，教材引導(dǎo)學(xué)生由示意圖過渡到線段圖輔助解題，但第二個(gè)例題中線段圖的繪制和使用卻顯得有些“雞肋”。實(shí)際教學(xué)調(diào)查顯示，很多學(xué)生不采用圖示分析也能順利解答歸總問題，線段圖似乎成了教學(xué)中可有可無的部分。于是在教學(xué)中就面臨“圖示教學(xué)有什么重要作用”“圖示教學(xué)為解決問題提供了什么幫助”等問題的探討。

那么，線段圖在《解決問題》教學(xué)中究竟有沒有作用呢？筆者以《解決問題》一課的例題二教學(xué)為例，談?wù)勛约旱乃伎肌?/p>

一、借助線段圖預(yù)測(cè)結(jié)果，可以更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感

課文中的例題內(nèi)容如下：媽媽的錢買6元一個(gè)的碗，正好可以買6個(gè)。買9元一個(gè)的碗可以買幾個(gè)？在畫圖時(shí)，學(xué)生為了確保線段圖表示題意的準(zhǔn)確性，需要對(duì)線段的畫法與長短做出判斷，而這個(gè)判斷的過程正是對(duì)學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)過程。學(xué)生在畫出一條線段表示碗的總價(jià)錢后，需要將線段平均分成6份表示每個(gè)碗的價(jià)格。有的學(xué)生選擇將線段總長畫為6厘米，平均分成6份，每份1厘米。有的學(xué)生根據(jù)數(shù)的特征發(fā)現(xiàn)：如果教師在黑板上畫60厘米也很容易平均分成6份。以此類推，學(xué)生們觸類旁通想到了54厘米、48厘米等等，更清晰了數(shù)量之間的關(guān)系，也進(jìn)一步培養(yǎng)了數(shù)感，對(duì)于6的倍數(shù)有了更清楚的認(rèn)識(shí)。還有的學(xué)生想到了將線段先平均分成2份，再把每份平均分成三份，這是對(duì)數(shù)“6”的進(jìn)一步剖析。

之后，學(xué)生需要畫一條線段表示9元。學(xué)生想到“表示9元的線段應(yīng)該比表示6元的線段長一些”。此時(shí)，教師順勢(shì)提出“應(yīng)長多少”的問題，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。學(xué)生在思考的過程中需認(rèn)真分析9和6的關(guān)系，“9比6多3，而3又正好是6的一半，所以應(yīng)該比表示6的線段長它的一半”。學(xué)生以數(shù)促圖，又以圖明數(shù)，加深了對(duì)于9就是一個(gè)半6的理解，線段圖畫出后又促進(jìn)了數(shù)感的形成。

線段圖畫出后，學(xué)生即可對(duì)答案進(jìn)行初步感知，并預(yù)測(cè)到答案的范圍。學(xué)生推測(cè)“9元一個(gè)的碗所買個(gè)數(shù)一定比6元一個(gè)的碗要少”，有的學(xué)生結(jié)合線段圖還能清晰地說出自己的推理過程：“如果9元一個(gè)的碗買6個(gè)，每個(gè)都比6元貴，線段總長就會(huì)變長，總價(jià)變多，而題目要求總錢數(shù)不變，所以不可能買6個(gè)，更不可能比6個(gè)多了。”這樣的猜測(cè)在線段圖上可以很直觀地觀察出來。

在畫圖、看圖、預(yù)測(cè)等活動(dòng)中，學(xué)生經(jīng)過細(xì)致觀察與分析，數(shù)感得到了進(jìn)一步提高。學(xué)生學(xué)會(huì)了根據(jù)數(shù)據(jù)的倍數(shù)關(guān)系選擇線段總長及平均分的方法，學(xué)會(huì)了根據(jù)數(shù)據(jù)大小及倍數(shù)關(guān)系的特點(diǎn)正確截取線段長度，學(xué)會(huì)了根據(jù)線段圖對(duì)可能結(jié)果進(jìn)行猜測(cè)。培養(yǎng)數(shù)感是一個(gè)龐大而不易的工程，借助線段圖培養(yǎng)數(shù)感是一種很有效的途徑。

二、借助線段圖，學(xué)生敘述題意、解析每一步算式的意義時(shí)，思維表達(dá)更有序、更清晰

學(xué)生在分析數(shù)量關(guān)系和解決問題表達(dá)思路時(shí)，可借助線段圖。數(shù)形結(jié)合可幫助學(xué)生理清思路，降低表達(dá)難度。用線段圖的輔助，學(xué)生的思維表達(dá)更有序、更清晰。

歸總問題題意的理解、關(guān)鍵隱藏信息的尋找及數(shù)量關(guān)系的正、逆向運(yùn)用對(duì)于學(xué)生的思維要求很高。部分學(xué)生會(huì)附和他人，卻不是真正理解意義。這部分學(xué)生能列出算式，是因?yàn)榫蛯W(xué)生現(xiàn)階段掌握的知識(shí)來說，算式和計(jì)算的合理性會(huì)給他一定的提示，但對(duì)每個(gè)算式的含義理解卻并不透徹。有的學(xué)生說出了自己的理解，可是若有錯(cuò)誤想要糾正卻苦于沒有載體而無法說清，而線段圖的出現(xiàn)消除了這些困擾。

借助線段圖，學(xué)生將能更好地表述題意，也能讓聽者更清楚敘述者的意思，兩者之間有了一個(gè)溝通的橋梁。借助線段圖，每一步的意義看得見也摸得著。描述題意的學(xué)生講哪里指哪里，突出自己要表達(dá)的重點(diǎn)。線段圖中，上下兩條線段清楚地展現(xiàn)了總價(jià)錢相同前提下的兩種不同購買情況，“總錢數(shù)不變”在線段圖中顯得十分清晰和突出。學(xué)生在敘述“6×6求得的是什么”時(shí)在圖中能找到“6×6”這個(gè)算式及積的意義，可以感受到“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”的數(shù)量關(guān)系，同時(shí)也能找到“6×6”的積所表示的“總價(jià)錢36元”不僅在第一條線段里有，在第二條線段中也有。接下來，借助線段圖對(duì)“36÷9”的意義敘述則讓學(xué)生感受到了“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”的逆向運(yùn)用。對(duì)學(xué)生來說，這樣具體的載體無疑是一個(gè)很好的幫手，學(xué)生們的表述不再那么的艱澀。

在這樣一個(gè)過程中，學(xué)生的思路被圖引導(dǎo)著慢慢理清。在“先求什么，再求什么”的討論中，有的學(xué)生是從信息入手思考問題，有的則是從所要解決的問題入手思考，而這兩種情況借助線段圖表述時(shí)指向是正好相反的，一種是從第一條線段說起順藤摸瓜，一種是從第二條線段說起追根溯源。借助線段圖把分析法和綜合法這兩種思考方式及其逆向性具體形象地呈現(xiàn)了出來，這對(duì)學(xué)生來說比用文字?jǐn)⑹龈茏屓私邮堋?/p>

三、借助線段圖，可以更好地訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維，檢驗(yàn)問題答案

結(jié)果的檢驗(yàn)對(duì)于學(xué)生來說是逆向思維，難度較大，學(xué)生們對(duì)于檢驗(yàn)總是缺乏耐心，對(duì)其作用理解得也不夠深刻。有了線段圖的幫助，可清晰展現(xiàn)檢驗(yàn)的逆向思維過程，對(duì)于各個(gè)思維層次的學(xué)生來說應(yīng)該都有所收獲。

本課將檢驗(yàn)過程的起因設(shè)置為，媽媽得到求出的答案后進(jìn)行反思：“真的可以買4個(gè)嗎？”這體現(xiàn)了檢驗(yàn)的邏輯價(jià)值，激發(fā)學(xué)生想盡辦法想向“媽媽”證明我們解答的正確性。檢驗(yàn)的方法很多種，教師將其中的兩種通過課件用線段圖的形式展現(xiàn)，幫助學(xué)生把自己的想法在線段圖上用不同的方法表達(dá)出來，清晰而又明了。

學(xué)生們想到，“6元一個(gè)的碗買6個(gè)要花36元，9元一個(gè)的碗買4個(gè)正好也是36元。總價(jià)錢不變所以答案是正確的?！边@種方法是借助還原隱藏信息“總價(jià)錢不變”來檢驗(yàn)的。學(xué)生們也想到了：“9元一個(gè)的碗買4個(gè)共36元，而這36元用來買6元一個(gè)的碗正好可以買6個(gè)。所以答案是正確的?！碑?dāng)學(xué)生恢復(fù)出6個(gè)6元時(shí)，這題的檢驗(yàn)過程也順利完成了。

這兩種檢驗(yàn)方法選擇了題目原有的不同信息進(jìn)行還原，是對(duì)原題的一次逆向思維。使用動(dòng)畫手段在線段圖中進(jìn)行展示，可以對(duì)逆向思維有一次感性認(rèn)識(shí)，這勝過教師的千句萬句。

四、借助線段圖，可更清楚地觀察數(shù)量間的關(guān)系，展現(xiàn)數(shù)學(xué)思想

數(shù)量關(guān)系是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂。本課例中清晰地展現(xiàn)了“當(dāng)總錢數(shù)不變時(shí)，單價(jià)越低數(shù)量越多”的函數(shù)關(guān)系，“變與不變”“變化是因不變而生”的數(shù)學(xué)現(xiàn)象及“守恒”的數(shù)學(xué)思想，并將之形象、生動(dòng)地留在了學(xué)生的腦海之中，而線段圖在其中起到了不可替代的作用。

“超市里的碗絕不止這兩種，媽媽心里的盤算也不止這兩條”，教師以“碗的價(jià)格在不停地變化，碗的數(shù)量也在變化。變化中有沒有什么規(guī)律呢？”引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察，添補(bǔ)上線段圖的縱向維度。對(duì)比中學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：“每一份越來越短，份數(shù)就越來越多。”“碗的單價(jià)越來越貴，買的數(shù)量越來越少?！?/p>

接著，教師又以“變化中有沒有什么是不變的呢”引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步深入觀察。學(xué)生發(fā)現(xiàn)總錢數(shù)是不變的。教師適時(shí)提出“只有當(dāng)我們的總錢數(shù)不變時(shí)，才是每一份越少，買得就越多！每一份越多，買得就越少！”這樣一句蘊(yùn)含函數(shù)思想的話語，對(duì)于學(xué)生來說聽到時(shí)感覺到很有規(guī)律、韻味十足，可是其中反比例的關(guān)系，能理解多少呢？不得而知。教師在此再次使用線段圖，展現(xiàn)這樣一個(gè)反比例的函數(shù)關(guān)系，十分清晰，一看便知。而這其中“變化中的不變”呼之欲出！

教師引導(dǎo)學(xué)生思考“一開始沒有誰告訴我們總錢數(shù)”，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)總價(jià)錢是利用變化中的單價(jià)與數(shù)量求得的。最后以一句耳熟能詳、簡單而又含義豐富的“變化中求不變，以不變應(yīng)萬變”總結(jié)歸總問題的解答方法與思想精髓，這其實(shí)就是守恒思想的體現(xiàn)與應(yīng)用。其實(shí)，學(xué)生在總觀這些線段后就不難發(fā)現(xiàn)，“無論選用哪一條線段圖上的信息作為已知信息，都可以求出總價(jià)錢，從而求出另一種情況下的數(shù)量?！?/p>

可見，線段圖在本課教學(xué)中并非雞肋，也并非僅在分析數(shù)量關(guān)系時(shí)有用，線段圖的使用可以貫穿整節(jié)課，并對(duì)整節(jié)課的知識(shí)架構(gòu)有很好的輔助作用。

經(jīng)過課前思考、課中實(shí)踐與課后反思，筆者更加堅(jiān)定了自己的想法。線段圖在解決問題中的作用十分廣泛，其意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了學(xué)畫圖、解題意，它在培養(yǎng)學(xué)生的觀察、思考、分析能力方面都有不可替代的作用，是學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想的拐杖，是學(xué)生借以表達(dá)的良師益友，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的絕佳途徑。在解決問題的教學(xué)中用好線段圖對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有著不可估量的作用！

（作者單位：徐映，武漢市育才可立小學(xué)；鄭惠慶，武漢市江岸區(qū)小學(xué)教研室）