善學(xué)多思 活學(xué)活用

張偉

一、優(yōu)化解題方法，提高解題效率

例1 求二元一次方程x+3y=7的正整數(shù)解.

【分析】二元一次方程（組）的每一個(gè)解，都是一對(duì)命運(yùn)共同體，需用大括號(hào)聯(lián)立起來(lái)，彼此分割不得.我們利用枚舉法可以發(fā)現(xiàn)，一元二次方程的解有無(wú)數(shù)多個(gè)，所以一元二次方程也被稱(chēng)作不定方程.我們可以通過(guò)限制屬性——正整數(shù)解得到有限個(gè)解.

【答案】[x=4，y=1，]或[x=1，y=2.]

【延伸】要求一元二次方程4x+3y=32的正整數(shù)解，先確定哪個(gè)值更簡(jiǎn)便呢？若兩個(gè)值不相上下，有沒(méi)有更佳途徑？在這里我們可以先用含其中一個(gè)字母的代數(shù)式表示另一個(gè)字母，有兩種途徑：①y=[323]-[43x]；②x=8-[34y]，從而求出對(duì)應(yīng)的值.我們可以發(fā)現(xiàn)途徑②更簡(jiǎn)便，因?yàn)槿魓是正整數(shù)，y必須是4的倍數(shù)，這樣，y可以從4開(kāi)始代入求值，嘗試3次即可，而且計(jì)算方便.

二、代入加減哪家好，方便才是真的好

例2 用代入消元法解方程組[2x+3y=50，x-y=-5.]

【分析】二元一次方程組中兩個(gè)方程的公共解叫做二元一次方程組的解，求方程組的解的本質(zhì)是化“二元”為“一元”，最常見(jiàn)的方法有代入消元法或加減消元法.使用代入法時(shí)，從方程組中選擇一個(gè)字母系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程先進(jìn)行變形，用含有x（或y）的代數(shù)式去表示y（或x），即變成y=ax+b或x=ay+b的形式，然后將其代入另一個(gè)方程中，消去一個(gè)元，得到關(guān)于另一個(gè)元的一元一次方程.這里需注意，不能代入原方程中.

【答案】[x=7，y=12.]

例3 解方程組[3x+5y=25，①4x+3y=15. ②]

【分析】通過(guò)嘗試我們不難發(fā)現(xiàn)代入法固然可以使用，但計(jì)算較繁瑣.我們可以用①×3，②×5，將①②轉(zhuǎn)化成含相同字母系數(shù)的兩個(gè)方程，然后再將兩個(gè)新的方程相減，消去y.

【答案】[x=0，y=5.]

【點(diǎn)評(píng)】解方程組時(shí)，應(yīng)先觀察未知數(shù)的系數(shù)的特點(diǎn)，如果未知數(shù)系數(shù)中有1或-1，可以?xún)?yōu)先采用代入消元法；如果同一未知數(shù)系數(shù)絕對(duì)值相等，可以采用加減消元法，但這只能解決少部分的方程組.更多的時(shí)候需要我們開(kāi)動(dòng)腦筋，通過(guò)對(duì)方程進(jìn)行變形，從而轉(zhuǎn)化為我們熟悉的局面，如果出現(xiàn)同未知數(shù)的系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系或較復(fù)雜的情形時(shí)，宜用加減消元法.解方程組時(shí)萬(wàn)變不離其宗的是將“多元”轉(zhuǎn)為“一元”，達(dá)到化生為熟的目的.

三、二元一次方程組，解決問(wèn)題的法寶

例4 上網(wǎng)流量、語(yǔ)音通話是手機(jī)通信消費(fèi)的兩大主體.日前，某通信公司推出消費(fèi)優(yōu)惠新招——“定制套餐”.消費(fèi)者可根據(jù)實(shí)際情況自由定制每月上網(wǎng)流量與語(yǔ)音通話時(shí)間，并按照二者的階梯資費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)繳納通信費(fèi).下表是流量與語(yǔ)音的階梯定價(jià)標(biāo)準(zhǔn).

小提示：階梯定價(jià)收費(fèi)計(jì)算方法，如600分鐘語(yǔ)音通話費(fèi)=0.15×500+0.12×（600-500）=87元.

（1）甲定制了600MB的月流量，話費(fèi)48元；乙定制了2GB的月流量，花費(fèi)120.4元，求a，b的值.（注：1GB=1024MB）

（2）甲的套餐費(fèi)用為199元，其中含600MB的月流量；丙的套餐費(fèi)用為244.2元，其中包含1GB的月流量.二人均定制了超過(guò)1000分鐘的每月通話時(shí)間，并且丙的語(yǔ)音通話時(shí)間比甲多300分鐘，求m的值.

【分析】本題考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找出題目中所包含的等量關(guān)系，列出符合題意的方程.列方程時(shí)需注意“階梯”，不要重復(fù)計(jì)費(fèi).

【答案】（1）a=0.15，b=0.05；（2）m的值是0.08.

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于相對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題，同學(xué)們可以用列表或示意圖幫助自己厘清問(wèn)題中已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系，從而有效地列出方程組解決問(wèn)題.

親愛(ài)的同學(xué)們，通過(guò)以上的學(xué)習(xí)、總結(jié)，你是不是對(duì)“二元一次方程組”的學(xué)習(xí)更有信心呢？希望大家都能擁有一雙智慧的眼睛，養(yǎng)成從多個(gè)角度思考問(wèn)題的習(xí)慣，人人都能享受到利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的樂(lè)趣.

（作者單位：江蘇省鹽城市初級(jí)中學(xué)）