數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的分類歸納

溫紅梅

（山西省翼城縣匯豐學(xué)校）

對(duì)于中學(xué)生來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)作為一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科，尤為重要。隨著翼城縣教育科技文化局開(kāi)展的教學(xué)研究活動(dòng)的廣泛推進(jìn)，作為匯豐學(xué)校一名教師，收益不少。認(rèn)識(shí)到“數(shù)學(xué)沒(méi)有新課，新課就是復(fù)習(xí)課”，也就是說(shuō)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)很簡(jiǎn)單，但是簡(jiǎn)單的知識(shí)點(diǎn)卻能變換出形形色色的不同習(xí)題。因此，數(shù)學(xué)難學(xué)點(diǎn)在于利用知識(shí)點(diǎn)靈活地解決問(wèn)題，相反大多數(shù)人信“熟能生巧”，大搞題海戰(zhàn)術(shù)，雖能有效提高解決問(wèn)題的能力，但卻是非常的辛苦，更有一些學(xué)生因?yàn)閱渭冏鲱}，缺乏思考，雖夜夜苦熬做題，卻收效甚微，苦不堪言。下面我就幾個(gè)例題來(lái)說(shuō)明我所說(shuō)的教學(xué)方法。

一、用轉(zhuǎn)化思想，做透基礎(chǔ)習(xí)題

將未知解法或難以解決的問(wèn)題，通過(guò)觀察、分析、類比、聯(lián)想等思想的過(guò)程，選擇運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行交換，除簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題外，每個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決都是通過(guò)轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題實(shí)現(xiàn)的，轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本思想，解題的過(guò)程實(shí)際上就是一步步轉(zhuǎn)化的過(guò)程，數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是，如未知向已知轉(zhuǎn)化，復(fù)雜問(wèn)題向簡(jiǎn)單問(wèn)題轉(zhuǎn)化，空間向平面的轉(zhuǎn)化，高維向低維轉(zhuǎn)化，多元向一元轉(zhuǎn)化，高次向低次轉(zhuǎn)化，函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化，無(wú)限向有限的轉(zhuǎn)化等，都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)。

做好基礎(chǔ)習(xí)題達(dá)到熟練的程度，扎實(shí)地掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法是轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)；豐富的聯(lián)想，機(jī)敏細(xì)微的觀察、比較、類比是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的橋梁；培養(yǎng)訓(xùn)練自己自覺(jué)的轉(zhuǎn)化意識(shí)需要對(duì)定理、公式、法則有本質(zhì)上的深刻理解和對(duì)典型習(xí)題的總結(jié)和提煉，要積極主動(dòng)且有意識(shí)地去發(fā)現(xiàn)事物之間的本質(zhì)聯(lián)系。

例1.如圖1，在邊長(zhǎng)為9的等邊三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，求AE的長(zhǎng)。

這個(gè)習(xí)題應(yīng)該算是一個(gè)較為簡(jiǎn)單的習(xí)題了，本題中由于∠B=∠C=∠ADE=60°，可以得出∠1+∠2=120°，又∠1+∠3=120°，進(jìn)而推到∠2=∠3，△ABD∽△DCE，最終利用相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題，對(duì)于這類基礎(chǔ)性習(xí)題我們就應(yīng)當(dāng)掌握定理概念一樣，從解決思路方法上牢固掌握。

二、用分類思想，討論歸納方法

數(shù)學(xué)問(wèn)題比較復(fù)雜時(shí)，有時(shí)可以將其分割成若干個(gè)小問(wèn)題或一系列步驟，從而通過(guò)問(wèn)題的局部突破來(lái)實(shí)現(xiàn)整體解決，正確應(yīng)用分類思想，是完整接替的基礎(chǔ)。而在學(xué)業(yè)考試中，分類思想也貫穿其中，命題者經(jīng)常利用分類討論題來(lái)加大試卷的區(qū)分度，很多壓軸題也都設(shè)計(jì)分類討論。在我校數(shù)學(xué)教研組討論時(shí)，初二（8）班的張老師體會(huì)是：我們常常需要根據(jù)研究隊(duì)形性質(zhì)的差異，分不同情況進(jìn)行解決，這種分類思考的方法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法的解題策略，掌握分類的方法，領(lǐng)會(huì)其實(shí)質(zhì)，對(duì)于加深基礎(chǔ)知識(shí)的理解，提高解決問(wèn)題的能力十分重要。初三（3）班的李教師體會(huì)是：數(shù)形結(jié)合思想方法是我在教學(xué)中常用的思想方法。數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直接表現(xiàn)形式，用數(shù)形結(jié)合的思想解題可分兩類：一要利用幾何圖形直觀表示數(shù)，它常借用數(shù)軸、函數(shù)圖象等；二要運(yùn)用數(shù)量關(guān)系來(lái)研究幾何圖形，常需要建立方程（組）或建立函數(shù)關(guān)系式等。

例2.如圖2，在矩形ABCD中，EF分別是CD、BC邊上的點(diǎn)，若∠AEF=90°，則一定有（ ）。

A.△ADE∽△AEF B.△ECF∽△AEF

C.△ADE∽△ECF D.△AEF∽△ABF

分析，因?yàn)椤螦EF=90°，所以∠1+∠2=90°，又∠2+∠3=90°，所以∠1=∠3，因此可得出△ADE∽△ECF。

例1和例2兩個(gè)習(xí)題，一個(gè)是三角形，另一個(gè)是矩形，但是解題方法上不難看出完全相同，因此，我們可將這兩種習(xí)題歸為一類，圖形特點(diǎn)為在同一條直線上分布有三個(gè)相同角，最終結(jié)果它有兩個(gè)相似三角形，最終利用相似解決問(wèn)題。

三、用觀察思想、拓展圖象信息

在2017年山西省中考數(shù)學(xué)研討會(huì)中，我們組總結(jié)了以下幾點(diǎn)：

（1）圖象信息題是指由圖象（表）來(lái)獲取信息，從而達(dá)到解題的目的。（2）圖象信息題的圖象可分兩類。一是教材介紹的基本函數(shù)圖象（如直線、拋物線、雙曲線）；二是不同的習(xí)題描繪的不規(guī)則圖象（如折線型、統(tǒng)計(jì)圖表等）。這種題型一般是由圖象給出的數(shù)據(jù)信息，探求兩個(gè)變量之間的關(guān)系，進(jìn)行數(shù)、形之間的互換。（3）圖象信息題大致有三類：基本概念類、基礎(chǔ)綜合類和壓軸綜合類，題型可涉及選擇等，迷惑性很大。（4）解圖象信息題的關(guān)鍵是“識(shí)圖”和“用圖”，解這類題的步驟是：①觀察圖象，獲取有效信息；②對(duì)已獲信息進(jìn)行理性分析，理清各變量之間的關(guān)系；③選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，恰當(dāng)解決問(wèn)題。（5）圖象信息題的解決方法是觀察圖象，從圖象給我們提供的已知條件了解，認(rèn)真分析，由圖象信息分析出有關(guān)函數(shù)解析式，揭示問(wèn)題的數(shù)學(xué)關(guān)系和本質(zhì)屬性，找到了解題的途徑。

例3.如圖3，直線y=-3/4x+3與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BA邊向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以相同的速度從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)沿OB邊向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t。

在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在點(diǎn)N，便得以點(diǎn)AP、QN為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，求t的值，并直接寫(xiě)出N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

這道題需要分類討論，就有一定難度了，這道題有三種情況，其中一種如圖，所構(gòu)建的圖形是否似曾相識(shí)呢？

再偉大的建筑也是由一磚一瓦建起來(lái)的，再?gòu)?fù)雜的習(xí)題也是由基礎(chǔ)題構(gòu)建而成的。只要我們基礎(chǔ)扎實(shí)，肯抽象歸納，再?gòu)?fù)雜的習(xí)題也會(huì)迎刃而解的。

編輯 溫雪蓮