關(guān)于運動分解的幾個實例分析

姜彩連

在學(xué)習(xí)必修二第五章曲線運動時常常會遇到關(guān)于繩末端速度分解的類型題，有的老師也把這類問題叫做關(guān)聯(lián)運動，關(guān)鍵問題就是在繩拉動下物體運動的分解，通過沿繩方向速度大小相等找出繩子連接的兩個物體的速度關(guān)系.那么關(guān)于物體運動的分解都應(yīng)該遵循怎樣的規(guī)律呢.筆者在這里總結(jié)一二.

1 基本類型分析

例1 如圖1所示，做勻速直線運動的小車A通過一根繞過定滑輪的長繩吊起一重物B，設(shè)重物和小車速度的大小分別為vB、vA，則

A.vA>vB

B.vA

C.繩的拉力等于B的重力

D.繩的拉力大于B的重力

解析 小車A向左運動的過程中，小車的速度是合速度，可分解為沿繩方向與垂直于繩方向的速度，關(guān)聯(lián)速度起源于不可伸長的繩或桿上，盡管兩端點的速度不同，但兩端點速度沿繩或桿方向的分速度一定相同.如圖2所示，由圖可知vB=vAcosθ，則vB

在學(xué)習(xí)中，學(xué)生會有一些困惑，第一，為什么分解的是小車的速度而不是繩的速度，也常常在作題時不清楚究竟分解誰；第二，根據(jù)平行四邊行定則，已知一個合運動求它的兩個分量是有無數(shù)種情況的，為什么一定是沿繩和垂直于繩呢？如果說是按效果分解，那么這兩個效果又是什么呢？

首先我們要先清楚什么是物體的合運動和分運動，物體同時參與了兩個實際獨立存在的運動，這兩個分運動所造成的物體的運動效果就是物體的合運動.通常以地面為參考系，那么最后的合運動就是物體相對地面的運動.在例1中A車相對地面的運動是水平向左的，所以，它水平向左的速度vA就是它的合運動，可以被分解.

其次，運動的效果是有很多種不同情況，如果說成按照解決問題的需要來分解可能更確切些，比如說例1中A車是通過繩與B車連接，由于在不可伸長的繩方向速度相等，B的速度是沿繩的，所以對于A車的運動分解為兩個分運動，其中一個方向就是沿繩方向，A車也就是繩末端還參與了哪個運動呢？我們發(fā)現(xiàn)滑輪左側(cè)的繩除了沿繩方向在伸長之外還在順時針轉(zhuǎn)動，繩末端轉(zhuǎn)動速度應(yīng)與繩（半徑方向）垂直.那么兩個分速度的方向便確定了——沿繩方向與垂直繩方向.與繩末端相連的物體，如果其運動不沿繩的話，往往就要把它的合運動向這兩個方向分解.

解決該類問題的關(guān)鍵就是要冷靜的找出物體相對地面的運動是什么，也就是合運動，再確定兩個分運動的方向，通過沿繩方向運動來關(guān)聯(lián)，就可以找出兩端物體運動關(guān)系了.

辨析1 如圖3所示，用一根長桿和兩個定滑輪的組合裝置來提升重物M，長桿的一端放在地上通過鉸鏈聯(lián)結(jié)形成轉(zhuǎn)軸，其端點恰好處于左側(cè)滑輪正下方O點處，在桿的中點C處拴一細(xì)繩，繞過兩個滑輪后掛上重物M.C點與O點距離為l.現(xiàn)在桿的另一端用力.使其逆時針勻速轉(zhuǎn)動，由豎直位置以角速度ω緩緩轉(zhuǎn)至水平位置（轉(zhuǎn)過了90°角），此過程中下述說法中正確的是

A.重物M做勻速直線運動

B.重物M做勻變速直線運動

C.重物M的最大速度是ω1

D.重物M的速度先減小后增大

解析 由題知，去除其它裝置，C點的對地運動是圓軌跡，所以它的速度大小為vC=ωl，設(shè)vC與繩之間的夾角為θ，因為M的運動是沿繩的，所以把vC沿繩和垂直繩方向分解可得，v繩=vCcosθ，在轉(zhuǎn)動過程中θ先減小到零再反向增大，故v繩先增大后減小，重物M做變加速運動，其最大速度為ωl，C正確.

辨析2 A、B兩物體通過一根跨過定滑輪的輕繩相連放在水平面上，現(xiàn)物體A以v1的速度向右勻速運動，當(dāng)繩被拉成與水平面夾角分別是α、β時，如圖4所示.物體B的運動速度vB為（繩始終有拉力）

A.v1sinα/sinβ

B.v1cosα/sinβ

C.v1sinα/cosβ

D.v1cosα/cosβ

解析 物體B的運動速度為vB，此速度為物體B合運動的速度，根據(jù)它的實際運動效果兩分運動分別為：沿繩收縮方向的分運動，設(shè)其速度為v繩B ；垂直繩方向的圓周運動，速度分解如圖5甲所示.

則有 vB=v繩B cosβ （1）

物體A的合運動對應(yīng)的速度為v1，它也產(chǎn)生兩個分運動效果，分別是：沿繩伸長方向的分運動，設(shè)其速度為v繩A ；垂直繩方向的圓周運動，它的速度分解如圖5乙所示.

則有 v繩A =v1cosα （2）

由于對應(yīng)同一根繩，故

v繩B =v繩A （3）

根據(jù)（1）、（2）、（3）式解得：

vB=v1cosα/cosβ

選項D正確.

辨析3 如圖6，人沿平直的河岸以速度v行走，且通過不可伸長的繩拖船，船沿繩的方向行進，此過程中繩始終與水面平行.當(dāng)繩與河岸的夾角為α，船的速率為

A.vsinα B.

vsinα C.vcosα D.vcosα

解析 題中已知，船的運動方向是沿繩的，所以不用分解，人的那端點沿河岸向右，很顯然不沿繩，所以將人的運動分解為沿繩方向的分運動v1和與繩垂直方向的分運動v2，如圖7所示.船的速率等于沿繩方向的分速度v1=vcosα，C正確.

2 是不是所有用繩相連的物體運動分解都是沿繩和垂直于繩

我們來看下面這道例題：

例2 圖8所示，一塊橡皮用細(xì)線懸掛于O點，用釘子靠著線的左側(cè)，沿與水平方向成30°角的斜面向右以速度v勻速運動，運動中始終保持懸線豎直，下列說法正確的是

A.橡皮的速度大小為2v

B.橡皮的速度大小為3v

C.橡皮的速度與水平方向成60°角

D.橡皮的速度與水平方向成45°角

解法一 兩個分運動是獨立存在的，不相互影響.從沿繩方向上看，繩子在縮短，且縮短的速度等于釘子沿斜面運動的速度（繩子長度不變）；如果繩子不縮短，物體的運動是沿斜面斜向上運動.也就是釘子沿斜面勻速運動時，橡皮具有向上的分速度v，同時具有沿斜面方向的分速度v，根據(jù)運動的合成可知，橡皮的速度大小為3v，速度與水平方向成60°角，選項B、C正確.

解法二 對物體的運動做水平豎直方向的正交分解，那么水平方向的速度vx=vcos30°

豎直方向：vy=v+vsin30°

v合=v2x+v2y

設(shè)v合與x軸方向夾角為θ，則有vy/vx=tanθ

可以解出v合=3v tanθ=3， 即θ=60°

3 在其它很多情況下我們都會用到運動的合成分解，關(guān)鍵在于抓住對地運動也就是合運動是什么運動，才能確定各運動之間的關(guān)系.

例3 寬9 m的成型玻璃以2 m/s的速度連續(xù)不斷地向前行進，在切割工序處，金剛割刀的速度為

10 m/s， 為了使割下的玻璃板都成規(guī)定尺寸的矩形，則：

（1）金剛割刀的軌道應(yīng)如何控制？

（2）切割一次的時間多長？

（3）所生產(chǎn)的玻璃板的規(guī)格是怎樣的？

解析 題目中提到“金剛割刀的速度為10 m/s”通常情況下默認(rèn)的參考系為地面，所以10 m/s就是割刀的合運動的速度.要保證割出的玻璃都為矩形，那么在沿玻璃板前進方向的分運動的速度與玻璃板的速度應(yīng)該相等，這樣在玻璃板上的割痕才能垂直玻璃，即割出的玻璃板都成規(guī)定尺寸的矩形.

（1）設(shè)割刀的速度v的方向與玻璃板速度v1的方向之間的夾角為θ，如圖9所示，要保證割下的是矩形的玻璃板，則由v是合速度得v1=vcosθ，

所以cosθ=v1v=15，

即θ=arccos15，

所以，要割下矩形玻璃板，割刀速度方向與玻璃板速度方向夾角θ=arccos15.

（2）切割一次的時間：

t=dvsinθ=910×1-125s=0.92 s.

（3）切割出的矩形玻璃板的規(guī)格為：

長度：d=9 m，

寬度：l=v1t=2×0.92 m=1.84 m.

關(guān)于合運動的判斷，需要確定研究對象的以地面為參考系的運動.例如，高H處一激光發(fā)射器發(fā)射激光，同時以角速度ω轉(zhuǎn)動，如圖10當(dāng)激光束與地面成θ時，光點沿地面的速度是光點的合運動，分運動為沿光線和垂直光線.則有

vsinθ=ωH/sinθ

辨析4 如圖11所示，長為L的直棒一端可繞固定軸O轉(zhuǎn)動，另一端擱在升降平臺上，平臺以速度v勻速上升，當(dāng)棒與豎直方向的夾角為α?xí)r，棒的角速度為

A.vsinαL B.vLsinα

C.vcosαL D.vLcosα

解析 棒與平臺接觸點的實際運動即合運動，棒端點的運動軌跡為圓軌跡所以速度方向是垂直于棒指向左上，大小為ωL.它的兩個分運動一個是隨平臺以速度v向上勻速上升，另一個則是沿平臺向左運動，所以合速度沿豎直向上方向上的速度分量等于v，即ωLsinα=v，所以ω=v/Lsinα.

本題答案為B.

4 運動的合成分解不僅僅包括速度的合成分解，運動的其它參量，比如加速度、位移都可以根據(jù)平行四邊形的規(guī)律進行分解或合成的.

例4 如圖12所示，將一傾角為 θ=37°板狀斜面體豎直固定在水平地面上，另一 “Π”型物體B緊靠在斜面體上，且能在水平面上自由滑動而不會傾斜，一根光滑細(xì)圓柱體A放在B的豎直面和斜面之間.現(xiàn)用水平外力推動B使其以加速度a=4 m/s2水平向右做勻加速直線運動，同時B推動A沿斜面向斜向上運動.不計所有摩擦，g=10 m/s2. （sin37°=0.6，cos37°=0.8），試求圓柱體A的加速度；

解析 由于斜面體固定不動，故A的合加速度方向沿斜面向上，其水平向右的分加速度和B的加速度相同，由圖13中幾何關(guān)系可得

a=aAcosθ

aA=5 m/s2

總的來說，解決問題的關(guān)鍵要抓住問題的本質(zhì)，運動的合成分解，要認(rèn)清兩點，一是誰是研究對象，也是同學(xué)們在解題過程中易混淆的地方，所以要值得注意.二是研究對象的合運動是誰，同學(xué)們在解決相關(guān)問題時往往受到其各個分運動的影響，這時要仔細(xì)觀察，排除干擾素，找出研究對象以地面為參考系的運動就是合運動.既然是運動的合成分解，就不能停留在速度的合成與分解，它的另外兩個參量加速度、位移也可以按照平行四邊形定則進行合成與分解.