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      數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

      2017-06-30 13:54:02韓玉紅
      中國校外教育(下旬) 2017年3期
      關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)解題應(yīng)用策略

      韓玉紅

      摘要:數(shù)形結(jié)合思想貫穿著整個高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的始終,同時它在高考中占有非常重要的地位。所謂數(shù)形結(jié)合思想,就是在研究問題時把數(shù)和形結(jié)合起來考慮。通過“以形助數(shù),以數(shù)解形”,能夠使復(fù)雜問題簡單化,抽象問題具體化。在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法的同時注意遵循等價性原則、雙向性原則、簡單性原則。

      關(guān)鍵詞:數(shù)形結(jié)合思想方法 數(shù)學(xué)解題 應(yīng)用策略

      一、引言

      數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂,是數(shù)學(xué)知識的高度概括,是學(xué)生解決問題的手段。最常用的數(shù)學(xué)思想有函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想。其中,數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的地位尤為重要,是數(shù)學(xué)思想方法的精髓之一。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生在1964年1月撰寫的《談?wù)勁c蜂巢的結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題》用一首詩完美的闡述了數(shù)形結(jié)合的價值和本質(zhì),即“數(shù)形本是相倚依,焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時少直覺,形缺數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬事休。幾何代數(shù)統(tǒng)一體,永遠聯(lián)系莫分離。”

      數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用十分廣泛,運用數(shù)形結(jié)合思想可以解決高中數(shù)學(xué)中的與集合、函數(shù)、方程與不等式、三角函數(shù)、向量、線性規(guī)劃、數(shù)列、解析幾何、立體幾何等有關(guān)的問題??v觀歷年高考題,數(shù)形結(jié)合思想在歷年高考題中的體現(xiàn)逐漸加強。高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的解題思想,使學(xué)生在解題時有效的運用數(shù)形結(jié)合思想,做到舉一反三、觸類旁通。

      二、數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用原則

      數(shù)形結(jié)合的思想方法中數(shù)與形相互轉(zhuǎn)化時,要借助于基本的知識和方法才能實現(xiàn),如果對基本知識和方法了解不深刻,就會容易犯錯。高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法需要掌握以下原則。

      1.等價性原則

      在數(shù)形結(jié)合的過程中,數(shù)和形的轉(zhuǎn)化要遵循等價原則,即數(shù)和形所反應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系是一一對應(yīng)的。注意轉(zhuǎn)化過程要等價,避免定義域擴大或縮小。在畫圖時,注意對交點,極大(?。┲迭c,最大(小)值點,數(shù)軸等的精確描繪。

      2.雙向性原則

      在運用數(shù)形結(jié)合思想解題時,進行幾何直觀分析時應(yīng)該與代數(shù)計算相結(jié)合,“以形助數(shù),以數(shù)解形”,用直觀的幾何反應(yīng)抽象的公式,用精確的代數(shù)規(guī)范幾何圖形。

      3.簡單性原則

      “以形助數(shù)”進行由數(shù)到形的轉(zhuǎn)換時,應(yīng)盡可能使構(gòu)造的圖形簡單、易懂?!耙詳?shù)解形”在代數(shù)計算中盡量避免繁瑣復(fù)雜的計算。

      三、數(shù)形結(jié)合思想解決的問題

      數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中解題的主要方法之一,下面是利用該方法可以解決的高中數(shù)學(xué)問題。

      (1)解決集合問題。在關(guān)于集合之間的關(guān)系和運算的教學(xué)中,使用Venn圖是重要的,有助于學(xué)生學(xué)習(xí)、掌握、運用集合語言和其他數(shù)學(xué)語言。

      (2)解決函數(shù)問題。函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型。要求掌握幾種不同增長的函數(shù)模型(指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、反函數(shù)等),另外,數(shù)形結(jié)合還可以解決函數(shù)和方程的解的問題。

      (3)解決方程與不等式問題。處理方程問題時,把方程的根的問題看作兩個函數(shù)的交點問題;處理不等式時,從題目的條件和結(jié)論出發(fā),聯(lián)系相關(guān)函數(shù),著重分析其幾何意義,從圖形上找出解題的思路。

      (4)解決三角函數(shù)問題。單位圓是研究三角函數(shù)的重要工具,借助它的直觀,可以使學(xué)生更好地理解三角函數(shù)的概念和性質(zhì),體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。

      (5)解決線性規(guī)劃問題。線性規(guī)劃問題是在約束條件下求目標函數(shù)的最值的問題,在解題時注意運用數(shù)形結(jié)合思想。

      (6)解決數(shù)列問題。數(shù)列是一種特殊的函數(shù),數(shù)列的通項公式和前n項和的公式可以看作關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù),借助函數(shù)圖像對數(shù)列進行直觀分析。

      (7)解決解析幾何問題。解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)。解析幾何的研究對象是幾何圖形(平面解析幾何研究的是曲線),研究方法是用代數(shù)方法研究幾何解析幾何所要解決的主要問題有兩個:一是根據(jù)結(jié)合幾何性質(zhì)求出曲線的方程,這體現(xiàn)了幾何向代數(shù)的轉(zhuǎn)化;二是根據(jù)方程研究曲線,這體現(xiàn)了由代數(shù)向幾何的轉(zhuǎn)化。

      (8)解決立體幾何問題。教師可以使用具體的長方形的點、線、面之間的關(guān)系作為載體,使學(xué)生在直觀感知的基礎(chǔ)上認識空間中的一般的點、線、面之間的位置關(guān)系,通過對圖形的觀察、實驗和說理,使學(xué)生進一步了解平行、垂直關(guān)系的基本性質(zhì)和判定方法。立體幾何中用坐標的方法將點、線、面的性質(zhì)和相互關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為純粹的代數(shù)問題。

      四、數(shù)形結(jié)合思想在高中教學(xué)中的典型應(yīng)用

      分析:此題根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想,講求函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為

      幾何圖形問題,把利用幾何圖形的性質(zhì)把結(jié)論還原到函數(shù)問題。

      此題最關(guān)鍵的是對函數(shù)的轉(zhuǎn)化,如果學(xué)生對距離公式有比較深刻的認識,那么就能夠解出這種類型的題。

      分析:單位圓是表示三角函數(shù)的重要依托,本題將分式轉(zhuǎn)化為斜率,使解題過程清晰、簡明。此外,以后解題時遇到平方和式可轉(zhuǎn)化為距離,分式可轉(zhuǎn)化為斜率。

      分析:通過已知,在坐標上畫圖,在解題時設(shè)的未知量在圖像中用輔助線表示出來,再將所得的未知點帶入方程中,求得結(jié)果即可,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。向量具有兩個明顯的特點—“形”的特點和“數(shù)”的特點,這就使得向量成了數(shù)形結(jié)合的橋梁,向量的坐標實際是把點和數(shù)聯(lián)系了起來,進而可把曲線與方程聯(lián)系起來。這樣就可以用代數(shù)方程研究幾何問題,同時也可以用幾何的觀點處理某些代數(shù)問題,在教學(xué)中注意這種思想方法的運用。

      五、結(jié)語

      綜上所述,數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用十分廣泛。在解題時對于某些較復(fù)雜的問題,可以運用數(shù)形結(jié)合思想將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題求解,大大簡化了解題過程,尤其在選擇題和填空題中更有其優(yōu)越性。因此,在日常的教學(xué)中,教師要注意培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的意識,靈活運用數(shù)形結(jié)合,提高解題能力。

      參考文獻:

      [1]徐漢文.中學(xué)數(shù)學(xué)課程標準與教材分析.北京:科技出版社,2014.

      [2]顧亞萍.數(shù)形結(jié)合思想方法之教學(xué)研究[D].南京師范大學(xué),2004.

      [3]劉紅艷.高中生運用數(shù)形結(jié)合思想解題的調(diào)查研究[D].南京師范大學(xué),2014.

      [4]李雪川.高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的研究和應(yīng)用[D].河北師范大學(xué),2013.

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