具有時(shí)滯的SIR計(jì)算機(jī)病毒模型的穩(wěn)定性分析

雷學(xué)紅　許云霞

【摘 要】研究了一類具有非線性發(fā)生率的時(shí)滯SIR傳染病模型. 確定了決定計(jì)算機(jī)病毒消失或繼續(xù)存在的基本再生數(shù)， 通過分析系統(tǒng)對應(yīng)的特征方程，得到無病平衡點(diǎn)與地方平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性。通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)，利用LaSalle不變原理，證明當(dāng)基本再生數(shù)小于1時(shí)，無病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的； 最后，通過MATLAB進(jìn)行數(shù)值模擬驗(yàn)證了所得理論分析結(jié)果的正確性。

【關(guān)鍵詞】時(shí)滯； 傳染病模型；全局穩(wěn)定性； Lyapunov函數(shù)；基本再生數(shù)

Stability Analysis of a Delayed SIR Computer Virus Model

LEI Xue-hong XU Yun-xia

（Department of mathematical science， Kaili College， Kaili Guizhou 556011，China）

【Abstract】In this paper， A delayed SIR epidemic model with nonlinear incidence rate is investigated. the basic reproduction number is determining whether the disease dies is found， and the existence of the model is discussed. By analyzing the corresponding characteristic equation.the local stability of a disease-free equilibrium and endemic equilibrium are discussed. According to the suitable Lyapunov function and LaSalle invariance principle， it is proved that the disease-free equilibrium is globally asymptotically stable as the basic reproduction number for viral infection is less than unity， Finally，the theoretical results obtained are verified by numerical simulations for the numerical model with a specific incidence by MATLAB.

【Key words】Time delay； Epidemic model； Global stability； Lyapunov Function；Basic Reproduction Number

0 引言

在過去的幾十年里，互聯(lián)網(wǎng)的迅速普及。然而，隨著計(jì)算機(jī)迅速普及也極大提高了計(jì)算機(jī)病毒的傳播能力。由于計(jì)算機(jī)病毒具有極大的破壞性、不可預(yù)測性，多態(tài)性等特點(diǎn)， 早已成為現(xiàn)代信息社會的重要威脅之一。隨著計(jì)算機(jī)與通信技術(shù)的快速發(fā)展，計(jì)算機(jī)病毒程序也變得越來越復(fù)雜，人們開始運(yùn)用傳染病動力學(xué)中倉室模型來了解計(jì)算機(jī)病毒傳播的一般規(guī)律，并得到了大量的研究成果[1-2]。最典型的倉室模型是Kephart借鑒經(jīng)典的傳染病SIS模型建立了最早的計(jì)算機(jī)病毒傳播倉室模型，宣告計(jì)算機(jī)病毒傳播動力學(xué)的誕生。SIS模型則用來描述計(jì)算機(jī)康復(fù)后不具有免疫力再次被病毒感染的情況。大量的臨床研究發(fā)現(xiàn)，由于個(gè)體的免疫系統(tǒng)完善水平不同，對于相同的病毒，并不是每個(gè)個(gè)體感染后都能產(chǎn)生抵抗被該病毒再次感染的免疫力。因此 ，更合理的發(fā)生率應(yīng)該是非線性的。隨著研究的不斷深入，人們開始引入不同的非線性傳染率；如帶有非線性傳染率為βSqI的SIS傳染病毒模型；帶有非線性傳染率的的SIR或SIRS模型，帶有非線性傳染病毒βI（1+αIk-1）S的SIR模型，帶有非線性傳染率的的SEIV模型，帶有非線性傳染病毒的模型和帶有非線性傳染率的SIR模型；本文研究如下

S'（t）=？撰--μSI'（t）=-（μ+r+ε）IR'（t）=rI-μR（1）

其中S（t），I（t），R（t）分別表示在t時(shí)刻因特網(wǎng)中易感節(jié)點(diǎn)、感染節(jié)點(diǎn)，免疫節(jié)點(diǎn)所占的比例。設(shè)？撰表示單位時(shí)間內(nèi)新增加易感節(jié)點(diǎn)的數(shù)量，μ表示因故障等引起的宕機(jī)率，β表示平均有效接觸率，ε表示因病毒感染病引起的宕機(jī)率，r表示為感染節(jié)點(diǎn)到免疫節(jié)點(diǎn)的恢復(fù)系數(shù)。τ為時(shí)滯，即表示病毒的潛伏期，0

系統(tǒng)（1）滿足初始條件：

S（θ）=φ1（θ）；I（θ）=φ2（θ）；R（θ）=φ3（θ），φi（θ）≥0；θ∈[-τ，0]；（i=1，2，3）（2）

其中（φ1（θ），φ2（θ），φ3（θ））∈C（[-τ，0]，R3）， R3+={（x1，x2，x3）：xi≥0}。

引理1設(shè)（S（t），I（t），R（t））是系統(tǒng)（1）滿足初值條件（2）的解，對任意的t≥0時(shí)，都有（S（t）≥0，I（t）≥0，R（）≥0）。

令Ω={（S，I，R）：S≥0，I≥0，R≥0，S+I+R≤？撰}，則Ω是系統(tǒng)（1）的正向不變集。

1 平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性分析

顯然，系統(tǒng)（1）總存在未感染平衡點(diǎn)P0（，0，0），若β？撰e-δτ>μ（μ+r+ε）時(shí)，還有一個(gè)病毒平衡點(diǎn)P*（S*，I*，R*）.I*=；S*=；R*=.

令R0=為系統(tǒng)（1）的基本再生數(shù)。

在本節(jié)，通過討論系統(tǒng)（1）對應(yīng)的特征方程來討論平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性。

定理1：當(dāng)R0<1時(shí)，系統(tǒng)（1）的無病平衡點(diǎn)P0（，0，0）是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)R0>1時(shí)，系統(tǒng)（1）的無病平衡點(diǎn)P0是不穩(wěn)定的。

證明：系統(tǒng)（1）的無病平衡點(diǎn)P0的線性特征方程為（λ+μ）2（λ-βe-（δ+λ）+μ+r+ε）=0（3）

λ1=λ2=-μ，

λ3β？撰e-（δ+λ）τ-（μ+r+ε），

令方程f（λ）=λ-β？撰e-（δ+λ）τ+（μ+r+ε）（4）

由文獻(xiàn)[5]定理1當(dāng)R0<1時(shí)，系統(tǒng)（1）在P0處是局部漸近穩(wěn)定的。

若R0>1時(shí)，

f（0）=-e-δτ+（μ+r+ε）<0，而f（+∞）=+∞.

f（λ）在（0，+∞）上至少存在一個(gè)正實(shí)部。故當(dāng)R0>1時(shí)，系統(tǒng)（1）不穩(wěn)定的。

當(dāng)R0>1時(shí)，系統(tǒng)（1）在病毒平衡點(diǎn)P*處的特征方程為

λ3+a1λ2+a2λ+a3+（b1λ2+b2λ+b3）e-λτ=0（5）

其中：a1=3μ+ε+γ+；

b1=-

a2=3μ2+2με+2μγ+（2μ+ε+γ）

b2=-

a3=μ（μ+ε+γ）（μ+）；

b3=-；

當(dāng)τ=0時(shí)，有λ3+c1λ2+c2λ+c3=0.（6）

c1=（3μ+ε+γ）αI*+，

c2=

c3=I*；

此時(shí)有c1>0，c2>0，c3>0，

容易計(jì)算c1c2-c3>0.

因此，由Routh-Hurwitz判斷定理可知，平衡點(diǎn)P*局部漸近穩(wěn)定性的。

當(dāng)τ>0時(shí)，設(shè)λ=iω（ω>0）是方程（4）的一個(gè)根，分離實(shí)部與虛部，得

b2ωcos（ωτ）+（b1ω2-b3）sin（ωτ）=ω3-a2ω（b3-b1ω2）cos（ωτ）+b2ωsin（ωτ）=a1ω2-a3（7）

（7）式兩個(gè)平方和，得ω6+r1ω4+r2ω2+r3=0

其中：r1=a21-2a2-b21；

r2=a22-2a1a3+2b1b3-b22；r3=a23-b23；

令z=ω2，Δ=r21-3r2，

g（z）=z3+r1z2+r2z+r3（8）

定理2 若R0>1成立；

（1）當(dāng)τ=0時(shí)；

（2）當(dāng)τ>0時(shí)，r3>0且Δ≤0；

（3）當(dāng)τ>0時(shí)，r3<0；

則系統(tǒng)（1）在病毒平衡點(diǎn)P*是局部漸近穩(wěn)定的。

證明方法見文獻(xiàn)[6]。

2 平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

在這一節(jié)中，主要通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)， 利用Lyapunov-Lasalle不變集原理證明

系統(tǒng)（1）平衡點(diǎn)的全局平衡性。

定理3 若R0<1，則無病平衡點(diǎn)P0（，0，0）是全局漸近穩(wěn)定的。

證明：設(shè)（S，I，R）是系統(tǒng)（1）滿足初始條件（2）的任意正解。

令V（t）=（S-S0-S0ln）+eδτI+dθ

V'（t）=（1-）（？撰--μS）-eδτ（μ+r+ε）I+

=（？撰-μS）（1-）+eδτ（μ+r+ε）I（-1）

≤（？撰-μS）（1-）+eδτ（μ+r+ε）I（R0-1）

≤μ（-μS）（1-）+eδτ（μ+r+ε）I（R0-1）

≤0

即：V't≤0，由LaSalle不變原理可知，當(dāng)R0<1時(shí)，平衡點(diǎn)P0是全局漸近穩(wěn)定的，定理得證。

3 數(shù)值分析

為了驗(yàn)證上述理論分析的結(jié)果，本節(jié)給出一個(gè)仿真示例，系統(tǒng)（1）選取參數(shù)r=0.15；δ=0.45；ε=0.6；β=0.2；

α=0.15；？撰=10，μ=0.2此時(shí)R0=0.2876。當(dāng)時(shí)滯τ=0時(shí)。系統(tǒng)（1）變成常規(guī)的傳染病模型。此時(shí)系統(tǒng)S、I、R都瞬間上升，然后、隨著時(shí)間達(dá)到平衡位置如圖1。

當(dāng)τ=0，R0<1時(shí)S，I，R的運(yùn)動趨勢

當(dāng)時(shí)滯τ=8時(shí)，病毒有病毒引起的宕機(jī)率ε大于因故障而引起的宕機(jī)率μ。易感節(jié)點(diǎn)經(jīng)過潛伏期仍然然存活的數(shù)量e-δτ=0.0273，滿足要求。此時(shí)，易感病毒S數(shù)量急劇上升達(dá)到某個(gè)一個(gè)平衡位置，而I，R任然平衡在0點(diǎn)上，R0<1無病平衡點(diǎn)是全部漸近穩(wěn)定的。

當(dāng)R0<1，τ=8時(shí)S，I，R的運(yùn)動趨勢

4 結(jié)束語

本文主要研究的是一類具有非線性發(fā)生率和時(shí)滯的SIR計(jì)算機(jī)病毒模型，通過分析模型的基本再生數(shù)。通過Hurwitz判斷定理可知，分析了R0<1，R0>1時(shí)解是局部漸近的。通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，利用LaSalle不變原理，證明當(dāng)R0<1時(shí)，無病平衡點(diǎn)不僅局部穩(wěn)定的，且是全局漸近穩(wěn)定的。當(dāng)R0>1時(shí)，得到了地方平衡點(diǎn)穩(wěn)定的充分條件。最后，選取適當(dāng)?shù)臄?shù)值，通過MATLAB進(jìn)行數(shù)值模擬，進(jìn)一步驗(yàn)證了所得的主要結(jié)果。

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[責(zé)任編輯：朱麗娜]