加速特性對磁懸浮轉子瞬態(tài)響應的影響

杭州應用聲學研究所 俞思源浙江工業(yè)大學光伏電力與微網研究中心 胡雄心浙江機電職業(yè)技術學院 尤光輝

加速特性對磁懸浮轉子瞬態(tài)響應的影響

杭州應用聲學研究所 俞思源
浙江工業(yè)大學光伏電力與微網研究中心 胡雄心浙江機電職業(yè)技術學院 尤光輝

通過建立徑向磁懸浮軸承—Jeffcott轉子動力學模型，為磁懸浮轉子瞬態(tài)響應分析提供理論指導。并在SAMCEF ROTOR有限元分析軟件中建立Jeffcott轉子結構模型，定義轉子不平衡條件及磁懸浮軸承支撐參數，分析轉子在不同的加速度加速條件下的瞬態(tài)位移及模態(tài)變化規(guī)律。分析結果為電機加速方案的優(yōu)化奠定基礎。

磁軸承；模態(tài)分析；瞬態(tài)響應

0 前言

磁懸浮軸承具有一系列傳統(tǒng)軸承所無法比擬的優(yōu)點，尤其是在高速旋轉機械中，比傳統(tǒng)的滾動和滑動軸承更具優(yōu)勢。但是磁懸浮軸承轉子無論在電機、飛輪儲能等領域的應用中，都對其加速過程中的動態(tài)平衡和瞬態(tài)響應提出了高要求，良好的瞬態(tài)響應直接影響著磁懸浮轉子運轉的穩(wěn)定性。目前國內外大多數的研究者研究了磁懸浮轉子在工作轉速以及勻加速過程中由于受到不平衡載荷的作用產生的瞬態(tài)響應，并且將研究重點集中在這一過程中不平衡載荷的變化所帶來的影響。而忽略了飛輪轉子在不同的加速度加速過程中的瞬態(tài)響應。為此本文通過建立磁懸浮軸承轉子的數學模型及運用SAMCEF ROTOR有限元分析軟件研究加速特性對磁懸浮軸承轉子瞬態(tài)響應的影響。

1 磁懸浮軸承轉子動力學建模[1]

磁懸浮軸承轉子的應用領域一般都為超高速，轉速都跨越了轉子的一階或二階臨界轉速，成為柔性轉子。因此，對剛性轉子的動力學分析已經滿足不了要求。為了更好地分析轉子在超高轉速下的瞬態(tài)響應，本文建立柔性轉子模型進行分析。

Jeffcott轉子是一種典型的極為簡化的柔性轉子，也稱為Laval轉子[2]，見圖1。由于其結構特性，它非常適合用來模擬最基本的磁軸承柔性轉子模型，從而研究轉子的基本力學特性。

圖1 Jeffcott轉子模型

圖2 彈性軸段模型

1.1 轉子的運動方程的確立

在系統(tǒng)模態(tài)分析過程中，建立該系統(tǒng)的動力方程有助于從理論上研究其動力學特性。對于多自由度的運動而言，一般利用達朗貝爾定理、牛頓第二定律、哈密兒頓定理和Lagrange方程來建立系統(tǒng)的運動方程[3]。

公式()是一個N自由度線性系統(tǒng)運動微分方程，其中：[M]為系統(tǒng)的質量矩陣、[C]系統(tǒng)的阻尼矩陣、[K]為系統(tǒng)的剛度矩陣、{x(t)}為系統(tǒng)的廣義坐標矢量、{F(t)}為作用在系統(tǒng)上的廣義外力。

對所要研究的Jeffcott轉子系統(tǒng)而言，可以將其劃分為各自在結點處連接的三個部分：飛輪圓盤、轉軸和支撐軸承。在轉子系統(tǒng)運動方程的推到中，第一步需要建立飛輪圓盤、轉軸和轉子不平衡量的動能表達式，包括轉軸的勢能表達式。然后確立軸承的對轉子作用力的虛功表達式。最后根據Lagrange方程得到系統(tǒng)的運動方程[4]。

1.2 剛性圓盤的運動微分方程[5]

在轉子動力學中，通常用剛性飛輪圓盤的質量和轉動慣量信息集中質量點來模擬整個圓盤。剛性飛輪圓盤的軸心節(jié)點的位移向量

用廣義坐標來定義，得到其動能表達式。

其中md為剛性飛輪圓盤的質量。Jd和Jp分別為剛性飛輪圓盤的直徑和極轉動慣量。結合拉格朗日方程

原理得到：

其中qk為轉子系統(tǒng)廣義坐標，Qk為對應系統(tǒng)廣義坐標qk的廣義力。[Md]和Ω[J ]分別為飛輪剛性圓盤的質量矩陣和陀螺矩陣。

對應的廣義力{Qd}有兩種不同的情況，當圓盤處無支撐且忽略不平衡質量時，廣義力包括圓盤的受到的來自轉軸的作用力和力矩。當圓盤收到支撐約束時，還需將支撐處的束縛力和束縛力矩加入考慮。

1.3 彈性軸段的運動微分方程[4]

用鐵木辛柯梁單元來表示轉子轉軸的小段軸段見圖2。兩端節(jié)點的位移向量可根據梁單元的廣義坐標表示為：

其中xA、yA分別為A截面在x和y方向的位移。θxA、θYA分別為A截面在X和Y方向的轉角，xB、yB分別為B截面X和Y方向上的位移，θxB、θYB分別為B截面X和Y方向上的轉角。彈性小段軸的長度為l，設定軸上隨機截面與A截面之間的相互位移為s，該截面在X和Y的位移分別為為x和y，在X和Y方向的轉角為θx和θy。

用形函數[N]單元兩端節(jié)點位移向量來表示彈性軸小段任意截面的廣義位移向量。

根據初始條件，得到形函數為：

其中Z為截面在距軸段端部的距離，彈性小段軸的動能Ts和勢能V 分別為：

其中ρ為材料的密度，A為軸單元截面積，Id為軸段的直徑慣性矩，Ip為極慣性矩。EI為材料的抗彎剛度。ω為材料切面剪切校正因子。G為材料剪切模量。

根據Lagrange方程，根據推導出轉軸的運動微分方程：

其中{Qs}為轉軸軸段廣義力向量。[Ms]為移動和轉動慣量一致的質量矩陣。Ω[Js]為回轉矩陣。[Ks]為剛度矩陣。

因為彈性軸段的結構是軸對稱的，所以其回轉、質量和剛度矩陣可以表示為：分別為軸端單方向的移動慣性矩陣、轉動慣性矩陣、回轉矩陣和剛度矩陣。

其中

1.4 磁懸浮軸承的運動微分方程[4]

可以采用剛度阻尼單元來簡化轉子支承系統(tǒng)中的磁軸承，見圖3。設定軸承的坐標是xb、yb。序號s( j )為其對應的軸頸中心結點。軸頸中心的坐標為xs( j )、ys( j )，則軸頸結點處受到的廣義力為：為磁軸承的的阻尼矩陣和剛度矩陣。軸頸結點處的廣義力實質上是由磁軸承產生的支承力。當為各向同性磁軸承時，kxy= kyx、cxy= cyx，則式變?yōu)椋菏街校?/p>

圖3 簡化的磁軸承單元模型

圖4 SAMCEF中轉子模型

1.5 磁懸浮軸承支撐的轉子運動方程

通過前訴的分析得到了飛輪圓盤和轉軸的質量、剛度和陀螺矩陣。同時轉子受到的支承力為磁懸浮軸承作用在對應節(jié)點處的廣義力?，F在可以通過有限元法對磁軸承柔性轉子系統(tǒng)的動力學響應進行求解。綜合將各部分的質量、剛度和陀螺矩陣以及外力向量，則可得到磁懸浮軸承柔性轉子系統(tǒng)的總體運動微分方程。

[M]為系統(tǒng)質量矩陣，Ω[J ]為系統(tǒng)回轉矩陣，[K]為系統(tǒng)剛度矩陣。{Q}為轉子所受的廣義力，一般只包括軸承的支撐力和轉子不平衡激勵產生的廣義力。通過求解總體微分方程則可以得到各節(jié)點的動力學響應。

2 有限元仿真分析

本文主要目的是分析轉子在加速過程中，采用不同的加速度對轉子瞬態(tài)響應的影響。由于磁懸浮轉子受外界干擾較小，設定轉子的不平衡載荷主要由轉子本身的質量不均勻產生的質量偏心引起的，通過有限元仿真分析其瞬態(tài)響應[6][7]。

根據前面分析的Jeffcott轉子，在SAMCEF里建立轉子模型，如圖4所示。

在固定的支撐條件下，首先求得飛輪轉子前4階臨界轉速，見表1。

表1 飛輪轉子前4階臨界轉速(r/min)

設定轉子在加速過程中跨越前三階臨界轉速，速度由0r/min到10000r/min。為了使研究結果更準確，所設定的加速度變化范圍要足夠大。根據要求設計加速時間分別為5秒、10秒和20秒，意味著加速度分別為120000r/min2、60000r/min2和30000r/min2。

為了使位移瞬態(tài)響應結果更清晰，記錄轉子位移變化最大的軸端及飛輪中心的位移瞬態(tài)響應變化，得到圖5和圖6中所示的位移瞬態(tài)變化圖。

圖5 轉子軸端加速過程中位移瞬態(tài)響應

圖6 轉子中心加速過程中位移瞬態(tài)響應

從轉子軸端和轉子中心在不同加速度下加速過程中的位移瞬態(tài)響應來看，從總加速時間的12%左右時刻開始，轉子軸端和中心都出現位移瞬態(tài)變化。根據時間和速度比例關系，在各加速過程中12%左右的時間點轉子轉速正好達到一階臨界轉速。從圖中還可以看出轉子的最大瞬態(tài)位移發(fā)生在約65%的時間點，同樣根據時間和速度比例關系，可以知道這個時間點轉子轉速正好在第三節(jié)臨界轉速附近。其余轉速下位移瞬態(tài)響應比較平穩(wěn)。

對比轉子軸端和中心在不同加速度下位移響應的可以看出，隨著加速度減小，轉子軸端和中心處的位移變化幅度增大，在最大位移處變化最為明顯。圖7顯示了不同加速度下，轉子最大瞬態(tài)位移值以及相應的振型。

圖7 不同加速度下轉子最大位移響應與振型

從圖7的可以看出，在5s、10s和20s加速時轉子的最大位移分別為101.04mm、140.53mm和187.13mm。結合圖3-14和3-15的位移瞬態(tài)響應圖可以分析出，轉子在加速過程中，不同的加速度所產生的瞬態(tài)位移響應也不一樣。最大瞬態(tài)位移都會發(fā)生在彎曲臨界轉速附近。隨著加速度的減小，瞬態(tài)位移會變大，在跨越臨界轉速時，特別是跨越彎曲臨界轉速時，瞬態(tài)位移的會變更大。

3 結束語

本文研究了磁懸浮軸承轉子在加速過程中，不同加速度加速特性對其瞬態(tài)響應的影響。從理論模型和仿真結果可以得出：

(1)轉子在加速過程中，最大瞬態(tài)位移發(fā)生在彎曲臨界轉速附近。

(2)不同的加速度加速特性下轉子產生的瞬態(tài)位移響應不同。隨著加速度的減小，瞬態(tài)位移會變大，在跨越臨界轉速時，特別是跨越彎曲臨界轉速時，瞬態(tài)位移的會變更大。

根據此結論，可以根據轉子的臨界轉速結合電機加速特性，設計轉子的加速方案，使轉子具有更好的動態(tài)響應。其基本原則是在轉子跨越彎曲臨界轉速時，充分提高加速度，來減小轉子跨越彎曲臨界轉速時的最大位移和位移響應持續(xù)時間，從而降低振動損害風險，并且簡化磁軸承的控制難度。在轉子轉速處于非臨界轉速階段，可以減小加速度，從而減小電機功耗。此結論對磁懸浮軸承轉子的加速動態(tài)性能設計具有重要的指導作用。

[1]謝振宇,徐龍祥,李迎等．磁懸浮軸承轉子系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動態(tài)特性分析[J]．機械科學與技術,2004,23(7)．

[2]Seok-Myeong Jang,Un-Ho Lee．Design and analysis of thrust active[J]．magnetic bearing．JOURNAL OF APPLIED PHYSICS 103,07F122(2008)．

[3]王彥濤．分子泵磁軸承的模態(tài)辨識與試驗研究[D]．黑龍江:哈爾濱工業(yè)大學,2009．

[4]楊志軼．飛輪電池儲能關鍵技術研究[D]．安徽:合肥工業(yè)大學,2002．

[5]Lrich Schonhoff,Jihao Luo,Guoxin Li,etc．Implementation Result of u-synthesis Control for an Energy Storage Flywheel Test Rig[A]．Proceedings of the 7th International symposium on Magnetic Bearings．ETH zurich,Switzerland,August23-25,2000．

[6]張保強．磁軸承-轉子系統(tǒng)的有限元模型修正及相關問題研究[M]．江蘇:南京航空航天大學,2009．

[7]謝振宇,徐龍祥,李迎等．磁懸浮軸承轉子系統(tǒng)動態(tài)特性的實驗研究[J]．航空動力學報,2004,19(1),30-37．

The Effects of Acceleration Characteristic on The Transient Response of Magnetic Suspension Rotor

YU Si-yuan1,HU Xiong-xin2,YOU Guang-hui3（1.Hangzhou Applied Acoustics Research Institute，Hangzhou 310023，China；2.Photovoltaic Power and Micro-Grid Research Institute，Zhejiang
University of Technology，Hangzhou 310014,China；3.Zhejiang Institute of Mechanical & Electrical Engineering，Hangzhou 310053，China）

Establishing the rotor dynamics model of Jeffcott rotor as the theoretical guidance of transient response analysis of Magnetic Suspension Rotor.And making the structural model of Jeffcott Rotor by the finite element software named SAMCEF ROTOR.Then analyzing the transient displacement and modality variation regularity of the rotor under different acceleration conditions by def i ning the unbalanced condition and support parameters of magnetic bearing on the rotor.The analysis results lay a foundation for the acceleration program optimization of the motor.

magnetic bearing；modal analysis；transient response

俞思源（1988—），男，浙江杭州人，碩士研究生，主要從事水聲行業(yè)機械結構等相關方面的研究。