基于雙項(xiàng)約束的彈性阻抗分解方法研究

張豐麒，孔令武，賈連奇

（1．中國(guó)石油化工股份有限公司石油勘探開(kāi)發(fā)研究院，北京100083；2．中海油研究總院，北京100028；3．中科院地質(zhì)與地球物理研究所，北京100083）

基于雙項(xiàng)約束的彈性阻抗分解方法研究

張豐麒1，孔令武2，賈連奇3

（1．中國(guó)石油化工股份有限公司石油勘探開(kāi)發(fā)研究院，北京100083；2．中海油研究總院，北京100028；3．中科院地質(zhì)與地球物理研究所，北京100083）

當(dāng)存在噪聲時(shí)，常規(guī)彈性阻抗分解算法不穩(wěn)定，借助貝葉斯理論引入模型參數(shù)的先驗(yàn)分布作為彈性參數(shù)提取過(guò)程的正則化項(xiàng)，可以有效降低其不適定性。聯(lián)合一階差分矩陣和三變量柯西分布構(gòu)建更為合理的稀疏約束項(xiàng)，使得三參數(shù)反射率“尖脈沖化”，提高了層分界面的識(shí)別能力；與此同時(shí)，引入低頻軟約束項(xiàng)，可以有效降低彈性參數(shù)剖面的“門(mén)簾”現(xiàn)象，提高了其橫向連續(xù)性和光滑度。模型試算和實(shí)際數(shù)據(jù)測(cè)試驗(yàn)證了基于雙項(xiàng)約束的彈性阻抗分解方法具有較好的穩(wěn)定性和精度。

彈性阻抗分解；貝葉斯理論；三變量柯西分布；低頻軟約束項(xiàng)；“門(mén)簾”現(xiàn)象

彈性阻抗反演作為疊前彈性參數(shù)反演的一個(gè)重要分支，具有計(jì)算效率高、實(shí)現(xiàn)方便并且抗噪性較好的特點(diǎn)，由反演獲取的彈性阻抗體提取的彈性參數(shù)，可以定量表征儲(chǔ)層巖性或孔隙內(nèi)流體的變化。

自CONNOLLY［1］提出彈性阻抗的概念以來(lái)，人們對(duì)彈性阻抗反演進(jìn)行了廣泛和深入的研究。VERWEST［2］對(duì)彈性阻抗進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理消除了不同角度彈性阻抗之間的量綱差異；馬勁風(fēng)［3］對(duì)Zoeppritz方程進(jìn)行簡(jiǎn)化，推導(dǎo)出廣義彈性阻抗的表達(dá)式；王保麗等［4］借助Gray近似式推導(dǎo)出基于拉梅參數(shù)的彈性阻抗表達(dá)式，并直接提取了拉梅系數(shù)，提高了拉梅系數(shù)的反演精度；印興耀等［5］提出了流體彈性阻抗，通過(guò)該彈性阻抗表達(dá)式可以直接提取對(duì)流體變化更為敏感的Gassmann流體項(xiàng)；宗兆云等［6］重新推導(dǎo)Aki－Richards近似式，給出了基于縱橫波模量的AVO近似式，并推導(dǎo)了基于縱橫波模量的彈性阻抗表達(dá)式；劉曉晶等［7］通過(guò)基追蹤反演獲取彈性阻抗，隨后利用f－μ彈性阻抗表達(dá)式提取Gassmann流體項(xiàng)和剪切模量。

前人的研究大都集中在重新推導(dǎo)彈性阻抗表達(dá)式，然而彈性阻抗分解也同樣至關(guān)重要。本文針對(duì)基于最小二乘原理的傳統(tǒng)彈性阻抗分解方法在地震數(shù)據(jù)含有噪聲時(shí)無(wú)法提取穩(wěn)定的彈性參數(shù)這一問(wèn)題，借助貝葉斯理論引入模型參數(shù)的先驗(yàn)分布構(gòu)建正則化項(xiàng)，提高彈性阻抗分解的穩(wěn)定性。通過(guò)聯(lián)立三變量柯西分布和一階差分矩陣來(lái)描述模型參數(shù)的先驗(yàn)分布，構(gòu)建更為合理的稀疏約束項(xiàng)，并引入低頻軟約束項(xiàng)來(lái)進(jìn)一步穩(wěn)定彈性參數(shù)的低頻成分，消除反演剖面上的“門(mén)簾”效應(yīng)。模型試算和實(shí)際數(shù)據(jù)測(cè)試結(jié)果表明，基于雙項(xiàng)約束的彈性阻抗分解方法提取的彈性參數(shù)在垂向上具有較高的分辨率，橫向上具有較強(qiáng)的連續(xù)性。

1 方法原理

以CONNOLLY［1］提出的標(biāo)準(zhǔn)彈性阻抗表達(dá)式為基礎(chǔ)，考慮到不同入射角的彈性阻抗量綱不一致，因此標(biāo)準(zhǔn)化后的彈性阻抗表達(dá)式為：

其中，

式中：mean（＊）表示對(duì)“＊”求平均；θ表示入射角。利用對(duì)數(shù)將（1）式由乘積形式轉(zhuǎn)換為加法形式：

考慮到N個(gè)時(shí)間采樣點(diǎn)，需要M≥3個(gè)角度的標(biāo)準(zhǔn)化彈性阻抗才能采用如下方程組提取彈性參數(shù)vP，vS，ρ：

其中，

為了后續(xù)表達(dá)方便，（3）式可以簡(jiǎn)化為：

其中，

在不考慮隨機(jī)噪聲的情況下，直接利用最小二乘算法便可以提取彈性參數(shù)：

然而將（5）式直接應(yīng)用于含噪聲模型或?qū)嶋H數(shù)據(jù)時(shí)，提取的彈性參數(shù)不穩(wěn)定。主要原因是GTG的特征值矩陣中包含非常小的特征值元素，隨機(jī)噪聲的存在會(huì)擴(kuò)大彈性參數(shù)提取的誤差。

針對(duì)上述問(wèn)題，可以利用阻尼最小二乘算法，即在GTG矩陣的對(duì)角線加上一個(gè)阻尼項(xiàng)，可以提高彈性阻抗分解的穩(wěn)定性；另外還可以借助貝葉斯方法，通過(guò)描述模型參數(shù)的先驗(yàn)分布，引入更為合理的先驗(yàn)約束項(xiàng)，進(jìn)而將提取彈性參數(shù)的過(guò)程轉(zhuǎn)化為求取彈性參數(shù)的最大后驗(yàn)概率解。先驗(yàn)約束的引入，可以有效提高彈性參數(shù)提取的穩(wěn)定性和精度。

模型參數(shù)的先驗(yàn)分布分為高斯分布和長(zhǎng)尾巴分布兩種。高斯分布對(duì)應(yīng)一致性加權(quán)矩陣，其本質(zhì)是阻尼最小二乘解對(duì)應(yīng)的阻尼系數(shù)項(xiàng)在參數(shù)提取過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生一個(gè)相對(duì)平滑的結(jié)果。這樣就會(huì)造成彈性參數(shù)的垂向分辨率略低于彈性阻抗的垂向分辨率。

考慮到彈性參數(shù)提取過(guò)程的模型參數(shù)是三參數(shù)自然對(duì)數(shù)而非三參數(shù)反射率，因此直接假設(shè)其服從長(zhǎng)尾巴分布也不能達(dá)到提高分辨率的目的，這是因?yàn)榉且恢滦约訖?quán)矩陣會(huì)對(duì)偏離背景值較大的彈性參數(shù)產(chǎn)生較小的加權(quán)系數(shù)，對(duì)偏離背景值較小的彈性參數(shù)產(chǎn)生較大的加權(quán)系數(shù)，這樣就會(huì)凸顯偏離背景值較大的彈性參數(shù)，并壓制偏離背景值較小的彈性參數(shù)，而并不是產(chǎn)生“塊化”效果，因此理論上也無(wú)法達(dá)到提高分辨率的目的。

但是考慮到模型參數(shù)和三參數(shù)反射率存在如下近似：

式中：i表示第i個(gè)采樣點(diǎn)。

同理可推導(dǎo)出vS，ρ。（6）式說(shuō)明可以利用模型參數(shù)的一階差分近似表征三參數(shù)反射率。在此基礎(chǔ)上，假設(shè)其服從長(zhǎng)尾巴分布，便可以達(dá)到提高分辨率的目的。同時(shí)在考慮地質(zhì)背景的情況下，同一時(shí)間采樣點(diǎn)的三參數(shù)反射率并非獨(dú)立，因此選擇三變量柯西分布更為合適。

考慮N個(gè)時(shí)間采樣點(diǎn)的情況下，三參數(shù)反射率的聯(lián)合先驗(yàn)分布為：

式中：ψ表示尺度矩陣，可以利用最大期望（EM）算法從測(cè)井曲線中獲??；φi的具體表達(dá)式見(jiàn)文獻(xiàn)［8］；r＝為三參數(shù)反射率。

利用一階差分矩陣D建立模型參數(shù)m和三參數(shù)反射率r的關(guān)系：

其中，

考慮到地震數(shù)據(jù)中的隨機(jī)噪聲會(huì)傳遞到彈性阻抗反演結(jié)果中，而且從彈性參數(shù)到彈性阻抗的正演過(guò)程不精確，其似然函數(shù)可以用多變量高斯分布表示：

因此（7）式可以改寫(xiě)為：

式中：Cd表示噪聲的協(xié)方差矩陣。

結(jié)合貝葉斯定理，在考慮彈性阻抗的先驗(yàn)分布P（d）為常數(shù)的情況下：

因此：

對(duì)公式（13）兩邊取對(duì)數(shù)，將求模型參數(shù)后驗(yàn)概率極大值轉(zhuǎn)換為求目標(biāo)函數(shù)極小值的過(guò)程，得到：

（14）式右邊第一項(xiàng)控制彈性參數(shù)提取的精度，第二項(xiàng)為彈性參數(shù)提取的正則化項(xiàng)，μ表示超參數(shù)，控制彈性參數(shù)提取的“塊化”效果，μ越大，彈性參數(shù)“塊化”效果越明顯，相反提取的彈性參數(shù)將出現(xiàn)明顯的帶限效果。

然而直接利用（14）式提取彈性參數(shù)時(shí)，會(huì)在一定程度上破壞其低頻成分，表現(xiàn)在彈性參數(shù)剖面上就會(huì)出現(xiàn)明顯的“門(mén)簾”效應(yīng)（由低頻成分不準(zhǔn)確引起的反演剖面橫向不連續(xù)、數(shù)條類(lèi)似門(mén)簾的現(xiàn)象）。

在（14）式右邊引入低頻軟約束項(xiàng)，使提取的彈性參數(shù)的低頻成分逼近測(cè)井曲線的低頻成分，確保彈性參數(shù)提取過(guò)程中低頻成分準(zhǔn)確，因此：

其中，

式中：λP，λS和λρ分別表示縱波速度、橫波速度和密度的低頻軟約束權(quán)重系數(shù)；LP，LS，Lρ分別代表對(duì)模型參數(shù)中的ln（vP／vP0）T，ln（vS／vS0）T，ln（ρ／ρ0）T起作用的低通濾波矩陣，其具體表達(dá)式見(jiàn)附錄 A。mP＿Trend，mS＿Trend，mρ＿Trend分別代表ln（vP／vP0）T，ln（vS／vS0）T，ln（ρ／ρ0）T的低頻成分。對(duì)（15）式兩邊求導(dǎo)并令其為0：

其中，

式中：［＊］xy表示取矩陣“＊”第x行、第y列元素。由于非一致性加權(quán)矩陣Q中包含了待求解參數(shù)m，因此，需采用迭代重加權(quán)最小二乘算法迭代求解m。

2 模型試算

為了檢驗(yàn)本文算法的有效性和精度，進(jìn)行如下模型試算。在模型試算中，利用如下反演目標(biāo)函數(shù)來(lái)分別獲取各個(gè)角度的彈性阻抗：

式中：r（θ）為角度反射系數(shù)；S（θ）表示入射角為θ的角度疊加數(shù)據(jù)；W（θ）表示角度子波；σr（θ）表示角度反射系數(shù)的均方差。

（19）式右邊由3部分組成，分別是地震數(shù)據(jù)擬合差、基于單變量柯西分布先驗(yàn)約束的反射系數(shù)稀疏約束項(xiàng)以及低頻軟約束項(xiàng)。公式（15）中也有低頻軟約束項(xiàng)，但是意義和目的卻不相同：（19）式中的低頻軟約束項(xiàng)是為了在彈性阻抗反演過(guò)程中融合測(cè)井的低頻成分，因?yàn)榈卣鹳Y料中缺失0～10Hz的低頻分量，因此意義在于補(bǔ)充低頻成分；而在彈性阻抗分解提取彈性參數(shù)階段，彈性阻抗的低頻成分已經(jīng)融合了測(cè)井低頻成分，所以低頻成分在理論上應(yīng)該正確，但是三變量柯西約束項(xiàng)會(huì)在一定程度上破壞該低頻成分，因此其意義在于修正和穩(wěn)定低頻成分。

由于彈性阻抗反演的模型參數(shù)是r（θ），因此表達(dá)式也略有不同，需要引入積分矩陣，將角度反射系數(shù)通過(guò)積分轉(zhuǎn)化為彈性阻抗。

式中：λ表示彈性阻抗低頻軟約束權(quán)重系數(shù)；C表示積分矩陣。

式中：EIi（θ），i＝1，2，…，N，表示第i個(gè)采樣點(diǎn)的彈性阻抗；smooth（＊）表示對(duì)“＊”進(jìn)行低通濾波，取其低頻成分。

采用圖1所示的彈性參數(shù)模型結(jié)合Zoeppritz方程計(jì)算角度反射系數(shù)并和角度子波褶積得到合成角道集（圖2a），其中角度子波均為30Hz的雷克子波，其反射角分別是10°，20°和30°。為了檢驗(yàn)本文算法的抗噪性，在合成角道集中加入了信噪比為2的隨機(jī)噪聲（圖2b）。

圖1 彈性參數(shù)模型

圖2 不含噪（a）和信噪比為2（b）的合成角道集

圖3 彈性阻抗反演結(jié)果

圖4 基于雙項(xiàng)約束的彈性參數(shù)提取結(jié)果

對(duì)圖2a所示角道集采用公式（19）進(jìn)行彈性阻抗反演，結(jié)果如圖3所示?？梢钥闯觯瑥椥宰杩沟姆囱萁Y(jié)果非常精確。在此基礎(chǔ)上，利用基于雙項(xiàng)約束的彈性阻抗分解方法提取彈性參數(shù)。圖4給出了提取的彈性參數(shù)結(jié)果，其中黑實(shí)線代表模型數(shù)據(jù)，紅實(shí)線代表反演結(jié)果，從兩者的對(duì)比可以看出，提取的彈性參數(shù)與模型的吻合度相對(duì)較好。為了檢驗(yàn)提取的彈性參數(shù)低頻成分的準(zhǔn)確性，圖4中用黑虛線和藍(lán)虛線分別表示模型的低頻成分和提取彈性參數(shù)的低頻成分，可以看出兩者基本重合，說(shuō)明獲取的低頻成分完全正確。圖5給出了僅基于三變量柯西約束的彈性阻抗分解方法提取的彈性參數(shù)，可以看出黑虛線和藍(lán)虛線已不再重合，說(shuō)明僅利用三變量柯西約束項(xiàng)時(shí)會(huì)在一定程度上破壞低頻成分。圖6和圖7分別給出了迭代1次和迭代5次提取的三參數(shù)反射率與模型的對(duì)比?？梢钥闯?，隨著迭代次數(shù)的增加，三變量柯西約束在迭代過(guò)程中會(huì)使得三參數(shù)反射率逐漸“尖脈沖化”，相應(yīng)的彈性參數(shù)也就逐漸“塊化”。

圖5 僅基于三變量柯西約束的彈性參數(shù)提取結(jié)果

圖6 迭代1次提取的彈性參數(shù)反射率與模型數(shù)據(jù)

圖7 迭代5次提取的彈性參數(shù)反射率與模型數(shù)據(jù)

圖8 含噪聲合成角道集的彈性阻抗反演結(jié)果

圖8給出了含噪聲合成角道集的彈性阻抗反演結(jié)果。在此基礎(chǔ)上，圖9給出了彈性參數(shù)的提取結(jié)果。對(duì)比模型與反演結(jié)果可以看出，彈性阻抗的反演結(jié)果和后續(xù)提取的彈性參數(shù)與井曲線吻合度均較好，說(shuō)明了本文的彈性阻抗反演算法的抗噪性較好。

圖9 含噪聲合成角道集的彈性參數(shù)提取結(jié)果

3 實(shí)際資料試算

實(shí)際資料選自海上某工區(qū)，目的層為薄互層砂泥巖儲(chǔ)層。經(jīng)過(guò)前期真振幅處理后，對(duì)共反射角道集進(jìn)行角度部分疊加，分別形成小角度、中角度和大角度部分疊加剖面，如圖10到圖12所示。根據(jù)目標(biāo)函數(shù)公式（19），角度反射系數(shù)的先驗(yàn)分布——單變量柯西分布對(duì)應(yīng)的尺度參數(shù)σ利用EM算法從井曲線中計(jì)算獲取，低頻軟約束項(xiàng)中的彈性阻抗低頻趨勢(shì)通過(guò)對(duì)井曲線計(jì)算的彈性阻抗進(jìn)行10Hz的低通濾波獲取。

經(jīng)過(guò)井震標(biāo)定，并提取角度子波后，分別反演獲得3個(gè)角度的彈性阻抗，其結(jié)果如圖13到圖15所示。對(duì)圖13到圖15的結(jié)果進(jìn)行僅基于三變量柯西分布約束的彈性阻抗分解，提取的彈性參數(shù)如圖16到圖18所示。可以看出，單項(xiàng)約束無(wú)法保證提取的彈性參數(shù)剖面橫向連續(xù)，P波速度、S波速度以及密度剖面均出現(xiàn)了較為明顯的豎條紋——“門(mén)簾”現(xiàn)象。圖19，圖20，圖21給出了基于雙項(xiàng)約束提取的彈性參數(shù)，由于低頻軟約束項(xiàng)的引入，消除了圖16到圖18中的豎條紋，剖面的橫向連續(xù)性得到了有效增強(qiáng)。

圖10 小角度部分疊加剖面

圖11 中角度部分疊加剖面

圖12 大角度部分疊加剖面

圖13 小角度彈性阻抗

圖14 中角度彈性阻抗

利用縱橫波速度比和P波阻抗交會(huì)圖可以識(shí)別儲(chǔ)層巖性或含油氣性，因此解釋人員更為關(guān)心縱橫波速度比的反演結(jié)果。該參數(shù)反演的精度，可以作為疊前反演算法穩(wěn)健性的一個(gè)重要指標(biāo)。圖22給出了縱橫波速度比的反演結(jié)果，從剖面上看，橫向變化連續(xù)且豐富，可有效揭示儲(chǔ)層的巖性和含油氣性變化。

圖15 大角度彈性阻抗

圖16 僅基于柯西分布約束的P波速度提取結(jié)果

圖17 僅基于柯西分布約束的S波速度提取結(jié)果

圖18 僅基于柯西分布約束的密度提取結(jié)果

為了進(jìn)一步對(duì)比井曲線和反演結(jié)果，圖23和圖24分別給出了未參與反演的A井井旁道彈性阻抗與彈性參數(shù)反演結(jié)果與井曲線的對(duì)比，其中黑線為經(jīng)過(guò)250Hz Backus濾波后，再重采樣到時(shí)間域的井曲線，紅線則表示井旁道反演結(jié)果。可以看出，井旁道彈性阻抗和彈性參數(shù)的反演結(jié)果與井曲線吻合度均較高，可以較為有效地揭示地下儲(chǔ)層彈性參數(shù)的垂向變化，說(shuō)明了該彈性阻抗反演算法精度較高。

圖19 基于雙項(xiàng)約束的P波速度提取結(jié)果

圖20 基于雙項(xiàng)約束的S波速度提取結(jié)果

圖21 基于雙項(xiàng)約束的密度提取結(jié)果

圖22 基于雙項(xiàng)約束的縱橫波速度比提取結(jié)果

圖23 井旁道彈性阻抗反演結(jié)果（紅線）與測(cè)井曲線（黑線）對(duì)比

圖24 井旁道彈性參數(shù)提取結(jié)果（紅線）與測(cè)井曲線（黑線）對(duì)比

4 結(jié)論

針對(duì)常規(guī)彈性阻抗分解算法在存在噪聲時(shí)不穩(wěn)定這一問(wèn)題，本文介紹了利用雙項(xiàng)約束來(lái)穩(wěn)定彈性阻抗分解，提高了彈性參數(shù)提取過(guò)程的魯棒性。

三變量柯西約束項(xiàng)為稀疏約束項(xiàng)，通過(guò)結(jié)合一階差分矩陣將模型參數(shù)轉(zhuǎn)換至三參數(shù)反射率，利用迭代算法可以有效“尖脈沖”化三參數(shù)反射率，提高巖性分界面的識(shí)別能力。

低頻軟約束項(xiàng)通過(guò)使得反演低頻逼近測(cè)井低頻來(lái)恢復(fù)和穩(wěn)定三參數(shù)的低頻趨勢(shì)，可以有效消除彈性參數(shù)剖面的“門(mén)簾”現(xiàn)象，使之橫向更加連續(xù)，因此具有明確的地質(zhì)意義。

模型測(cè)試和實(shí)際數(shù)據(jù)應(yīng)用表明，基于雙項(xiàng)約束的彈性阻抗分解算法具有較高的穩(wěn)定性和精度。但是低頻軟約束項(xiàng)是借助離散傅里葉變換實(shí)現(xiàn)低通濾波的矩陣表達(dá)，因此計(jì)算效率不高，需進(jìn)一步優(yōu)化算法。

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附錄A

低頻軟約束項(xiàng)中的低通濾波矩陣L的具體表達(dá)式為：

（A1）式中E矩陣起到將模型參數(shù)進(jìn)行3倍延長(zhǎng)的作用?？紤]到反演目的層段時(shí)窗過(guò)短會(huì)引起頻率域的分辨率不夠，或者由于數(shù)據(jù)兩端的截?cái)嘈?yīng)會(huì)引起低通濾波結(jié)果不準(zhǔn)確，該矩陣可以使得數(shù)據(jù)兩端各以原數(shù)據(jù)的倒序進(jìn)行延長(zhǎng)，E矩陣的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

F和F－1分別為DFT正、反變換矩陣，起到將數(shù)據(jù)進(jìn)行傅里葉正、反變換的作用。

（A3）式和（A4）式中的W＝cos（－2π／N）＋jsin（－2π／N）。而（A1）式中的Λ矩陣為由漢寧窗函數(shù)組成的對(duì)角陣。

（編輯：陳 杰）

Study on the decomposition of elastic impedance with two－term constraint

ZHANG Fengqi1，KONG Lingwu2，JIA Lianqi3
（1．Sinopec Petroleum Exploration and Production Research Institute，Beijing100083，China；2．CNOOC Research Institute，Beijing100028，China；3．Institute of Geology and Geophysics，Chinese Academy of Sciences，Beijing100083，China）

In the presence of the noise，the conventional method for decomposition of elastic impedance is not stable．In Bayesian framework，we can improve the stability of elastic impedance decomposition by introducing the regularization term．By combining the first－order differential matrix and trivariate Cauchy distribution，we can build a more reasonable sparse constraint item and obtain a high resolution reflectivity characterized by the three－parameter，thus improve the recognition of layer interfaces．At the same time，introduced low frequency soft constraint can reduce the“curtain”effect，which make the extracted elastic parameter sections smooth in the horizontal direction．The test results of synthetic and real data show that the method for decomposition of elastic impedance with two－term constraint is provided with high stability and accuracy．

elastic impedance decomposition，Bayesian framework，trivariate Cauchy distribution，low frequency soft constraint，the“curtain”effect

P631

A

1000－1441（2017）03－0424－15

10．3969／j．issn．1000－1441．2017．03．013

張豐麒，孔令武，賈連奇．基于雙項(xiàng)約束的彈性阻抗分解方法研究［J］．石油物探，2017，56（3）：424－438

ZHANG Fengqi，KONG Lingwu，JIA Lianqi．Study on the decomposition of elastic impedance with two－term constraint［J］．Geophysical Prospecting for Petroleum，2017，56（3）：424－438

2016－05－08；改回日期：2016－08－01。

張豐麒（1985—），男，博士，主要從事疊前地震反演研究。

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（41502148）資助。

This research is financially supported by the National Natural Science Foundation of China（Grant No．41502148）．