水平荷載作用下單樁的虛擬樁解法及參數(shù)

摘要：根據(jù)Muki & Sternberg的虛擬樁方法，將水平荷載作用下單樁的問(wèn)題分解為彈性半空間擴(kuò)展土和一根虛擬樁的疊加，其中虛擬樁的彈性模量等于樁的彈性模量與土的彈性模量之差?；谒轿灰茀f(xié)調(diào)條件推導(dǎo)出求解樁土間相互作用所需要的第二類Fredholm積分方程，通過(guò)廣義胡可定律推導(dǎo)出該積分方程間斷點(diǎn)的顯式解，從而提高了Fredholm積分方程的數(shù)值計(jì)算精度并簡(jiǎn)化了計(jì)算程序的編寫，根據(jù)Mindlin解推導(dǎo)出位移影響函數(shù)，簡(jiǎn)化了位移函數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程。參數(shù)分析表明，樁土彈性模量比對(duì)單位水平力作用下樁身最大彎矩的位置有明顯的影響，隨著樁剛度的增加，樁身最大彎矩的位置隨之加深。

關(guān)鍵詞：水平荷載；虛擬樁；積分方程；間斷點(diǎn)；參數(shù)分析

中圖分類號(hào)：TU470文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：16744764（2017）03011507

Abstract：Following the technique proposed by Muki and Sternberg， the problem is decomposed into an extended soil mass and a fictitious pile characterized respectively by Youngs modulus of the soil and that of the difference between the pile and soil. A Fredholm integral equation of the second kind is established which imposes the displacement compatibility condition. According to the generalized Hooke's law， the explicit solutions for the discontinuous point of the integral equation is derived， which improves the numerical accuracy and simplifies the calculation procedure. Based on the Mindlin's solution， the displacement influence function is derived which is simple. The results show that the pilesoil stiffness ratios have obvious influence on the position of the maximum bending moment for the pile under unit shear. With the increase of the pile stiffness， the position of the maximum bending moment of the pile is deeper.

Keywords：laterally loaded； fictitious pile； integral equation； discontinuous point； parametric analysis

隨著國(guó)民經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，建設(shè)了大量的高層建筑、橋梁和海上平臺(tái)，樁基是這些工程結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)的主要形式。但已有的研究成果主要集中在樁基承受豎向荷載時(shí)的工作性能，而對(duì)水平向荷載作用下樁基的工作研究相對(duì)要少一些。樁基除了受到豎向荷載以外，還受到來(lái)自水平方向的荷載，如由于結(jié)構(gòu)物自重和使用荷載的偏心而產(chǎn)生的彎矩；交通工具制動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的水平力和彎矩；風(fēng)、波浪、潮水等產(chǎn)生的水平力和彎矩。

近年來(lái)，不少學(xué)者對(duì)水平荷載作用下單樁和群樁進(jìn)行了研究，Jiang等[1]、Jeong等[2]和Su等[3]采用荷載位移曲線（py曲線法）研究樁土相互作用，Conte等[4]和Sánchez等[5]采用有限單元法研究樁與土相互作用，土為彈性連續(xù)體，樁為彈性梁。Kim等[6]、Georgiadis等[7]和Kavitha等[8]采用有限單元和py曲線相結(jié)合的方法研究水平荷載作用下樁的工程性狀。有限單元法克服了py曲線法只能用不連續(xù)的地基反力系數(shù)這一模型參數(shù)來(lái)描述土體變形性質(zhì)的缺點(diǎn)，但有限單元法由于計(jì)算量大而不適用于大規(guī)模群樁的計(jì)算。

彈性理論法通過(guò)引入彈性模量和泊松比這兩個(gè)土體的基本參數(shù)把地基土體視為彈性連續(xù)體。Spillers等[9]利用彈性理論法對(duì)水平荷載作用下的單樁進(jìn)行了研究。Poulos[1012]也根據(jù)彈性理論法分別對(duì)水平受荷單樁、群樁、嵌巖樁進(jìn)行了研究。Poulos假定三維的樁通過(guò)高度為樁長(zhǎng)，寬度為樁寬的二維矩形截面與土相互作用，按照梁的彎曲理論進(jìn)行計(jì)算，對(duì)矩形截面進(jìn)行離散，根據(jù)樁土的變形協(xié)調(diào)條件就可以得到樁土共同作用的控制方程。Bipin等[13]采用一種新的彈性理論方法，基于虛功原理考慮樁與土的相互作用。Muki等[14]提出的虛擬樁模型由于能夠考慮樁土分離以后在原樁所在位置留下的孔洞，相對(duì)以上彈性理論方法計(jì)算結(jié)果更加準(zhǔn)確 [15]。陸建飛等[16]基于虛擬樁模型對(duì)層狀地基中單樁進(jìn)行了理論分析。Pak[17]基于Muki[14]提出的虛擬樁模型建立了求解均質(zhì)地基中水平荷載作用下單樁的Fredholm積分方程，Chen等[18]基于Pak的單樁分析，建立了求解兩等長(zhǎng)樁位移相互作用系數(shù)的虛擬樁模型，梁發(fā)云等[19]進(jìn)一步建立了群樁的相互作用系數(shù)解法。

由于以上求解樁土相互作用的Fredholm積分方程中的間斷點(diǎn)都未能給出顯式解，因而計(jì)算精度不易控制；根據(jù)Muki[20]求解彈性非軸對(duì)稱問(wèn)題的位移函數(shù)法推導(dǎo)出位移影響函數(shù)（z，ξ），推導(dǎo)過(guò)程相對(duì)復(fù)雜[1719]。為此，本文通過(guò)廣義胡可定律推導(dǎo)出了Pak方法求解水平荷載作用下樁的彎矩、位移和斜度的Fredholm積分方程的間斷點(diǎn)的解析解，并簡(jiǎn)化了位移函數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程，本文基于Mindlin[21]解推導(dǎo)出位移函數(shù)（z，ξ）。

1單樁的積分方程解法

1.1Fredholm積分方程的建立

樁與土之間的相互作用，不僅與土的力學(xué)性質(zhì)有關(guān)，更重要的是與樁的受力方式有關(guān)。Muki等[14，22]把樁視為一維連續(xù)彈性體，解決了樁在豎向荷載作用下樁土相互作用的問(wèn)題。

如圖1所示，彈性半空間土體中水平向受荷樁的半徑為a，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，樁體的橫截面積為A，樁頂受到作用在xoy平面內(nèi)的水平剪力V（0）和彎矩M（0）。與Muki等[14]文中一樣，通過(guò)引入虛擬樁B來(lái)考慮樁與土之間的相互作用。虛擬樁的彈性模量E為E=Ep-Es（1）式中：下標(biāo)p和s分別表示樁和半空間擴(kuò)展土。認(rèn)為土是半無(wú)限連續(xù)彈性體，樁是三維連續(xù)彈性結(jié)構(gòu)。

2算例驗(yàn)證及參數(shù)分析

2.1算例驗(yàn)證

2.1.1分段數(shù)對(duì)精度的影響為了確定樁身分段數(shù)對(duì)樁頂位移計(jì)算精度的影響，圖3給出了僅受水平力的樁頂位移與樁體分段數(shù)之間的關(guān)系，樁體分段數(shù)表示為n=δL/d式中：δ為單位樁長(zhǎng)L/d的分段數(shù)。計(jì)算中取不同的樁土模量比（Ep/Es=10、100、10 000）、樁長(zhǎng)細(xì)比（L/d=80、100）、土的泊松比（μs=0.15、0.25、049）情況下，考察單位樁長(zhǎng)分段數(shù)δ對(duì)僅受水平力的樁頂自由樁的位移計(jì)算精度的影響。

比較圖3（a）、（b）可以發(fā)現(xiàn)，圖中所示各種情況下數(shù)值計(jì)算結(jié)果呈現(xiàn)出相同的規(guī)律，樁長(zhǎng)細(xì)比、地基土泊松比和樁土彈性模量比均對(duì)數(shù)值計(jì)算精度的影響不明顯，其中，樁長(zhǎng)細(xì)比對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響規(guī)律與曹明等[25]的豎向荷載作用下的分析結(jié)果一致，即樁長(zhǎng)細(xì)對(duì)數(shù)值計(jì)算精度沒(méi)有明顯的影響。

綜合以上分析以及曹明等[25]的分析結(jié)果，當(dāng)樁的分段數(shù)δ≥3時(shí)，數(shù)值結(jié)果已經(jīng)穩(wěn)定。雖然樁體分段數(shù)越多，計(jì)算精度越高，但隨著計(jì)算精度的提高，計(jì)算耗時(shí)也在增加。如果求解的第二類Fredholm積分方程中的間斷點(diǎn)沒(méi)有顯式解，數(shù)值求解中為了逼近精確解，需要無(wú)限在間斷點(diǎn)處增加樁的分段數(shù)。

2.1.2與Pak計(jì)算結(jié)果的比較為了驗(yàn)證本文水平荷載作用下單樁工程性狀計(jì)算方法的正確性，下面與Pak的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。計(jì)算參數(shù)為：泊松比為μs=0.25，樁土彈性模量比分別為Ep/Es=1 000、5 000，樁長(zhǎng)細(xì)比L/a=50。

從圖4可以看出，兩種計(jì)算方法所得計(jì)算結(jié)果數(shù)值大小基本一致，說(shuō)明本文單樁的工程性狀的計(jì)算方法是正確的，同時(shí)，也驗(yàn)證了本文計(jì)算程序的正確性。

3.2參數(shù)分析

為了考察單樁分別在單位水平力作用下和單位彎矩荷載作用下的工程性狀，對(duì)影響樁身彎矩分布、樁身位移分布和樁身斜度分布的樁長(zhǎng)細(xì)比、樁土彈性模量比參數(shù)進(jìn)行了系統(tǒng)的分析。土的泊松比為μs=0.3，樁土彈性模量比分別為Ep/Es=100、1 000、5 000和10 000，樁長(zhǎng)細(xì)比為L(zhǎng)/a=40。

1）單位水平力從圖5可以看出，樁身的彎矩沿樁的埋深，先增加，再減小，具體有如下分布規(guī)律：

樁土彈性模量比對(duì)樁身最大彎矩的位置有明顯的影響，隨著樁剛度的增加，樁身最大彎矩的位置在加深。另外，當(dāng)樁頂自由樁樁頂作用單位水平荷載時(shí)，樁的剛度越大，樁身的最大彎矩值也越大。

樁身的最大位移和最大斜度位置都在樁頂，隨著樁的埋深增加，樁身的位移和斜度逐漸減小，樁土彈性模量比對(duì)樁頂位移和斜度值大小都有明顯的影響，樁的剛度越大，樁頂位移和斜度值絕對(duì)值越小。相反，樁的剛度越大，樁身的位移和斜度為零的位置越深。

2）單位彎矩從圖6可以看出，樁頂自由樁在樁頂單位彎矩作用下，樁身的彎矩沿樁的埋深，由樁頂?shù)膯挝粡澗販p小到樁底彎矩等于零。樁土彈性模量比對(duì)樁身彎矩的分布有明顯的影響，樁身剛度越大，樁身彎矩從單位彎矩減小到0的位置越深。如果彎矩為零的位置不在樁底，在該位置的下部會(huì)出現(xiàn)負(fù)彎矩，如圖6（a）中樁土彈性模量比Ep/Es=100，在樁埋深L/a=8的位置，樁身彎矩減小為0，在樁埋深L/a=8以下位置出現(xiàn)了負(fù)彎矩。

與樁頂作用單位水平荷載樁身斜度分布規(guī)律一樣，樁頂作用單位彎矩荷載時(shí)，樁身的最大位移和最大斜度位置也在樁頂，隨著樁的埋深增加，樁身的位移和斜度逐漸減小，具體有如下分布規(guī)律：樁土彈性模量比對(duì)樁頂位移和斜度值大小有明顯的影響，樁的剛度越大，樁頂位移值和斜度值絕對(duì)值越小。相反，樁的剛度越大，樁身的位移和斜度分別為零的位置越深。

將圖6（c）與單位水平力作用下樁的斜度分布圖5（b）對(duì)比發(fā)現(xiàn)，對(duì)于不同的樁剛度，樁頂作用單位彎矩的樁頂位移值大小等于樁頂作用單位水平力的樁頂斜度的絕對(duì)值。

4結(jié)論

通過(guò)廣義胡可定律推導(dǎo)出了Pak方法求解水平荷載作用下樁的彎矩、位移和斜度的Fredholm積分方程中間斷點(diǎn)的解析解，從而提高了Fredholm積分方程的數(shù)值計(jì)算精度并簡(jiǎn)化了計(jì)算程序的編寫，根據(jù)Mindlin解推導(dǎo)位移函數(shù)u（z，ξ），簡(jiǎn)化了位移函數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程。

對(duì)影響均質(zhì)地基中樁的彎矩、位移和斜度的樁土彈性模量比進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，分別考察了均質(zhì)地基中樁的彎矩、位移和斜度特性。通過(guò)參數(shù)分析，得出以下結(jié)論：

1）樁土彈性模量比對(duì)單位水平力作用下樁身最大彎矩的位置有明顯的影響，隨著樁剛度的增加，樁身最大彎矩的位置在加深，樁土彈性模量比對(duì)樁頂斜度和位移的大小也有明顯的影響。

2）樁土彈性模量比對(duì)樁頂作用單位彎矩下樁身彎矩的分布有明顯的影響，樁身剛度越大，樁身彎矩從單位彎矩減小到0的位置越深；對(duì)于不同的樁身剛度，當(dāng)樁埋深到一定的深度，樁身都會(huì)出現(xiàn)彎矩為0的位置以及負(fù)彎矩。樁土彈性模量比對(duì)樁頂作用單位彎矩下樁頂斜度和位移的大小有明顯的影響。

3）對(duì)于不同的樁剛度，樁頂作用單位彎矩的樁頂位移值大小等于樁頂作用單位水平力的樁頂斜度的絕對(duì)值。

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（編輯王秀玲）